考察の対象アンシユタインの場の方程式について考察する。ほとんど一般相対性理論の内容となる。特殊相対性理論(SR)と一般相対性理論(GR)の関係について着目してゆく。これらは独立して存在するのではなく、ニュートン力学(NM)の基礎の上に立っている。それと、もうひとつ、マクスウェルの電磁方程式(ME)の理論にも関係している。この本で用いられた記法に従い、この本で記述された方程式などの関係式を用いる。考察のための準備として、ここでは、これらの関係式を概観して整理する。△Φ(r)=4πGρ(r)(2.5)ベクトル演算の記号が二つ現れている。実は、このような記号ではなく、二辺だけが太くなっているものが正式な記号であるが、ワープロソフトの関係で、これらの記号を用いることにした。ハミルトンの演算子(ナブラ、デル、grad)▽=i∂/∂x+j∂/∂y+k∂/∂z(2.6)これは、3次元空間での各成分ベクトルの和ということになり、対象となる曲線や流れの向きをベクトル表示したときの、接線ベクトルということになるだろう。ベクトルの勾配(grad)とも呼ばれる。(2.7)これは、記号の成り立ちと読みからは、ベクトルの勾配(grad)の発散(div)ということになる。三つの空間ニュートン力学の重力理論からアインシュタインの一般相対性理論へと移るときに、この自然界を眺めるための、三つの空間について知っておく必要がある。「ユークリッド(Euclid)空間」と「ミンコフスキー(Minkowski)空間」と「リーマン(Riemann)空間」である。これらには、それぞれを規定する「計量」と呼ばれる値がある。計量(座標系)ユークリッド空間ds2=dx2+dy2+dz2(3.1)ミンコフスキー空間ds2=c2dt2-dx2-dy2-dz2=ηαβdξαdξβ(3.2)リーマン空間ds2=gμν(x)dxμdxν(3.3)これらの空間においては、それぞれの中で成立する変換や、空間どうしの座標変換というものがある。それぞれの中で成立変換として「ガリレイ変換」と「ローレンツ変換」の内容を記しておこう。t’)の相対速度をvとする。ct’)の相対速度をvとする。このときのγは収縮因子と呼ばれる。-1)(3.6)この記号についての名称は何だろう。dxν)(3.9)ミンコフスキー空間の座標(ξα)とリーマン空間(xμ)の関係は、これによって決められる。ここから、リーマン空間がミンコフスキー空間から構成されていることが分かる。(4章)4元ベクトル(ローレンツ・ベクトル)u’α=Λαβuβ(4.1)ローレンツへ変換の変換行列によって、このように変換される量のことを言う。この言葉に関連して、ローレンツ・スカラーという量がある。これは、ニュートン力学における量、たとえば質量mなら、これに収縮因子γを掛けたもののようだ。テキストでは、このような区別が明確になされておらず、同じ記号のmと書いて、mはローレンツ・スカラーであると書き下したり、γmと表したりしている。4元ベクトルの例としては、「4元速度」「4元運動量」が書かれている。これに関連して、「4元加速度」や「4元力」も定義できる。d2xα/dτ2(4.5)このとき、4元運動量の成分は、次のように書かれている。出て、ここから生まれると書かれている。(5章)テンソルはベクトルから定義される。このとき、ベクトルの違いとして、反変成分をもつ反変ベクトルと、共変成分をもつ共変ベクトルがある。反変ベクトルV’α=ΛαβVβ(5.1)上に添え字をもつ成分を反変成分と呼び、この反変成分をもっているベクトルを反変ベクトルと呼ぶ。変換行列の種類は問わないが、変換前のベクトルと変換後のベクトルによって、添え字の形式は決まってくる。ここでのΛαβは(3.7)(3.8)での、ローレンツ変換での変換行列である。共変ベクトルVα≡ηαβVβ(5.2)下に添え字をもつ成分を共変成分と呼び、この共変成分をもっているベクトルを共変ベクトルと呼ぶ。変換行列の種類は問わないが、変換前のベクトルと変換後のベクトルによって、添え字の形式は決まってくる。ここでのηαβは(3.6)での、ミンコフスキー空間の計量に関する行列である。(Λαβ)と(ηαβ)の逆行列を定義しよう。テキストでは、Λαβの逆行列成分をΛの上にバーを引いて記しているが、ワープロソフトの関係で、この手法が使いづらいので、Λαβの形式を採用したい。テキストには、アンダーバーのない形式も使われていると書いてあったが、認識しやすいので、アンダーバーを入れるが、大切なところは、添え字の上下関係にある。