中間体のとり方は、いくつかあるはずですが、まずは書籍Iにしたがって、次のようにとってみます。Q(ζ)で付け加わる元として書いてあるのは、ζから派生するけど、Q(ζ5)の元にならないものです。Q(ζ5)で付け加わる元として書いてあるのは、ζ5から派生するけど、Q(ζ45)の元にならないものです。Q(ζ45)で付け加わる元として書いてあるのは、ζ45(=i)から派生するけど、Qの元にならないものです。使って区別して書きます。それぞれの元を列挙します。書籍Iではσ(ζ)=ζ5として(つまりσ5)、σの巡回を調べます。σ(ζ5)=ζ25σ2(ζ5)=ζ125σ3(ζ5)=ζ85σ4(ζ5)=ζ65σ5(ζ5)=ζ145σ6(ζ5)=ζ5σ6はζ5を変換しないのでeであるといっています。σ(ζ)=ζ5と明言しているので、σ2はσ25になってしまいます。ここに書いたσの添字はこれに従っています。これでは支障があります。Gal(Q(ζ5)/Q(ζ45))が成立しません。σ25などGal(Q(ζ)/Q)には存在しないものが残ります。σ(ζ)=ζ5としたのが間違いです。ここではζ5に作用してζ25になる変換で、位数が6で巡回するものであればいいので、σ(ζ)=ζ5とは限りません。(書籍Iでもこのσ(ζ)=ζ5のσはQ(ζ)上の同型写像でないと注意を促し、σ(ζ)=ζ29のσをとればよいのだが、べき数の計算が目で追えないのでσ(ζ)=ζ5を使ったとしています。)ひょっとすれば、さらにζ25にならなくても、適当に巡回して位数が6であるものでいいのだと思います。正しい位数6の巡回群ではとりあえず、ζ5に作用してζ25になる変換を探します。