1967年の論文以来研究が続いている。-再帰理論なども研究されている。これらの一般化された概念の中には、チューリングマシンでは実行不能にも関わらず、それでもなおチューリング還元可能性の自然な一般化と看做せるような還元可能性が存在する。これらの研究には解析的階層を調べるためのアプローチが各種含まれる。解析的階層と算術的階層の違いは、個々の数の量化に加えて自然数の集合の量化を認める点にある。これらの領域は整列順序や木の理論と関係している。