編集(正則函数から転送)代数幾何学における正則関数については「多様体の射」をご覧ください。(英語版)のことである[5][6][7]。複素関数(複素数を変数とし、複素数に値をもつ関数)のうちで、定義域(または議論の対象とする領域)の全ての点で微分可能な関数の事である。領域内の全ての点で微分可能であるという性質は、正則性といわれる[5][6][7]。ゼータ関数など、複素解析において中心的な役割を演じる関数の多くはこの性質を持っている[8][9]。複素関数が正則であることを仮定すると、その関数は各点で何回でも微分することができる[6]。実関数(実数を変数とする関数)とは違って微分可能な回数に縛られることはなく、複素関数においては正則であるか否か、すなわちある特定の集合の全ての点で1回微分可能であるか否かの差異があるのみである。このような1回微分可能ならば何回でも微分可能という性質は、複素関数のもつ最も大きな特徴であると同時に、他の関数の微分とは一線を画す特異な性質でもある。微分可能性についての複素関数と他の関数の著しい相違の原因は、そもそもの微分の定義の違いにある。実変数の場合、極限は直線的な近づき方のみしかないが、複素関数の場合の極限は2次元平面の任意の曲線に沿った近づき方が許される。よって、実変数の極限よりも複素変数の極限の方がより強い条件となるので、複素関数の微分可能性の方が実関数のそれよりもより多くの内容をもつ。平面を定義域とする2次元ベクトル場と複素平面を定義域とする複素関数との相違は何かといえば、それは代数的構造である。ベクトル場では、定義域・値域のベクトル空間は体ではないため、商が定義されていない。よって、微分に対しても商を用いた定義をすることができないため、ベクトル場は正則関数のような強い特徴は持たない。複素関数の定義域・値域である複素数体には商が定義されているので、ごく自然に微分係数を商で定義することができる。「ごく自然に微分係数を商で定義すること」の結果として、コーシー・リーマンの方程式を経由し[10][11]、調和関数と正則関数は関係付けられる。正則関数の特異で便利な性質は、調和関数の性質を引き継いだものとして捉えることができる。正則であれば何回でも微分可能ということから、正則関数は冪級数に展開されるので、複素関数に関しては、それが正則関数であるということと解析関数であることとは同じである。一致の定理により正則関数はその特異点を含まない領域へ一意的に拡張(解析接続)することができる場合がある[5][6][7]。ガウス平面の全域で正則である複素関数は整関数であるといい、正則関数の商として得られる関数は有理型関数という[5][6][7]。おける微分係数と呼ぶ。正則関数であるという[5][6][7]。正則であるという(1点における正則性)[5][6][7]。上で定義される正則関数とする。{dg}{dz}}}が成り立つ。ゆえに正則関数の和、定数倍(スカラー倍)、積は再び正則である。ならない点において複素平面上の等角写像である。iv(x,y)と表すことができる。x}}\end{cases}}}を満たす[10][11]。変数の調和関数であることがわかる。y}}\right)=0}に変換される。ならないのであれば、コーシー・リーマンの方程式は満たされないのである。与えられているとする。まで解析接続可能であるという[12][13]。まで広げた領域で定義される正則関数と見なすことであるということもできる[12][13]。ある領域における(局所的な)正則関数は一つの大きな(大域的な)正則関数の局所的な姿であると考えることができ、解析接続は局所的な関数とその定義域の組を張り合わせて大域的な正則関数を表示する方法であると捉えられる[12][13]。このような立場からは、正則関数は解析接続を可能な限り施して定義域を広げたものと考えて扱うのが自然である。ここで、ある領域を定義域としてそこで特定の表示を持つ正則関数に対して、その定義域を超えて解析接続して得られる正則関数を考えるとき、はじめの表示がもとの定義域の外でも有効であるわけではないことには注意しなければならない。周辺で有効でないことを見て取ることができる。一方で、明らかに無限大に発散するはずの右辺が負の値を持つ左辺と等しいという、この一見不可解な等式を物理学への応用などの観点から正当化する方法が、繰り込みなどいくつか知られていて、それ自体興味深い研究対象である。最初に与えられた正則関数を解析接続したときに、ガウス平面内の領域でこれ以上解析接続できないような極大単連結領域が存在する場合はさほど問題は起きないのであるが、一般には特異点のまわりで「おかしな振る舞い」が現れて状況が複雑化するため、大域的な議論はそれほど単純ではない。局所的には一価な正則関数でも、大域的には多価関数となるような場面に遭遇するのはこのような事情の現れの一つである。二つの解析接続がいつ一致するかというのはホモトピーの言葉を使って述べることができ、一価性定理(モノドロミー定理)などが知られている。関数などの解析接続は、しばしば関数等式を用いて行われる[8][9]。正則関数の全体は層を成すことが知られている。この立場から見れば、上記の局所的な正則関数は正則関数の芽である。成す層を表現していると考えることができる。同義で、通例「整」の語が宛てられる。