/世界間隔の共変性と固有時について2018.02.02世界間隔の共変性と固有時についてTweet重要なお知らせお使いのブラウザのJavascriptは無効になっています。当ホームページでは、数式の表示にJavascriptを使用しています。そのため、Javascriptを有効にしていない場合、数式が正しく表示されません。世界間隔Δsとは、ミンコフスキー空間内の2点間の距離のことである。式で表すと次のようになる。r}_2)^2$$この世界間隔は、ローレンツ変換に対して不変である。このことはつまり、世界間隔は慣性系によらず一定であることを意味する。このように、ローレンツ変換を施しても値が変わらない性質のことを、ローレンツ変換に対して共変的であるという。\(ds\)を次のように定義する。$$ds^2≡dx^2+dy^2+dz^2-c^2dt^2$$\(dx=v_xdt\)に注意して、\(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\)とおくと、$$\sqrt{-ds^2}=\sqrt{c^2-v^2}dt$$固有時\(dτ\)を次のように定義すると、次のように変形できる。}dt$$この固有時もローレンツ変換に対して不変である。世界間隔がローレンツ変換で不変であることの証明まず世界間隔の式を展開する。r}_2)^2\\&=&-c^2(t_1-t_2)^2+(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2\\&=&-c^2(t_1^2-2t_1t_2+t_2^2)+(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)+(y_1^2-2y_1y_2+y_2^2)+(z_1^2-2z_1z_2+z_2^2)\\&=&(-c^2t_1^2+x_1^2+y_1^2+z_1^2)+(-c^2t_2^2+x_2^2+y_2^2+z_2^2)+(2c^2t_1t_2-2x_1x_2-2y_1y_2-2z_1z_2)\end{eqnarray}世界間隔がローレンツ変換に対して共変的であることを証明するには、\((-c^2t_1^2+x_1^2+y_1^2+z_1^2)\)と\(2c^2t_1t_2-2x_1x_2\)が共変的であることを示せばよい。\(-c^2t_1^2+x_1^2+y_1^2+z_1^2\)は共変的か\(-c^2t_1’^2+x_1’^2+y_1’^2+z_1’^2\)にローレンツ変換の式を代入する。運動系がx軸方向に速度Vで動いていると仮定すると、次のような変形が可能である。\end{eqnarray}以上より、ローレンツ変換を施しても式の形は変わっていないから、この式は共変的である。同様にして、\(-c^2t_2^2+x_2^2+y_2^2+z_2^2\)も共変的である。\(2c^2t_1t_2-2x_1x_2\)は共変的か先ほどと同様に、ローレンツ変換の式を代入すればよい。\end{eqnarray}以上より、ローレンツ変換を施しても式の形は変わっていないから、この式は共変的である。したがって、世界間隔がローレンツ変換に対して共変的である。この式は、アインシュタインによって導かれた式として非常に有名である。Eはエネルギー、mは質量、...記事を読むミンコフスキー空間とはミンコフスキー空間とは、横軸に場所、縦軸に時間をとり、原点に観測者を置いた空間のことである。ミンコフスキー空間上の直線の傾きは、物体...記事を読むローレンツ変換の意味ほとんどの相対性理論の本は、この「ローレンツ変換」から始まる。前の記事では、静止している系から運動している系の時計を見ると、時刻が遅れて見えることを確認した。静止している系から光速近くで動いている物体を観察する。すると、その物体は本来の長さ(物体が停止しているときの長さ)よりも短く見える。この現象...記事を読む相対性理論SNSでもご購読できます。*メールアドレス(公開はされません。*次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。上に表示された文字を入力してください。