tensor)と呼ぶ[2]。_{a}R_{kji}{}^{a}g_{ah}}を特にリーマン-クリストッフェルのテンソルと呼ぶことがある[3]。tensor)と呼ぶ。scalar)と呼ぶ。_{a}R_{kjh}{}^{a}g_{ia}=0}となる。_{a}(R_{aji}{}^{a}+R_{iaj}{}^{a}+R_{jia}{}^{a})=0\;\;-(*)}となる。_{a}(-R_{aij}{}^{a})=-R_{ij}}が得られる。_{a}R_{jia}{}^{a}=0}を得る。R_{ji}=R_{ij}}が導かれる。{ji}}\right\}}を得る。{ai}}\right\}}となる。リーマン多様体と同様の形式となる。全て定数(1または0など)にすることができる。定数にすることができるのであれば、その領域はユークリッド空間に一致する。全部定数にする座標変換が存在する。全て定数であれば、クリストッフェル記号はその定義から明らかに0となる。その領域においてクリストッフェル記号を全て0にする座標変換が存在する。{jk}}\right\}}が得られる。x^{l}}}}となる。R_{jkl}{}^{b}=0}。R_{abcd}^{}=K(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb})}の形に表せることを示している。期待の通り、このリーマン曲率テンソルは独立成分をただ一つだけ持つ。2-次元多様体のスカラー曲率のちょうど半分にもなっている。_{ab}=Kg_{ab}}として与えられる。(リッチの公式)となる。リーマン曲率テンソルは「共変微分の非可換さ」を測るものである。定める切口に関する断面曲率となるという意味でそのように呼ばれる。p.206以後、使い分けのため、リーマン-クリストッフェルのテンソルというときはこの4階共変テンソルを指すこととする。x^{k}}}}が得られる。参考文献[編集]リーマン,リッチ,レビ=チビタ,アインシュタイン,マイヤー『リーマン幾何とその応用』矢野健太郎(訳)、共立出版、1971年。