剰余類に加法と乗法を定義すると、剰余環を定義できる。mの剰余環と呼ばれる。ここで、単位元は1+mZとなる。剰余環は除算ができない。除算を定義可能にするには、体が必要になる。ここで、除算は乗算の逆元で定義可能である。剰余環が逆元を持てば、可逆と呼ばれる。可逆な要素を単数(unit)と呼ばれる。剰余類a+mZがZ/mZで可逆であることは、合同式が解を持つことと同値である。mの既約剰余類といわれる。[定理]剰余類Z/mZは、mが素数のときのみ体である。[証明]Z/mZは、1≦k<mを満足するすべてのkについてGCD(k,m)=1であるときのみ体である。この条件はmが素数であることを意味している。乗法巡回群であることを調べる。生成元とする巡回群である。剰余類(4062d)。