有限個の要素を持つ集合を有限集合と呼びます。有限集合の濃度を有限濃度と呼びます。有限集合どうしの濃度が等しいことと、それらの集合に含まれる要素の個数が等しいことは必要十分です。存在することを意味します。これは集合の濃度が等しいことの厳密な定義ですが、直感的には、これは何を意味しているのでしょうか。実は、有限集合に話を限定すると、有限集合\(X,Y\)に対して\(\#X=\#Y\)が成り立つことと、\(X\)と\(Y\)の要素の個数が等しいことは必要十分です。このことを以下で示します。y_{n}\}\end{eqnarray*}で表します。&=&y_{n}\end{eqnarray*}を満たすものとして構成すると、これは全単射です(演習問題にします)。したがって、\(\#X=\#Y\)が成り立ちます。逆に、有限集合\(X,Y\)が\(\#X=\#Y\)を満たすものとします。Y\)が存在するということです。このとき、\(X\)と\(Y\)の要素の個数が異なるものと仮定して矛盾を導きます。\(X\)の要素の個数が\(Y\)の要素の個数よりも多いと仮定しても一般性は失われません。Y\)が成り立ちますが、これは\(f\)が全単射であることと矛盾します。したがって、\(X\)と\(Y\)は同じ個数の要素を持つことが示されました。命題(有限集合の濃度の解釈)有限集合\(X,Y\)が任意に与えられたとき、\(X\)の要素の個数と\(Y\)の要素の個数が等しいことは、\(\#X=\#Y\)が成り立つための必要十分条件である。話を限定したとき、濃度が等しいすべての集合は、集合に含まれる要素の個数を表す自然数を共有しています。X\right)\end{equation*}などで表します。X\end{equation*}が存在することを意味します。\)は要素を持たないため、その濃度を\(0\)と定めます。&=&\{z_{1},z_{2},z_{3}\}\end{eqnarray*}はいずれも有限集合であり、それらの濃度に関して、\begin{equation*}\#X=\#Y=\#Z=3\end{equation*}が成り立ちます。z_{n}\}\end{eqnarray*}については、\begin{equation*}\#X=\#Y=\#Z=n\end{equation*}が成り立ちます。x^{2}=1\}\end{eqnarray*}については、\begin{equation*}\#X=\#Y=0\end{equation*}が成り立ちます。Y\text{が存在する}\end{equation*}を満たすものとして定義すると、この\(=\)は\(\mathfrak{A}\)上の同値関係です。\#X=\#Y\right\}\end{equation*}が定義可能です。\end{eqnarray*}が成り立ちます。これは、濃度の大きさによって有限集合を分類したとき、それぞれの有限集合は何らかの濃度を持ち、なおかつ、異なる濃度を同時に持つ有限集合は存在しないことを意味します。定まるということです。同値関係について復習する次回は無限集合について学びます。>無限集合ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。