,[QB,P(N-1)]=[QB,{QB,R(N-1)}]=0は自明です。]において右辺のP(0)をP(N-1)に置き換えると左辺のR(1)もR(N)に置き換えられるので,{QB,R(N)}=P(V)が確かに成立します。(n≧1)の成立することが従います。これから次のことがいえます。|f>∈VphysをBRS4重項粒子を含まない成分,1個だけ含む成分,2個含む成分,..というような直和に直交分解します。|f>=P(0)|f>+Σn=1∞P(n)|f>です。.つまり零ノルム状態です。|f>のノルムはBRS4重項粒子を含まずBRS1重項粒子のみから成る成分:P(0)|f>によって決まります。.BRS1重項粒子のみが張る空間:Hphysの正定値性の仮定の下で,物理的部分空間;Vphysは半正定値計量を持ちます。よって.前節の最初の定理の仮定(iii)の成立が示されたので,これで物理的S行列:Sphysがユニタリであることが証明されました。ここで,いくつかの注意を述べておきます。|f>=P(0)|f>+Σn=1∞P(n)|f>において,|f>をincoming漸近場で構成された状態:|f;in>とし,P(n)をoutgoing漸近場の生成・消滅演算子で表わした射影演算子にとれば.|f;in>の分解:Pout(0)|f;in>+Σn=1∞Pout(n)|f;in>は.初期状態:|f;in>が散乱後にout状態基底で,どのようになっているか?を直接,示すものです。そのとき,n≧1のPout(n)|f;in>は,散乱後にBRS4重項粒子が1個以上生成された状態を表わし,上述の証明はそれが全て零ノルム状態であることを述べているわけです。ときに,より陽な形で見てみます。物理的初期状態:|f;in>∈VphysのFPゴースト数:NFPがゼロの場合を考えます。散乱後,BRS4重項粒子を含まない空間:Hphysへの射影演算子:Pout(0)を,Pout(0)=Σα|α;out><α;out|と書くことにします。散乱後にBRS4重項粒子を2個含む状態:Pout(2)|f;in>は,Pout(2)|f;in>=Σα,k,l[(1/2)|βk,βl,α;out><α,χl,χk;out|f;in>+|βk,χl,α;out><α,βl,χk;out|f;in>+(1/2)|χk,χl,α;out><α,βl,βk;out|f;in>+|γ~k,γl,α;out><α,γ~l,γk;out|f;in>]と書けます。etc..と記し,簡単のためにωklに比例する項は省略しました。この一般形では,各out状態の展開係数=S行列要素:<α,Φl,Φk;out|f;in>の間の関係について,まだ.何も述べていません。書けることがわかります。この右辺の形は散乱後のout状態が,全て零ノルムであることが明白な形:QB|*;out>にまとめられることを意味します。,<*;out|QB+QB|*;out>=<*;out|QB2|*;out>=0です。Pout(2)|f;in>の前の表式と,上の表式が等しいことは右辺の比較から以下のWT恒等式を含意しているのがわかります。<α,βl,βk;out|f;in>=0,<α,βl,χk;out|f;in>=-i<α,γ~l,γk;out|f;in>などです。]の表式は,それ故,BRS4重項粒子が3個以上生成される過程に対しても,こうした無数のWT恒等式を含意すると同時に,それらが零ノルム状態の組み合わせにまとまるということを最も効果的に表現しています。ii)物理的状態:|f>∈Vphysのノルムは,BRS1重項粒子のみから成る第1成分:P(0)|f>∈Hphysで決まるので,BRS1重項モードを物理的モードと呼ぶのは正しいことです。BRS4重項粒子を全然含まない初期状態:|α;in>∈Hphysが出発点であっても,散乱後にはFPゴースト対生成のようなプロセスによって,一般にゼロでない4重項粒子を含む成分:Pout(n)|α;in>(n≧1)が現われます。零質量ベクトル場の横波状態の定義は,もちろん3次元縦ベクトルの向き,つまりLorentz座標系に依存するもので,それ故,その横波モードがBRSi重項モードに入っている場合には,HphysはLorentz不変でさえないことに注意が必要です。0はLorentz不変で,かつ,時間発展に対しても不変です。out)という同型対応があることが示されます。Hasphysの元は,時間発展不変,かつ,Lorentz不変なHphysの元=同値類:|f^>の1つの代表元です。従うことに注意しておきます。以下はこれの証明です。0の元は全てのVphysの元と直交するため.当然,Hphys=P(0)V=P(0)Vphysの元とも直交します。