ゆるゆる物理☆ときどき数学ゆるゆる物理☆ときどき数学いつかは標準模型を理解したいという野望を胸に、主に相対論と量子論を基礎からゆるゆると独習中!さびついた頭で、果たしてどこまでいけるのか!?自分の理解のためだけに書いています。基づいて、電磁場の量子化を見てきました。参考にして、もう一度辿りたいと思います。初めの前提から非常に丁寧に議論を進めてくれるので、どういう手続きを行っているのかが分かりやすく、すごく有用でした。他にこういう本を僕は知りません。自分がどの段階にいるのかを見失いつつあります。見通しを深めたいと思っています。適当なゲージ変換によって、横波条件を満たし、かつスカラーポテンシャルがゼロとなるようにできる。0\tag{3}\]電磁場を以下のようにフーリエ展開する。実数性を考慮している。それぞれ直交し、右手系をなすものとする。自動的に満たされている。t}\tag{5}\]となる。d^3x\tag{6}\]を計算したい。計算しておいてからやった方がやりやすいと思うので、ここからしばらくは我流です。以下の式により計算する。]\tag{8}\]となる。x}}\right]\tag{10}\]となる。ここからの計算である考え違いをしていて、思いっきり長考してしまったのですが、それについては後ほど述べることにして、とりあえず、修正後の流れで計算を続けます。おける量を表すものとする。x}}\tag{12}\]となる。kk'}\tag{14}\]となる。c^*_{-k,\alpha'}]\tag{15}\]となる。同様に、磁場の項を計算する。c'^*_{-k}]\tag{17}\]となる。関するものであるという意味。中の符号が違っていることに注意。出てくるマイナスによって、符号が反転したためである。(\epsilon\cdot\epsilon')\tag{18}\]となり、偏光モードαに関して直交性を示すことが確かめられる。c^*_{-k,\alpha'}]\tag{19}\]となる。c_{k\alpha}\tag{20}\]が得られる。次の記事で書こうと思います。t}\tag{2.2}\]を代入する。t}\tag{3.2}\]となる。以降は、面倒なので、kλの添え字を省略することにする。a'_{k\lambda}\tag{6}\right]\]となる。1)\tag{9}\]と表される。N_{-k\lambda}\tag{10.2}\]とみなしてよいことが分かる。\right)\tag{11}\]と表せる。いうわけで、ようやく光子描像っぽいハミルトニアンまで到達しました。q_{k\lambda}\tag{4.2}\]となる。q_{k\lambda}\tag{5}\]という2階微分方程式が得られる。まま続けているが、何か理由があるんだろうか?ここでは、ωと書いた方が分かりやすいので、ωで行くことにする。t}\tag{6}\]と表せる。別物で、時間に依存しない。エルミート共役で係数に入れている。t}\tag{7}\]と表せる。t}\tag{9.2}\]となる。関する交換関係を導く。用いればよく、以下のようになる。\delta_{\lambda\lambda'}\tag{10.2}\]他の組み合わせについてはすべて可換。用いて、ハミルトニアンを書き表す。ハミルトニアンは以下の通り。用いて、以下のように表せる。積分はすべてゼロになる。成分はないと考えているのだと思う。計算をしておく必要がある。u}^*)\tag{9}\]となる。あることを示すこととする。あるから、結局、第二項の寄与はゼロとなる。なり、kの和を半空間で取っていることからゼロとなる。以上より、ハミルトニアンは以下のように計算される。以降の式変形は完全に我流です。∇のまま、ガウスの定理を巧みに使って計算していてエレガントです。0\tag{2}\]も自然に成立している。そこで以下のような横波の平面波の基底を導入する。2つの直交する偏光方向の単位ベクトル。右手系をなすように取る。箱で正規直交性を示すようにしておく。エルミートになるように配慮している。間の交換関係を以下のように決める。\delta_{\lambda\lambda'}\tag{6.2}\]これ以外の組み合わせはすべて可換であるとする。エルミート共役を取ると、自動的に成立。\right)\tag{7}\]が導けることをこれから示していく。関数であることを表す。\}\tag{9}\]となる。空間全体にわたって取るものとした。\delta_{ss'}\tag{10}\]となる。k_{s'}}{k^2}\tag{11}\]と表される。はまだ確認していません。後ほど、確認してみます。(6)久しぶりに、電磁場の量子化の続き。場の変数とみなして、ハミルトニアンから正準量子化した運動方程式を導いて、マックスウェル方程式に一致することを確認した。正準量子化した運動方程式を導いても、やはりマックスウェル方程式を導くことができることを確認する。