Λαβの添え字の上下は、Λαβの逆になっている。これも形式的なことである。本質的には、次の関係によって、逆行列が定義される。}(5.3)この定義と、(3.7)(3.8)の式を使えば、逆行列(Λαβ)の成分を決めることができる。テキストでは、その結果は書かれていない。この表記のまま、抽象的に議論されている。(ηαβ)の逆行列は、形式的に(ηαβ)と表すことができる。(ηαβ)の具体的な形が(3.6)で決められており、次の逆行列の定義式から(ηαβ)を求めると、(ηαβ)と同じであることが分かる。行列の成分が対角成分だけのときは、それぞれの成分の逆数を成分とする行列が逆行列になる。このようなときの計算は簡単である。(5章)テキストでは、r階のテンソルが定義されているが、一般の形に拡張するのは、数を増せばよいだけであるので、記述が簡単な2階のテンソルについて定義しよう。ミンコフスキー空間の2階(反変)テンソルT’αβ=ΛαζΛβηTζη(6.1)Tζηが変換前のテンソルでT’αβは変換後のテンソルである。ローレンツ変換の行列成分を2度掛け、二つの添え字について、2回の変換を行うものである。このときの添え字の位置により、これは、さらに詳しく反変テンソルと呼ばれる。ミンコフスキー空間の2階(共変)テンソルT’αβ=ΛαζΛβηTζη(6.2)この形式では、ローレンツ変換の逆行列成分を2回作用させている。テキストではミンコフスキー空間のベクトルについて説明されていたが、変換後のベクトルやテンソルを、変換前のものに戻すには、上記の変換行列成分の逆を左から掛ければよい。(6.2)で実行すれば、次のようになる。Tαβ=ΛβηΛαζT’αβテンソルでは、変換行列成分の種類を、共変と反変とで組み合わせて、次の混合テンソルを生み出すことができる。ミンコフスキー空間の2階混合テンソルT’αβ=ΛαζΛβηTζη(6.3)次の操作によって、新たにテンソルが生み出される。テンソル場の微分(∂αTαβ)(6.4)(6.5)(6.6)(6.7)ここで用いられている記号∂αは∂/∂xαである。ちなみに、これと添え字の位置が入れ替わる∂α=∂/∂xαという記号もある。(5.14)で正式に記述する。ミンコフスキー空間には、次の完全反対称テンソルもある。それ以外}(6.8)正式にはЄの文字ではないかもしれないが、この記号が一番近かったので、これで代用した。x3)の関数は、偏微分の作用を受けるとき、「場」と呼ばれる。このような場に関する、さらに詳しい説明の前に、偏微分がベクトルとして作用することを見る。Tαβ(x)◇関数(7.4)これらの場において、引数は同時に変換されなければならない。(7章)オイラー方程式(完全流体に対する非相対論的な場の方程式)ρ(∂v/∂t+(v・▽)v)=-▽P+f0(9.1)連続の方程式(完全流体に対する非相対論的な場の方程式)∂ρ/∂t+▽・(ρv)=0(9.2)(9.1)はベクトル表示なので、3次元空間での成分の方程式として、3つの方程式となる。(9.2)はベクトルの内積を組み込んでいるが、これはスカラーとなるので、これは1つの方程式である。ρの5つあって、一つ条件式が足りない。これに加えて、Pとρの関係を示す状態方程式が必要となる。(テキストの説明より。)流体力学の基礎方程式(9.1)(9.2)の相対論的一般化を行う。ここのあたりで、特殊相対性理論のベースであるミンコフスキー空間での物理量へと、変換されているようだ。(9.7)圧力について考察する。次の等方な圧力を仮定する。P)(9.9)等方な圧力(9.9)を相対論的に一般化されたものは4元テンソルPαβでなければならない。局所的、かつ瞬間的な静止系IS’では、(9.1)と(9.2)とが成り立つ。して(9.5)は変わらないが、(9.6)には追加の項∂’iP=∂’jP’ijがなければならない。そのためには(9.7)の左辺に次の4元ベクトルが加わらなければならない。P)(9.11)ここでPは「考えている体積要素が静止している慣性系IS’で測られた圧力」である。これに対して、点xの体積要素がuα(x)で動いているような慣性系ISでは、圧力テンソルPαβは-vをもつローレンツ変換で与えられる。Pαβ=ΛαγΛβδP’γδとなる。この結果は、次の(9.12)となる(演習7.1)。(uαuβ/c2-ηαβ)(9.12)これはローレンツ・テンソルである。(u’α)=(c,0)なので、IS’では(9.11)に帰する。