theory)は、数理論理学の一分野で、1930年代の計算可能関数とチューリング次数の研究が源となっている。発展の過程で、この分野は計算可能性や定義可能性全般を対象に含むようになった。記述集合論(en)とも密接に関係する。再帰理論の根本的疑問は「自然数から自然数への関数が計算可能であるとはどういう意味か?」と、「計算不能関数は、その計算不能性のレベルに基づいて階層分けできるか?」である。これらの疑問への答えを探す過程で豊かな理論が生まれ、現在でも活発な研究が行われている。概念、次数構造などである。主な研究対象とすることと対照を成す。これら二つの研究コミュニティには知識と手法の面で重なる部分が多々あり、はっきりした境界を引くことは出来ない。外部リンク計算可能集合と計算不可能集合[編集]再帰理論は、1930年代のクルト・ゲーデル、アロンゾ・チャーチ、アラン・チューリング、スティーヴン・コール・クリーネ、エミール・ポストらの研究に端を発している。[1]彼らの基本的な成果を通じて、チューリング計算可能性という概念が樹立された。これは計算の実効性という非形式的な概念に正しい形式化を与えるものである。1952:300)と「チューリングのテーゼ」(p.376)という2つの用語を作った。現在では、これらはしばしばチャーチ=チューリングのテーゼという一つの仮説と看做されているが、これはアルゴリズムで計算可能な関数は如何なるものであろうと計算可能関数だ、と述べるものである。当初は懐疑的だった[要出典]ゲーデルも、1946年には賛同を示した。「タルスキは彼の講義において、一般再帰性(またはチューリング計算可能性)が大変重要だと強調したが、これは正しいと思う。84)実効的な計算というものの定義に伴い、数学には実効的に決定できない問題があることを示す最初の一連の証明が得られた。Entscheidungsproblem(決定問題)(en)が実効的に決定できないことを示した。この結果は、任意の数学的命題が真か偽かを正しく判定するアルゴリズムが存在しないことを明らかにした。これらの初期の例に続いて、多くの数学問題が決定不能であることが示された。実効的に決定できないことを示す論文を発表した。(en)が実効的に解けないことを示した。これは有限に表現された群におけるある語(word)が与えられたとき、その語が指す元がその群の単位元かどうかを実効的に決定する手続きが存在しないということである。1970年、ユーリ・マチャセビッチはマチャセビッチの定理(en)を証明し、その系としてヒルベルトの第10問題が実効的な解法を持たないことを示した。この問題は整数上で定義されたディオファントス方程式が整数解を持つかどうかを判定する手続きを求めるものであった。何らかの数学的行為が実効的に実行できるかを問う研究は、ときに再帰数学と呼ばれることがある。(Ershov他、1998)はこの分野の成果を多数紹介している。チューリング計算可能性[編集]再帰理論における計算可能性の研究はチューリング(1936)に端を発している。チューリング計算可能集合とも)と呼ばれる。出力して停止するチューリングマシンが存在するとき、その関数を再帰関数あるいは(チューリング)計算可能関数と呼ぶ。ここでは定義に必ずしもチューリングマシンを持ち出す必要はない。チューリングマシンと同等の能力を持つ計算模型は他にも存在する(例えば、原始再帰関数とμ作用素からなるμ再帰関数)。再帰関数と集合に関する用語は完全に一定しているわけではない。recursive」という言葉でチューリングマシンで計算可能な集合や関数を意味するようになった。function」という用語には様々な定義がある。Cutland(1980)によればそれは部分再帰関数(入力値によっては動作が未定義となる関数)を意味し、Soare(1987)によれば、それは全域再帰関数(一般再帰関数)を意味する。この記事では後者の意味で用いる。Soare(1996)には、他にも用語についてのコメントがある。自然数の集合は常に計算可能という訳ではない。チューリングマシンの停止問題は、0を入力したとき停止するチューリングマシン(についての記述)の集合だが、計算不可能な集合のよく知られた例である。計算不可能な集合が多数存在することは、次の事実から明らかである。チューリングマシンは枚挙可能(可算)な個数しか存在しないから、計算可能集合も枚挙可能な個数しか存在しないが、自然数から作る集合は枚挙不可能(非可算)な数だけ存在する。停止問題は計算可能ではないが、プログラムの実行をシミュレートし、実際に停止するプログラムの無限のリストを作成することは可能である。)の例であり、チューリングマシンによって枚挙可能な集合である。同様に、ある集合が帰納的可算であることの必要十分条件は、それが空であるか、または何らかの計算可能関数の値域に等しいことである。帰納的可算集合は一般には決定不能だが、再帰理論が最も詳しく研究してきた領域である。再帰理論の研究領域[編集]上述のような再帰的な集合や関数の理論を出発点として、再帰理論は関連する主題を巻き込んで成長してきた。以下に挙げるのはそれぞれ独立した研究分野というわけではない。各分野は結果や考え方を相互に応用しており、再帰理論の研究者であればこれらの大半に親しんでいる。computability)に注目してきた。これは、チューリングが1939年に神託機械を使って定義したチューリング計算可能性を一般化したものである。