実数の連続性を特徴づける上限性質や下限性質を公理として認めると、そこから上に有界な単調増加数列や下に有界な単調減少数列が収束することを示すことができます。以下の例から分かるように、一般に、単調数列の中には収束するものとそうでないものがあります。例(収束する単調数列)一般項が\(x_{n}=\frac{1}{n}\)で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。\mathbb{N}\)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は単調減少数列です。\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}=\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(0\)でないかと予想できます。\end{equation*}が成り立つことを証明します。>0\)を任意に選びます。}x_{n}=0\)が成り立つことが示されました。したがって、この\(\{x_{n}\}\)は収束する単調数列の例です。例(収束しない単調数列)一般項が\(x_{n}=2^{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は単調増加数列です。\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}=2^{n}\)は限りなく大きくなるため、この数列は正の無限大へ発散するのでなはいかと予想できます。2^{n}>M)\end{equation*}が成り立つことを証明します。実数\(M\)を任意に選びます。\)が成り立つことが示されました。したがって、この\(\{x_{n}\}\)は発散する単調数列の例です。単調数列の中には収束するものとそうでないものがあることを確認しました。単調数列が収束するための条件を何らかの形で特定することはできるのでしょうか。単調数列の中でも単調増加数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。この\(\{x_{n}\}\)は上に有界であるものとしましょう。\tag{1}\end{equation}で表すと、この集合\(A\)は上に有界であるということです。\mathbb{R}\)が存在します。A\)は\(A\)の上界の最小値)。A\)を超えることはありません。A\)へと収束しそうです。実際、この主張が正しいことが証明されます。実数の連続性について復習する命題(上に有界な単調増加数列は収束する)上に有界な単調増加数列\(\{x_{n}\}\)は収束する。\mathbb{N}\}\end{equation*}と一致する。証明を見る(プレミアム会員限定)例(上に有界な単調増加数列)一般項が\(x_{n}=1-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は単調増加数列です。\end{equation}が成り立つため、\(\{x_{n}\}\)は上に有界です。したがって、上の命題より、\(\{x_{n}\}\)は収束するはずです。A\)になるはずです。A=1\)ですが、念のためにそのことを証明します。\)より\(1\)は集合\(A\)の上界です。\)は\(A\)の上界ではありません。A\)であることが示されました。\end{equation*}が成り立つことを確認します。>0\)を任意に選びます。}x_{n}=1\)が成り立つことが示されました。これらの結果はすべて先の命題の主張と整合的です。下に有界な単調減少数列についても同様のことが成り立ちます。\end{equation}で表します。\mathbb{R}\)が存在します。A\)は\(A\)の下界の最大値)。A\)を下回ることはありません。A\)へと収束しそうです。実際、この主張が正しいことが証明されます。実数の連続性について復習する命題(下に有界な単調減少数列は収束する)下に有界な単調減少数列\(\{x_{n}\}\)は収束する。\end{equation*}と一致する。証明を見る(プレミアム会員限定)例(下に有界な単調減少数列)一般項が\(x_{n}=\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は単調減少数列です。\tag{1}\end{equation}が成り立つため、\(\{x_{n}\}\)は下に有界です。したがって、上の命題より、\(\{x_{n}\}\)は収束するはずです。A\)になるはずです。A=0\)ですが、念のためにそのことを証明します。\)より\(0\)は集合\(A\)の下界です。\)は\(A\)の下界ではありません。A\)であることが示されました。\end{equation*}が成り立つことを確認します。>0\)を任意に選びます。}x_{n}=0\)が成り立つことが示されました。これらの結果はすべて先の命題の主張と整合的です。つの命題を踏まえると、以下が得られます。系(有界単調数列の収束定理)有界な単調数列\(\{x_{n}\}\)は収束する。次回は単調数列と連続性の関係に関する議論を深めます。>単調数列と連続性ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。