υ32(θ)=θ9=θですから、位数は2です。σの方はσn2(ζ45)=ζ45の様に、ζ45への作用では位数2で巡回するけれども、σnそのものの位数は、12と6もあることがわかります。45それぞれのσnは、それぞれ4つの候補のうちとりあえず選んだものなので、全部調べてみます。同じグループでも巡回の様子や位数は異なります。ζ45だけは位数2で巡回しています。いう4つの選択肢があるということになります。σ61,σ29,σ41の6つを残しましたが、巡回を考慮しなければそれぞれ4つの候補から選択できました。これをまだ確定できずにいますが、さらにQ(ζ45)に移したものから、2つ残して、Q(ζ5)に残した6つと掛け合わせて12のτに相当するσが出てくるようにしなければなりません。Q(ζ45)に残す候補は、υ1に相当するもの4つから一つ。σ179の4つから一つです。念の為に位数2でないものも含めて24個用意して調べると、掛け合わせて必要な12個が出てくるようになっています。179σ1(=e)が2つあるのが気になりますと書きましたが、σ37などのτ1のグループの元を配置しても掛け合わせたものはτ1のグループになります。これにQ(ζ)にある4つのσ(τ1のグループです)を掛けるとどれかがσ1になります。自由度はかなり高いといえます。ζnの包含関係は問題ないでしょう。Q(ζ)内部にあるσ1(=e),σ37,σ73,σ109は、Q(ζ)/Q(ζ5)のガロア群です。Q(ζ5)/Q(ζ45)のガロア群です。Q(ζ)/Q(ζ45)のガロア群は、Q(ζ)/Q(ζ5)とQ(ζ5)/Q(ζ45)のそれぞれのガロア群の元を掛け合わせたものになります。Q(ζ)/Qのガロア群は、さらにQ(ζ45)/Qのガロア群の元を掛け合わせたものになります。これも他に候補あり)Q1,ζ90巡回を考えるQ(ζ)に書いたσ1(=e),σ37,σ73,σ109は巡回群です。それは、Q(ζ5)の元を固定するσを選択すると自然にそうなったのです。Q(ζ5)に書いたσは、Q(ζ45)を固定するものが多かったので、ζ5を移す先が異なるものを選択するようにしました。この選択の条件にあえて巡回を入れませんでした。Q(ζ45)のσはさらに選択肢が増えました。巡回を考慮すると候補は4つになりますが、考慮しなくても自己同型群という意味では問題ありませんでした。多段階の拡大に分けたのは、各段階の拡大でガロア群が巡回群になるようにするためですので、それを考慮して条件がどのように絞られるかを見ていきます。次の表は、上の「次の中間体」で出した表と基本的には同じですが、ζ45を固定するもののみとし、生成される巡回群の各元が、対応するτに基づきどのグループに属するかを加えたものです。τの添字は不連続なので順番に0〜5の番号をつけました。これが全部出てくる巡回を探します。中には2回まわっているものもありますが、これを排除すべききちんとした説明は持ち合わせていませんが、1回まわって位数6というのを採用すると、4つということになります。上の「適当に巡回して位数が6であるもの」では位数6だけで探して6つという結論でしたが、この内の2つが不適格ということになります。5各拡大の巡回群の候補の結論Q(ζ)の中に書くべき巡回群はつぎの2つのうちの一つです。<σ37>={σ37,σ109,σ73,σ1}<σ73>={σ73,σ109,σ37,σ1}Q(ζ5)の中に書くべき巡回群はつぎの4つのうちの一つです。これも互いに逆回りが2組です。<σ101>={σ101,σ121,σ161,σ61,σ41,σ1}<σ29>={σ29,σ121,σ89,σ61,σ149,σ1}<σ149>={σ149,σ61,σ89,σ121,σ29,σ1}Q(ζ45)の中に書くべき巡回群はつぎの4つのうちの一つです。以下で他の要素についても確認できます。各層の生成元の選択からクリックで選択するとガロア群が表示されます。