それぞれの巡回の様子です。<σ41>か<σ149>です。(σ5の部分は無理やり合わせて書いたものです)各拡大ごとのガロア群の書き直しこれで原始180乗根ζを使って統一して定義したσを使って書くことができます。(位数2の巡回群)適当に巡回して位数が6であるものGal(Q(ζ5)/Q(ζ45))に使えるものを更に探します。プログラムで書き出したものから、Q(ζ45)を固定して位数が6であるものを選ぶと次の6つです。<σ41>と<σ149>の他に、<σ29>,<σ49>,<σ101>,<σ169>が使えることがわかります。125実はσ49とσ169はのちに「巡回を考える」で不適格とされます。表の上下を体の包含関係に合わせてあります。16乗の時と上下が逆です。右側、分母に当たる部分が広いものが上になるように表をつくりました。Q(ζ)/Qのガロア群から改めて考える包含関係に書かれるガロア群とGal(Q(ζ5)/Q(ζ45))やGal(Q(ζ45)/Q)との関係を明らかにしたいのです。Q(ζ)/Qから考えます。ζを1の180乗根としました。原始180乗根の数は48個です。ζi(1≦i≦179)のうち、iが180と互いに素であるものです。▶ガロア群のGal(Q(ζ)/Q)の元はζiを互いに変換しますが、ζ1の変換を決めれば他の変換は同型写像の条件より決定されますから、σi(ζ)=ζiで48個のすべての変換に名前をつけます。イメージは下図のとおり。σiはQ(ζ)の元ではないですが、Q(ζ)中の元を変換するという意味合いで入れています。書いて↦の上にσ11と書く....などとしたいところですが、煩雑なのでやめておきます。σ179Q1,ζ90Q(ζ^5)を加える中間体としてQ(ζ5)を考えます。Q(ζ5)/Qが入っている図です。ζ5で書くとわかりづらいですが、1の36乗根です。原始36乗根の数は12個です。ζj(1≦j≦179)のうち、jが5の倍数であるものが、Q(ζ5)内に入ります。Q(ζ5)を固定するものだけをQ(ζ)内に残します。Q(ζ)内にはQ(ζ)中の元を変換するものを書くことにしたからです。Q(ζ)/Q(ζ5)を考えると適切でしょう。固定するものを実際に調べるとσ1(=e),σ37,σ73,σ109の4つだけです。▶すると、Q(ζ5)を固定しないσは48-4で44個です。これが、Q(ζ5)内に入るのでしょうか。