n=2の場合の図を用意しました。問題の不等式はすべて=がついていないので、この青の三角形の内部(周を含まない)にある格子点の個数を求めることになります。今日はこの問題を複数の解法で求めます。問題によって不等号に=が入っていたり入っていなかったりしますが、基本的な考え方はどれも同じです。解法1xまたはyを固定するxを固定するときは、x=aという直線上に格子点がいくつあるかをaで表し、aについて和をとります。yを固定するときも同様。今回はyを固定して解いてみます。y=1という直線上にある三角形内の格子点の個数はいくつかy=2という直線上にある三角形内の格子点の個数はいくつかy=3という直線上にある三角形内の格子点の個数はいくつか...y=3n-1という直線上にある三角形内の格子点の個数はいくつかというのをそれぞれ数え上げ、和をとればよい、という考え方です。一般に、y=aという直線上にある三角形内の格子点の個数をN(a)と書くことにし、N(a)をaで表します。変わる)a=3m-2のときN(a)=4n-4m+2a=3m-1のときN(a)=4n-4m+1a=3mのときN(a)=4n-4m-1と表すことができるので、aを1から3n-1まで動かしたときの和が求める答えなので、とすれば出ます。ちなみに、yを固定した今回はaの値によって3つの場合分けになりましたが、xを固定した場合は4つの場合分けをすることになるので、今回はyで固定した方が楽です。表す長方形内にある格子点の(ほぼ)半分であることを用いて出します。領域の境界上の格子点も数えるような問題なら、それに応じて適切な長方形を考えればOK。n=2の図で説明します。nの値がもっと大きいときの図は脳内で補完してください。