これらの考察によって生まれる、次の共変な方程式は、非相対論の極限で(9.2)と、f0=0とおいた(9.1)になる。(9.13)これを次のように書く。(9.14)これらの偏微分前の式を次に書き下す。ηαβP(9.15)外力f0がある場合は、対応しているミンコフスキー応力密度fαを加えなければならない。(9.14)この孤立系が空間的な境界を持っているとする。この系が完全に内包される体積Vがある。(10.1)をこのVにわたって積分する。)=0(11.1)(11.2)一般化されたエネルギー運動量テンソルTαβ=Mαβ+Pαβ+Tαβem+・・・(11.3)この一般化されたエネルギー運動量テンソルに対して、次式が成立する。応用)速度vが非相対論的であるとき、物質の静止エネルギーは運動エネルギーの寄与に比べてはるかに大きい。このとき、次式が成り立つ。c2(13.1)慣性系の線素dsに(13.1)を代入する。)の関数(13.5)加速度系では慣性力が発生する。回転基準系では遠心力Zが発生する。これは遠心力ポテンシャルΦを使って、次のように書ける。回転基準系での遠心力ポテンシャルΦと遠心力ZΦ=-(ω2/2)(x’2+y’2)Z=-m▽Φ(13.6)(13.7)(13.2)と(13.6)を見比べて、次式を得る。KS’の加速度運動はgμνを部分的に定める。KS’の計量テンソルは、前もって与えられている加速度によっては完全には決められない。座標点xμにある時計の表示時刻の間隔はdτ=dsc/cに等しい。回転系ではg00=1+2Φ/c2が成り立つ。ここでΦは遠心力ポテンシャルである。t=t’変換(14.6)を(14.5)に使う。不均一な重力場;局所慣性系あたかも慣性系の中であるかのように事象が進行する系[<>]人工衛星の実験室。これは加速されている。特殊相対論の法則が成り立つ。](18.7)ここでは、小さな量であるの最低次の量のみを取り上げた。(18.7)のΓκ00を(18.6)に代入する。リーマン空間で共変導関数は対応する階数のテンソルになる。ミンコフスキー空間または局所慣性系では、共変導関数はgik=ηik(またはΓikp=0)のため単なる偏微分関数になる。共変導関数に対しては通常の計算法が成り立つ。チェーン則も成り立つ。(18章)差Ai||k||p-Ai||p||k=-RmikpAm(22.1)左辺はテンソルであり、Amはベクトルであるので、これからテンソルRmikpが定義される。Rmikp=0(22.2)であるので、このテンソルは曲率テンソルと呼ばれる。法則は決まった変換(*a)に対して共変である。方程式は、よく知られた極限(*c)で正確であり、その極限は対応した変換を通して一般的な場合に結びつけられる。(20章)重力を含めた運動方程式m(duμ/dτ)=-Fμ-mΓμνλuνuλ(24.1)右辺第2項が重力項である。(2.5)このニュートン極限は、太陽系ではよく成り立っている。よって、設定した理論から、その極限として、これが出てこなければならない。(13.8)これは、運動方程式の非相対論的極限として求められている。(3.6)これによって、(25.8)から次式が得られる。1(25.10)このとき、次式が成立する。T00(25.11)これらを利用して、(25.2)を変形してゆく。T00(25.12)テキストでは、この式から近似式の記号「≈」が、等号「=」に置き換えられている。(暫定的)(25.13)この(25.13)には重力場のエネルギーの寄与が含まれていない。そこで、これを仮にtgravαβとおいて、次式を構成する。tgravαβの具体的な内容が分からない。右辺のエネルギー運動量テンソルは、設定されるべき場の理論から導出されるべきものであるが、そのような形式とはならない。□gαβ=ηγδgαβ|γ|δの共変一般化は、行ったとしても意味のある結果はもたらされないであろう。(25.14)の左辺にtgravαβを持ち込む。今のところ未知のリーマン・テンソルGμνで、その共変的一般化を記述する。電気力学の類推で、tgravαβは偏微分導関数(∂gμν/∂xλ)の2次形式であろうと考える。テンソルGμνは、そのような項を含んでいるべきであろう。共変的一般化として、gμνの2階微分導関数に関して線形であるべきだろう。(25.17)(25.18)(25.19)(25.20)これらの考察から、テンソルGμνについて、次のような要請をする。