ユークリッド空間上の非空な部分集合に対して、その上限や下限を定義します。1次元ユークリッド空間においては、実数の連続性の公理より、上に有界な部分集合には上限が、下に有界な部分集合には下限が必ず存在します。この事実を利用すると、多次元ユークリッド空間の部分集合についても同様のことを保証できます。A\right)\end{equation*}で表します。\)の要素でなければなりません。\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。A\)が\(A\)の任意の上界以下であることをそれぞれ意味します。上限を以下のように表現することもできます。A=a\)であるための必要十分条件である。証明を見る(プレミアム会員限定)つまり、点\(a\)が\(A\)に属する任意の点以上(\(A\)の上界である)であると同時に、点\(a\)よりも小さい任意の点が\(A\)の上界でないことは、\(a\)が\(A\)の上限であるための必要十分条件です。