Q(ζ5)/Qを考え直します。η=ζ5という対応をしています。ηi(1≦i≦35)のうち、iが36と互いに素であるものが原始36乗根となり、12個あります。η,η5,η7,η11,η13,η17,η19,η23,η25,η29,η31,η35です。同型写像も12個です。τとσの対応を調べます。η=ζ5ですから、ζ5をζ5*iに換えるものがτiです。ζ5がζ185になったことは、ηがη37になったこと。計算して良いことになる。σ37はQ(ζ5)を固定するので、もともとここには入っていない。1≦i≦31までσi=τiであったが、τ5があるはずなのに抜けていた。ここでそれが出てきた。σ71,σ107,σ143,σ179最後の、τ35:σ71,σ107,σ143,σ179で言えば、Q(ζ5)の内部では、σ71,σ107,σ143,σ179は全部同じものですから、この中のどれかがあれば、τ35の働きをするということです。各拡大ごとのガロア群との対応に戻って、「σとτの対応のまとめ」から、とりあえず添字の数値が小さいものを入れてみます。12個という数も揃わなくなりますので入れておきます。Gal(Q(ζ)/Q)を考えると、前の図では変換が48個あったものが省かれてしまったものがでて、数が足りません。上層の(Q(ζ)に働くσ1(=e),σ37,σ73,σ109の4つと掛け合わせることで4×12=48となります。例としてτ35で説明します。τ35からはσ71,σ107,σ143,σ179のうちどれかを選択します。どれを選択しても、σ1(=e),σ37,σ73,σ109と掛け合わせることで、残りの3つが出てきます。いうことで、残りの3つが出ています。71の代わりにクリックで107,143,179のどれかを選択しても、同じ4つが揃います。以下で他の要素についても確認できます。179ζ^45を固定する変換を洗い出すτnに選択した変換が全体で巡回群になっていれば可解列を見つけたことになります。書籍Iでもう1段階の中間体を入れていますから、巡回群にはなっていないのでしょう。書籍Iの次の中間体はQ(ζ45)です。τnに相当する要素の巡回を調べながら、Q(ζ45)を固定するか調べてみます。ζ45は、1の4乗根です。原始4乗根の数は2個です。ζ45とζ135です。ζj(jは5の倍数)のうち、jが45の倍数であるものが、Q(ζ45)内に入ります。次の表は「適当に巡回して位数が6であるもの」で使ったものを全部書き出しました。1}となり、ζ45を変化させず(True)、位数は4で、ζ5は変化しないと読みます。5Q(ζ^45)を加えるζ45とζ135をQ(ζ45)に入れました。Q(ζ45)を固定するものだけをQ(ζ5)内に残します。Q(ζ5)内にはQ(ζ5)中の元を変換するものを書くことにしたからです。Q(ζ5)/Q(ζ45)を考えると適切でしょう。σ61,σ29,σ41の6つですが、それぞれ独立に4つの選択肢があります。仮に一番添字の数値が低いものを書いています。固定しないσは6個になりますが、例によって多すぎます。Q(ζ45)/Qを考え直します。θ=ζ45という対応をしています。θi(1≦i≦3)のうち、iが4と互いに素であるものが原始4乗根となり、2個あります。