僕「あれ......それでいいの?」ミルカ「説明を簡略化したが、正しい。《確率変数の期待値》を求めて和を取る」テトラ「確率変数って何ですか」ミルカ「いま《コインを投げる》ときに《コインが表になる回数》が話題になっていた。《コインを投げる》のような行為のことを試行と呼ぶ。僕「イベント......事象のことだね」ミルカ「試行が行われたときに値が定まる変数のことを確率変数という。正確には、確率変数とは《イベント全体の集合から実数への関数》だ」テトラ「確率変数は、変数なのに関数なのですか......ややこしいですね」ミルカ「コインを$1$枚だけ投げるという試行を考えよう。《表が出る》というイベントと、《裏が出る》というイベントの二つがある。いうことになる」テトラ「はい、わかります」ミルカ「そして、確率変数が取る平均的な値のことを期待値という」テトラ「それは、確率変数......の値がいくらになると期待できるか、という意味ですよね?」ミルカ「そう考えていい」テトラ「それは、具体的な値に、確率の重みを付けて加えればいいんですよね」ミルカ「そうなる。確率変数$X$が$0$になる確率を$P_0$と書き、$X$が$1$になる確率を$P_1$と書くことにする。$$僕「まあ、当然というか、当たり前だよね。$2$回目に表が出る回数を表す確率変数と、$3$回目......を加えていいのかな。期待値の線型性は知っているけど、それぞれ、別の試行だよね」ミルカ「それは確率空間をどうするかによる。ふむ......ともかく、ここまででコインを$1$回投げることを考えた。コインを$10$回投げることはどう考えるか。一つのイベントがこんな形をしていると考えるのがいい。裏を$0$とし、表を$1$で表して、それを$10$個並べた。試行をまとめるんだ」ミルカ「というか、$10$回投げることを一つの試行と考える。$$テトラ「......」ミルカ「テトラは話についてきている?」テトラ「はい、大丈夫です。僕「ここから何が起きるんだろう?」ミルカ「君が計算しようとしていたのは、《表が出る回数》という確率変数の期待値だった(第127回参照)。各イベントの$1$の個数を加えている。僕「言われてみればそうだね。$X$の期待値$E(X)$を求める......」ミルカ「そう、君は期待値の定義から直接求めた。0,1,\ldots,10$の総和を求めたことになる。僕「いや、ユーリのものまねなんてしなくていいから。期待値の定義を使った僕の解答は正しいんだよね」ミルカ「もちろん、正しい。$$僕「でも、ミルカさんがやったことは違う?」ミルカ「違う。同じ$\Omega$に対して、確率変数$X_j$を考える。$$テトラ「あ、そういうことですね。$$僕「なるほど、それはそうだね。$j$枚目が表が出るかどうかを表した$X_j$をすべて加えたものになるのか」ミルカ「あとは期待値の線型性から《和の期待値は、期待値の和》を使えばいい」この続きは有料会員登録をすると読むことができます。cakes会員の方はここからログイン1週間無料のお試し購読するcakesは定額読み放題のコンテンツ配信サイトです。簡単なお手続きで、サイト内のすべての記事を読むことができます。cakesには他にも以下のような記事があります。false「数学ガールの秘密ノート」書籍化第6弾。ガール」の中高生たちが数学トークをする楽しい読み物です。数学のおもしろさと学ぶよろこびを味わいましょう。本シリーズはすでに12巻も書籍化されている大人気連載です。...幡野広志の、なんで僕に聞くんだろう。ひろし)「数学ガール」シリーズ著者。翻訳され、コミック化もされている。最近読んでなかったけどやさしい統計の発売ということで読んでみたらめちゃめちゃ面白いな。難しかった(›_‹)。数学ガールも見ながら母艦数についてじっくり考えよう。なんか久々に受験に関係ない数学に触れた気がする。記事の書籍化のお問い合わせcakes。