0μ)=0ですから,この場合,明らかに,i[M^μν,φ^(x)]=xμ(∂φ^/∂xν)-xν(∂φ^/∂xμ)=0が成立します。よって,[M^0k,φ^(x,t)]=x0{∂φ^(x,t)/∂xk}-xk{∂φ^(x,t)/∂x0}を得ました。0i)=∫d3x(xiπ^∂jφ^-xjπ^∂iφ^)ですから,[M^ij,φ^(x,t)]=∫d3y[-yiπ^(y,t){∂φ^(y)/∂yj},φ^(x,t)]-∫d3y[-yjπ^(y,t){∂φ^(y)/∂yi},φ^(x,t)]=i∫d3y[yiδ3(y-x){∂φ^(y,t)/∂yj}-yj{∂φ^(y,t)/∂yjδ3(y-x)}=i[xi{∂φ^(x,t)/∂xj}-xj{∂φ^(x,t)/∂xi}です。i[M^ij,φ^(x,t)]=xi{∂φ^(x,t)/∂xj}-xj{∂φ^(x,t)/∂xi}も得られました。そこで,i[M^μν,φ^(x)]=xμ{∂φ^(x)/∂xν}-xν{∂φ^(x)/∂xμ}が確かに成立しますから,M^μνをLorentz変換の生成子として,Lorentz変換に対する理論の不変性を保つ量子化を得ることができます。次に,更なる量子化されたKlein-Gordon場の性質を論じるために,交換子によって指定される場の演算子の代数から,状態ベクトル:Φの完全系(complete-set)を構成することを考えます。エネルギー・運動量の固有状態を作ることで,これを実行することができます。この目的のため,Klein-Gordon方程式の全ての解は,平面波基本解のFourier積分展開で表現されることを見ます。∂2φ^/∂t2=∇2φ^-m2φ^の平面波解で,かつ,エネルギー・運動量の固有値としてkμ=(k0,k)を持つ固有関数を求めます。