数式が読み込まれない場合は1回再読み込みしてみてください。まとめシリーズこんにちは、ももやまです。今回が線形写像最終回です。線形写像の核空間(カーネル)・像空間(イメージ)について、および線形写像における全射・単射についてまとめています。\vec{x}\]と表すことができますね。\vec{0}\]となりますね。以外にも存在する可能性はありますよね。一部(部分空間)を表します。核空間(カーネル)と呼びます。\vec{0}\]の解の集合(解空間)が核空間(カーネル)となる。\right)\]とする。表す核の次元と基底を答えなさい。\right\}\]なので、解空間の部分空間を求めればOK。\end{array}\right.\]と同じ連立方程式となることがわかる(自由度1)。\right)\]となる。\]の1つのベクトルがあればよい。(1次元)となります。階数を用いても判定することができます。写像元の次元の大きさ)。A\]で求められる*1。核空間の次元のことを退化次数とも呼びます。\vec{x}\]と表すことができますね(ここまでは全く同じ)。動く範囲にはもちろん限りがあります。取りうる空間の範囲を表します。像空間(イメージ)と呼びます。動く範囲をベクトルの集合で表したものが像空間(イメージ)となる。\right)\]とする(例題1と同じ)。表す像の次元と基底を答えなさい。\right\}\]となる。\right>\]で生成される(張られる)部分空間となる。\right)\end{align*}\]となる(さっきと全く同じ変形)。(2次元)となります。\right>\]を求める問題に変えることができます。階数を用いても判定することができます。2\]と求められます。つぶれてしまう空間を表し、像空間は写像を適用してもそのまま残る空間を表します。定理などと呼ばれます。あるかを判定することができます。離散数学や情報数学では全射、単射について学ぶのですが、まだ未履修の方もいるかもしれないので、全射、単射とはどんなものなのかをまずは簡単に説明しましょう。写像があるとしましょう。対応付け(矢印)がありますよね。どれかの要素と対応しているような写像を全射といいます。要素が2,4と2つあるため、単射ではありません。写像があるとしましょう。先ほどと若干違います。要素も必ず変わっていますね。要素は1つしかない(2つ以上存在しない)写像のことを単射といいます。要素が存在しないため、全射ではありません。写像があるとしましょう。この図も他の2つとは若干違います。どれかの要素と対応していますね。要素は1つだけですね。このように全射の条件・単射の条件の両方を満たすような写像を全単射と呼びます。1対1の関係となります。いうための条件は以下の通りである。f(a_2)\]が成立すること。全単射:全射の条件・単射の条件をともに満たすこと。数式式で書いたバージョンも一応載せておきます。f(a_2)\]となる。ついてまとめていきましょう。イメージを図で見てみましょう。対応付けられている状態ですね。飛んでしまい、潰されてしまいますね。像空間から対応付けられる必要があります。W\]となる必要がありますね。写す写像は2つ以上存在しないということですね。なってしまうものが存在してしまいます。n\]となる必要がありますね。全単射は、全射も単射も満たすものでしたね。\\\]の2つをともに満たす必要があります。n\]逆写像が存在するための条件ここで、1つ線形写像の逆写像を思い出してみましょう。逆行列が存在すると前説明しましたね。あることという条件と同値ですね。核空間の次元が0であるということと同値ですね。逆行列が存在するということは同値であることが言えますね。全射、単射であるかを判定しなさい。\]解説3それぞれの行列の階数を出すことで、核空間の次元、像空間の次元を求めます。\]より行列の階数は2→(核空間の次元は0、像空間の次元は2)。m\]のため、単射ではあるが全射ではない。\]より行列の階数は2→(核空間の次元は1、像空間の次元は2)。m\]なので全射ではあるが単射ではない。\]より行列の階数は2→(核空間の次元は0、像空間の次元は2)。m\]なので全射でも単射でもある(全単射)。\]より行列の階数は1→(核空間の次元は1、像空間の次元は1)。m\]なので全射でも単射でもない。5.練習問題では、2問ほど練習をしてみましょう。\right)\]とする。表す核と像の次元と基底を答えなさい。\right)\end{align*}\]となる。\end{array}\right.\]と同じ連立方程式となることがわかる(自由度2)。\right)\]となる。\]の2つのベクトルがあればよい。\right\}\]となる。それぞれの列を見たとき、1次独立なベクトル2組が像空間の基底とまる。\right\}\]となる。\right)\]とする。そのときの核の次元も答えなさい。階数が3となればよい。行基本変形して階数を調べる。\right)\end{align*}\]となる。階数は3となり、像の次元も3となる。1\]となり、核の次元は1となる。わからなくても核の次元は求められる)6.さいごに今回は線形写像における核空間、像空間および線形写像における全射・単射についてのまとめを行いました。線形写像の核空間や像空間の求め方ももちろん大切なのですが、核空間や像空間がどのようなものなのか、核空間や像空間がわかるとどんないいことがあるのか、などを理解するのも大切です。余裕があれば計算方法だけでなく理論も理解しましょう。逆写像はなぜ表現行列の逆行列が存在すれば求められるかもわかっていただけたかと思います。次回は回転行列についてのまとめを行いたいと思います。階数が減った分(つまり全部0の行)が核の次元となる。システムオートマトンPrologCLOSEサイト内検索を行います。はてなブログPro数学と情報が得意な大学生です。累計:リアルタイム現在の閲覧者数:。