(25.18)の定義によって、エネルギー運動量テンソルの、次の性質がGμνへと引き写される。よって、次式が成立する。(21章)曲率テンソルRmikp=∂Γmik/∂xp-∂Γmip/∂xk+ΓrikΓmrp-ΓripΓmrkRρμλν=∂Γρμλ/∂xν-∂Γρμν/∂xλ+ΓσμλΓρσν-ΓσμνΓρσλ(22.3)(26.1)この曲率テンソルは、その階数は別として、テンソルGμνのための要請1と要請2を満たしている。このことは、次のリッチ・テンソルとスカラー曲率に対しても成り立つ。μ(26.3)これらのテンソルは、(22.7)~(22.9)から、添え字に対して対称であり、要請3の(25.25)を満たす。テキストでは、ここで突然、次式が提案される。利用するために、ビアンキ恒等式から始める。(23.1)曲率テンソルの対称性Rmikp=-Rimkp=-Rmipk=Rimpk(22.8)より、(26.5)の左辺第2項と第3項のνとλを入れ替えると、符号が変わる。0(26.6)この(26.6)で、ρとσを等しいとおいて縮約をとる。0(26.7)この(26.7)で、さらにμとνを等しいとおいて縮約をとる。このとき、テキストの訳注5)より、次のように変形できる。+gνρRρλ||ξ)=δρξRρλ||ξ=Rρλ||ρ(26.8)すると、まず、次のようになる。0(26.9)(26.10)(26.11)ここから、次式へと整理できる。対する条件として、要請3の保存則(25.26)を計算しよう。これは、訳注6)に説明されている。代入して、次式を得る。gμν}(26.18)次は、定数aを決める。これは、要請4のニユートン極限の条件から決めることになる。そのため、弱い場の条件3と非相対論的速度の条件4を考える。R00(26.26)弱い場に対しては、曲率テンソル(26.1)におけるhμνの2乗の項は無視できるので、次のように計算できる。(|hμν|<<1)(26.27)定常な弱い場に対しては、ここから次式を得る。(25.27)上記2行の式を見比べると、次式がでる。Tμν(26.33)実は、ここで用いられている等号「=」は、近似を表わす「≈」である。この式に至るまでに、何度も近似の処理が行われている。弱い場としての条件も加わっている。テキストでは、この(26.33)で、さらに縮約をほどこして、RとTの関係を導きだしている。次のように書き換えることができる。gμν}(26.35)ここでも、等号「=」は、近似を表わす「≈」のはずである。このようにたどってみると、この式は、かなり近似的な考察を繰り返して生み出されていることが分かる。この式を導きだす過程のスタートに置いた、未定係数a,bを組み込んだ(26.4)式の設定も、論理的な根拠に乏しい。これから、これらの(26.33)もしくは(26.35)の式は、求められている要請を満たす、ある一つのモデルとしての、近似方程式であると考えることができる。その後の研究などにより、この方程式は絶対的なものと見なされるようになっている。このページの25章「アインシュタインの場の方程式の条件」と26章「アインシュタインの場の方程式」を概観すると、一般相対性理論を象徴するアインシュタインの場の方程式は、リーマン空間で組み立てられた方程式であることが分かる。決めるために、ニュートン近似が利用されており、ニュートン力学の世界と強く結びついていることが分かる。特殊相対性理論の世界とは、どのように関係しているのか。特殊相対性理論の骨組はローレンツ変換であり、ローレンツ変換に結びついているのはミンコフスキー空間である。このミンコフスキー空間の計量は、確かに利用されている。弱い重力場では、リーマン計量で用いられる行列gμνと、ミンコフスキー空間の行列ημνが、ほぼ同一視されて取り扱われる。いう量だけであり、ローレンツ変換を象徴する収縮因子γは利用されていない。この収縮因子γのルートの中に入っている、1-v2/c2の因子は、まったく利用されていない。いう量で象徴される計量を持っている4次元空間であるというだけで、長さの収縮と時間の遅延については、何も要請されていないのである。象徴される、非収縮長さと非遅延時間の、新たな空間を想定すれば、アインシュタインの場の方程式は成立するということになる。このような4次元空間には、何か固有名をつけておくべきだろう。これとは別に考察していることから連想して、このような空間を「アスタリスク空間」と呼ぶことにしよう。(2008.09.25)キメラミームのページへ戻る。