(写像の合成)で定めると、これは非可換環になります。成り立つので、分配法則も成り立ちます。(畳込み積)で定義すると、可換体になります。bで定義すると可換体となります。有理数や実数など以外にも、様々な体が存在します。このような体の例をいくつか紹介します。なるような数を作ったものです。なるような数を作ることができます。quaternion、ハミルトンは人名)、あるいは単に四元数(quaternion)と呼ばれています。四元数は非可換体になります。書き表すことができます。間には以下のような関係式が成り立っています。-i四元数という言葉は、4つの実数(4元)から作られた数という意味です。書き表すことがあります。部分をベクトル部と呼びます。加減乗除などの計算が簡単に書き表すことができます。四元数の加減算は非常に単純で、以下のようになります。cf)なので、ベクトル表現では以下のようになります。