音楽ゲーム(以下音ゲ)において、曲をプレイすると得られるスコアを確率変数として、その分布を推定することを試みた。音ゲのスコアは慣習的に最大値のみが保存されるような仕組みになっている。そのため、曲をプレイすると得られるスコアは一覧として得られない。得られるデータと言えば、その曲を何回プレイして最高のスコアはいくつだったかだけである。そこで、本記事では、その最大値から背景にあるスコアの分布を推定することを試みた。本記事をすらすらと読むためには、大学学部レベルの確率統計を履修している必要がある。スマホでは本記事の数式が見切れてしまうようである。スマホの方は横画面にして読んでほしい。VOLTEX(以下SDVX)という音ゲをご存知だろうか?多くの方は知らないと思うので、データの概要やモチベーション等については伝わるように丁寧目に説明する。SDVXに限らず、音ゲでは100円入れると最大3曲プレイできるようになっている。1曲目でプレイした曲のスコアが低かったり、クリアゲージを満たしていたいと(太鼓の達人のように)、次の曲には進めない。100円で多くの曲をプレイするには、なるべくクリアできる曲を選曲しないと行けない。ところでSDVXは曲の追加が非常に頻繁に行われる音ゲある。新曲については何曲目にプレイすべきか非常に慎重にならざるを得ない。いうのも、もし確率的に難しい曲だった場合1曲目でゲームオーバーになってしまうリスクがあるからだ。新曲には難易度以外の事前知識はない。このリスクを定量的に評価できたとしたら、新曲をプレイするかしないかの意思決定をサポートすることができる。クリアできるか否かはスコアと高い相関があるため、今回はスコアについて分析する。この分析において目的は以下のようになる。目的あるレベルの曲について一回プレイする場合、得られるスコアの分布を知りたい。SDVXにおけるデータコナミに540円収めると、自分のプレイデータを買うことができるので、手っ取り早くそれを利用した。0注目してほしいのは、ハイスコア(ベストスコア)とプレイ回数が記録されている点だ。自分のプレイした履歴のようなデータは残念ながら存在しない。スコアは0〜1000万点の範囲であるが、今回は分析の都合上0〜1に正規化を行っている。新たにレベル20に曲が追加されたときに、それをプレイするとどれぐらいのスコアが得られるのだろうか?このデータからそれを推定するのである。本分析ではレベル17,18,19,20について、分布を推定した。分析上の仮定やや、強い仮定もあるがモデリングの都合上許してほしい。同じレベル帯の曲は同じ難易度である。(同じレベルならスコアの分布は曲にかかわらず全て同じ分布)同じレベルなら、プレイごとに得られるスコアは独立同分布である。ある音ゲに対する勘違いとして、「プレイヤーは譜面を覚えてスコアを伸ばすんでしょ?」(つまり得点は試行の順番に相関がある)というものがある。これは誤りであることが多い。多くのプレイヤー(自分も含めて)は、譜面に対するパターン認識のスピード向上したり、脳の命令どおりに手が動けるようになったりすることで、スコアを伸ばしている。覚えるということはすくない。(ちなみに、初見でプレイしたスコアに勝てないという現象を頻発する。)データの取得期間中のプレイヤーのスキルは上昇してないものとする。これは現実を無視したモデリングだが、スキルの上昇幅は少ないものとして今回の分析では無視して考える。以下、特定のレベル帯の曲について議論することにする。曲が1〜Nまであるとする。曲を一回プレイしてスコアを得ることを1回の試行とする。プレイした中でj回目に出たスコア。過去の全ての試行を確率変数として表すと以下のようになる。...Nこれらは全て独立同分布に従うと仮定する。代表して書くことにする。...ある曲を一回プレイしたときに得られるスコアの確率変数。...Nベストスコアは確率変数の最大値なのでこれも確率変数である。$$M_{n_i}=max(X_{(i,1)},X_{(i,2)},...,X_{(i,n_{i})})$$と定義すると、表は以下のようにスッキリとした見た目になる。...N...n回試行したときの最大値の確率変数。ここで、問題の目的を書き得ると以下のようになる。よって表現できるものとする。