A\)もまた存在する場合には一意的です。A\)についても同様です。以上の事実を命題としてまとめておきます。命題(上限・下限の一意性)ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について以下が成り立つ。A\text{が存在するならば、それは一意的である。A\text{が存在するならば、それは一意的である。}\end{eqnarray*}最大元・最小元との関係ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合に最大元が存在する場合には、それは同時に上限でもあります。最小元は同時に下限でもあります。命題(最大元・最小元との関係)ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について以下が成り立つ。A\text{が成り立つ。A\text{が成り立つ。}\end{eqnarray*}証明を見る(プレミアム会員限定)\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合に最大元が存在する場合にはそれは上限でもありますが、以下で例示するように、最大元が存在しない場合に上限が存在する状況は起こり得ます。同様に、最小元が存在しない場合に下限が存在する状況は起こり得ます。したがって、上限と下限は最大元と最小元よりも広い概念です。