この式のベクトル部ですが、先ほど説明した3次元ベクトルの回転の式と一致しています。3次元ベクトルの回転をすることができます。四元数の発見は歴史的には大きな意味のあるものだったそうです。四元数は非可換体です。体はいずれも可換なものでした。後述する整数の剰余環なども可換体です。見つかった非可換な体ということで、そのインパクトは非常に大きなものがあります。四元数の研究を通じてさまざまな分野が発展しました。四元数のベクトル部の研究からベクトル代数・ベクトル解析というものが生まれました。四元数の非可換性の研究から行列式などが派生しました。ちなみに、複素数から四元数を作った手順と同様の手順で8元数や16元数と呼ばれる数を作ることもできます。名前の通り、8元数は8つの実数から、16元数は16個の実数からなる数です。8元数および16元数は積に関して結合法則がなりたたないため体ではありません。16元数は零因子も持っています。移すような回転を考えるなら、以下のような式でできます。