神託機械は、普通のチューリングマシンにオラクルへの質問機能を加えた仮説的な機械である。オラクル集合の中にあるか?」という形式の問いにだけ答えることができる。その回答は、たとえそのオラクル集合が計算不可能であっても即座に行われる。従って、計算不可能なオラクルを持った神託機械は、オラクルなしでは計算不可能な集合を計算することができる。ついて再帰的とも称する)。チューリング還元可能であるとき、これらの集合は同じチューリング次数(「決定不能性の次数」とも)を持つと言う。ある集合のチューリング次数は、その集合の計算不能な度合いの正確な尺度となる。計算不能な集合の自然な例として、さまざまな形の停止問題を符号化して得られる互いに異なる集合たちがあるが、それらには次のような共通点がある。それらは帰納的可算集合である。多対一還元によって互いに変換可能である。これらの集合を多対一同値(またはm-同値)であるという。多対一還元はチューリング還元より強い。構築することもできる。すべての帰納的可算集合は停止問題に多対一還元可能であることが判っているので、多対一還元とチューリング還元の観点で、停止問題は最も複雑な帰納的可算集合である。1944年、ポストは、すべての帰納的可算集合は計算可能かあるいは停止問題にチューリング同値かのいずれかだろうか、という疑問を投げかけた。チューリング次数がこの2つの間になるような帰納的可算集合は存在するか、という問いである。その問題を考える過程で、ポストは帰納的可算集合の分類として単純集合/超単純集合/超々単純集合といった自然な型を定義した。ポストはこれらの集合が、多対一還元の観点から見たとき、計算可能集合と停止問題の厳密に中間に位置することを示した。ポストはまた、チューリング還元よりも強い意味の還元(真理値表還元)を用いた場合においても、それらの一部が厳密に中間に位置することを示した。結局ポストは中間のチューリング次数を持つ帰納的可算集合が存在するかという主問題は未解決のまま残し、これはポストの問題(en)と呼ばれるようになった。10年後の1954年、クリーネとポストは計算可能集合と停止問題の間のチューリング次数が存在することは示せたが、そのチューリング次数に属する帰納的可算集合が存在するかは示せなかった。それぞれ独立に中間次数の帰納的可算集合が存在することを示し、ポストの問題を解決した。この画期的な成果により、帰納的可算集合のチューリング次数に関する広範な研究が始まり、非常に複雑かつ自明でない構造の存在が明らかになった。帰納的可算でない集合は非可算個存在しており、一般の集合のチューリング次数に関する研究も、帰納的可算なチューリング次数に関する研究と同様に、再帰理論における主要な研究対象である。様々な特定の次数が構成されている。任意のチューリング次数(帰納的可算とは限らない)の研究では、チューリングジャンプの研究が関係してくる。持つ神託機械の停止問題を符号化した自然数の集合である。定理によって、停止問題を計算する任意の集合は別の集合のチューリングジャンプとなることが示されている。ポストの定理は、チューリングジャンプと算術的階層(算術における定義可能性に基づいて自然数の部分集合を分類したもの)との密接な関係を示している。チューリング次数に関する近年の研究は、チューリング次数の集合の全体構造と、帰納的可算集合のチューリング次数の集合に注目してきた。そのチューリングジャンプの次数に変換するような関数は、チューリング次数のなす半順序の中で定義できる。そのような研究の歴史が概観されている。(計算複雑性理論)」を参照チューリング還元可能性以外の還元可能性(reducibility)の研究も盛んである。含む強い還元可能性をいくつか提唱した。強い還元可能性を定義する神託付きチューリング機械は、付加されたオラクルがどういうものであろうと全域関数を計算する。弱い還元可能性とは、還元過程が必ずしも全てのオラクルで停止しない(つまり全域関数を計算しない)可能性があるものである。チューリング還元可能性は弱い還元可能性の一種である。チューリング還元可能である場合を指す。神託の使用回数を制限したり、神託機械に条件を課すことで、様々な変種が得られる。それらも研究されている。強い還元可能性に関する主要な研究においては、帰納的可算集合のクラスに対する理論と自然数からなる集合のクラスに対する理論との比較が行われてきた。関係も研究されている。チューリング次数は真理値表次数であるか、または無限個の真理値表次数の和集合のどちらかであることが知られている。チューリング還元可能性よりも弱い還元可能性(つまり、チューリング還元可能性を内包する還元可能性)も研究されている。これらの還元可能性は、算術の標準モデルにおける定義可能性と密接に関連している。多対一還元可能という属性を持つことを示す。このようなインデックス集合の多くは停止問題以上に複雑である。このような集合は算術的階層によって分類される。逆数学[編集]逆数学のプログラムは、二階算術の中の部分体系において、ある定理を証明するのにどの程度の集合存在公理が必要かを問うものである。Simpson(1999)で、これに関する詳細が議論されている。対象となる集合存在公理は、自然数のべき集合が様々な還元可能性の概念の下で閉じていることを言う公理群とほぼ対応している。Axiom」であり、これは自然数のべき集合はチューリング還元可能性の下で閉じているとするものである。ナンバリング[編集]ナンバリングとは関数や集合に対する番号付けである。