編集(記号論理学から転送)この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。logic)は、論理学(形式論理学)の数学への応用の探求ないしは論理学の数学的な解析を主たる目的とする、数学の関連分野である。[1]数理論理学の共通な課題としては形式体系の表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理や定義可能性に関する結果を共有している。Classification(英語版))における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。詳細は計算機科学における論理学(英語版)を参照。この分野が始まって以来、数理論理学は数学基礎論の研究に貢献し、また逆に動機付けられてきた。対する公理的な枠組みの開発とともに19世紀末に始まった。ヒルベルトのプログラムによって、数学の基礎理論の無矛盾性を証明するものとして形成された。クルト・ゲーデルとゲルハルト・ゲンツェンによる結果やその他は、プログラムの部分的な解決を提供しつつ、無矛盾性の証明に伴う問題点を明らかにした。集合論における仕事は殆ど全ての通常の数学を集合の言葉で形式化できることを示した。集合論に共通の公理からは証明することができない幾つかの命題が存在することも知られた。現代の数学基礎論では、全ての数学を展開できる公理系を見つけるよりも、数学の一部がどのような特定の形式的体系で形式化することが可能であるか(逆数学のように)ということに焦点を当てている。(これらはひとつの領域の2つの部分と見做される)それぞれの領域は異なる焦点を持っているものの、多くの技法や結果はそれら複数の領域の間で共有されている。これらの領域を分かつ境界線や、数理論理学と他の数学の分野とを分かつ境界線は、必ずしも明確ではない。ゲーデルの不完全性定理は再帰理論と証明論のマイルストーンであるだけではなく、様相論理におけるレープの定理(英語版)を導く。集合論や逆数学における独立性証明の基本的な道具とされる。強制法の手法は集合論、モデル理論、再帰理論のほか直観主義的数学の研究などでも用いられる。圏論の分野では多くの形式公理的方法を用いる。それには圏論的論理(英語版)の研究も含まれる。圏論は普通は数理論理学の下位分野とは見做されない。圏論の応用性は多様な数学の分野に亙っているため、ソーンダース・マックレーンを含む数学者らは、集合論とは独立な数学のための基礎体系としての圏論を提案している。これはトポスと呼ばれる古典または非古典論理に基づく集合論の成す圏に類似の性質を持つ圏を基礎に置く方法である。発祥は、19世紀のジョージ・ブールによる「論理代数」、ゴットロープ・フレーゲの書『概念記法』に見ることができる。前者は命題論理、後者は述語論理の原型である。数学自体を数学によって研究する数学基礎論は、数理論理学なしにはあり得ないものである。