\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合の上限がその部分集合の点である場合には、それは同時に最大元です。下限がその部分集合の点である場合には、それは同時に最小元です。命題(最大元・最小元との関係)ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について以下が成り立つ。A\text{が成り立つ。A\text{が成り立つ。\)は実数どうしを比較する通常の大小関係に他なりません。したがって、実数の連続性の公理より、上に有界な\(\mathbb{R}\)の部分集合は必ず上限を持ち、下に有界な\(\mathbb{R}\)の部分集合は必ず下限を持ちます。この事実を活用すると、より一般的な\(n\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の部分集合に関しても、同様の条件のもとで上限や下限の存在を保証することができます。実数の連続性について復習する命題(上限・下限の存在)ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)の空でない部分集合\(A\)について以下が成り立つ。A\text{が存在する。A\text{が存在する。}\end{eqnarray*}証明を見る(プレミアム会員限定)次回はユークリッド空間における点列について学びます。前のページ上界・下界ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。