ゆるゆる物理☆ときどき数学ゆるゆる物理☆ときどき数学いつかは標準模型を理解したいという野望を胸に、主に相対論と量子論を基礎からゆるゆると独習中!さびついた頭で、果たしてどこまでいけるのか!?自分の理解のためだけに書いています。間違いや思い込み多数につき、ご注意を!フーリエ級数の証明手順フーリエ級数が正しく元の関数を再現するという証明の手順がおおよそ分かってきたので、まず、その流れを概観しておこうと思います。フーリエ級数展開で表すところについて。フーリエ基底が正規直交系をなすことを確認。正規直交性から、フーリエ級数展開の係数を求めます。一様収束性が前提されていなければならないのですが、ここでは仮に前提しておいて、係数を求めます。して、与えられたf(x)に対するフーリエ級数展開が求められます。ここまでが証明以前の準備。ここからが証明の本編。仮に求めた係数を使ったフーリエ級数が元の関数に正しく収束するかを証明することになります。元の関数としては、「区分的になめらか」という条件をつけます。有限個の点で不連続であっても構わないが、そこでの片側微分が発散しないという条件。区分的連続な関数に対して、リーマン・ルベーグの補題を証明。「区分的に連続」という弱めの条件で証明しておくことが必要。それから、ディリクレ核の概念を導入。いくつかの性質を証明。ディリクレ核は、級数の部分和の形をしていて、N→∞でデルタ関数のふるまいをするようなもの。積分値を一定に保ったまま、ピークが先鋭化していくというようなもの。最後に、これらの準備をもとに、本丸である元の関数からフーリエ級数を引き算したものがN→∞で、ゼロに収束するということを証明。f(x-0)}{2}\]に収束することを証明します。実際には一様収束でなくても、問題はないと思っています。以上が証明の概観です。「上記のように置くことで、一様収束とみなせる」は成り立たない、です。極限の関数も連続になってしまいます。鋸刃関数などは明らかに不連続点をもっている。一般に、連続関数の列が一様収束する極限の関数は連続関数である、という定理があります。(証明は難しくない)。「一様収束の仮定」などは要らないです。フーリエ係数を定義する。フーリエ係数から形式的にフーリエ級数を作る。フーリエ級数が元の関数に如何なる意味で収束するかを論じるという流れです。肝であり、難しい点ですね。連続関数になるわけではないですもんね。一様収束しないというのは、なんとなく分かります。一様収束の仮定は必要ないですね。分かりやすい説明で、すっきりしました。実際に証明を進めていけば分かりますね。スタイン・シャカルチ著「フーリエ解析入門」に書いてあります。それから、前のコメントに追記・修正したいことですが、フーリエ級数論は以下の流れになります。与えられた関数がフーリエ級数に展開できて、かつ項別積分が可能だと仮定して、そのフーリエ係数を積分により求める(これはあくまでも発見法)。関数のフーリエ係数を上の式により定義する(ここからが厳密数学)。フーリエ係数から形式的にフーリエ級数を作る。発見法の段階で、前述のように、一様収束は項別積分可能であるための十分条件ですが、必要ではないです。ルベーグの各種の収束定理があって、厳密に一様収束でなくても項別積分が可能であることが分かっています。よって一様収束を仮定する必要はない。外では一様収束している、という定理(エゴロフ)があります。含む幅がδの開区間が、その「可測集合」になっている。「可測集合」は一般にどんな形をしているか分からない。異常な関数でなければ、項別積分できるということです。発見法を正当化します。編集いもむしさんへ「区分的に滑らか」というのは、フーリエ級数を考える上での前提と考えていました。\sqrt{\pi^2-x^2}\]というような関数はそうなのでしょうか。考えてたら、頭が発散してしまいました^^;(物理では、ほとんど考える必要のなさそうな関数ですが・・・)論理の流れの追加(0番)は、より流れがスッキリ理解できました。後半の可測集合の話は、難しすぎて、すみません。一様収束が項別積分の必要条件ではないというのは、勉強になりました。項別積分可能はもっと広い条件になってるんですね。上の連続関数に延長できる、ということでした。区間の端点では片側の微係数で微分を定義して、そうして得られた導関数が連続である、といっても同じ。問題の半円、かまぼこ型の関数ですが、内部の導関数が左右の端点で発散しますから、延長不能で、これは区分的に滑らか、とならないです。実は、より強力な定理があります。連続で「有界変動」ならば、フーリエ級数は元の関数に一様収束する、というのがそれです。かまぼこ型関数は有界変動なので、上の定理が適用できます。「有界変動」の定義は解析の本で調べてみてください。それから「連続でありながら、無限個の点で微係数が不連続というような関数」についてですが、いたるところで微分可能でない連続関数の存在が知られています。これを最初の発見者の名にちなんで、ワイエルシュトラス関数といいます。編集いもむしさんへコメント、ありがとうございます。どこかのサイトで、かまぼこ型は区分的に滑らかではないが、フーリエ級数は収束する例として掲載されていました。「連続で有界変動」という条件を満たしているということだったんですね。「有界変動」という言葉は初めて耳にしました。手持ちの解析の本に載っているようでしたので、また、ゆっくり読んでみたいと思います。ワイエルシュトラス関数・・・そんな関数があるんですね!どんなものか興味があるので、こちらも調べてみます。有意義な情報、ありがとうございました。位数剰余類体の定義3次ルンゲ・クッタ法鍵コメさんへコメントありがとうございます。titleお久しぶりです。お返事が遅くなってしまい、すみません。有用な情報をありがとうございました。最近、この系統の勉強をしていないため、すぐに頭に入りませんがdyne→いもむしさん逆関数の微分定理があるおひさです。この問題の答えがありました。定理と呼ばれています。9*Sum[10^(-n),{n,1,infinity}]=19*Integrate[10^(-x),{x,1,infinity}]≒0.39087...まだ不完全ふがいないぼくはつぶやくさんへはじめまして^^コメントありがとうございます。初めの式に出てくるハミルトニアンのベースは解析力学です。(02/26)数式が小さくて読みにくい方へのヒント当ブログでは、数式表示にMathJaxを利用しています。表示が小さすぎてお困りという方は、大きく表示する方法がありますので、こちらの記事をご参照ください。博士課程を修了して、研究を生業にしているものの、実験系のため、理論があまりにも分かっていないことに危機感を覚え、数年前に一念発起!相対論と量子論の基礎から、独学で勉強し直してます。物理好きという人生の原点を見つめ直し、いつかは、標準模型を理解したいという野望を抱きながら、さびついた頭でどこまでいけるのか、挑戦中!あくまでも、独習記なので、内容は間違ってる可能性大です。参考になさらないようお願いします!(汗)本家ブログでは、マイホーム建築日記とピアノの練習日記をつづっています。Millcreek!当ブログの2013/5/7以前の記事は、本家ブログの物理・数学関連の記事を抜粋移行したものですので、文章が不自然なところがありますが、ご了承ください。記事のコメントもそのまま残してありますが、不都合がありましたら、削除しますので、お知らせください。当ブログはリンクフリーです。最近記事のRSS最新コメントのRSS最新トラックバックのRSSリンク無断でリンクさせていただいているものを含みます。ご支障がございましたら、すぐに解除致しますので、コメントにてお知らせください。