7分ツイートシェアはてブLINEPocketサトゥーこんにちは、サトゥーです。以前からリクエストがあった、単振動についてまとめてみます。交流回路も基本的には単振動の分野なので、こちらも参考にどうぞ。難しめとされがちですが、慣れてしまえばやることは本当にワンパターンなのでしっかり理解しておきましょう。難しい問題になってくると、2物体の単振動を考えるものも出てきます。重心系の考え方を利用するとうまくいくことも多いので、「2体問題」についてもこの機会に復習しておいてください。物理チートシート〜2体問題を攻略。基本的にしっかり理解している人を除いて、一回読んで100%理解するのは難しいと思います。問題を解きながら、何回か見直してみてやっとしっかり理解できるようになります。単振動って何なんでしょうね。ここからはっきりさせていきましょうか。単振動は調和振動ともいい、振動の基本的な現象であります。高校物理では次のように習いますね。表される現象サトゥーこんな感じの正弦波をみたことがあるかと思います。実際に上の運動方程式(微分方程式)を解くと、正弦波が現れてきます。ここについては、微分方程式を解くことは高校生に求められていませんので、現時点では「へぇ〜そうなるのか〜」程度の理解でいいです。一般的に全ての振動現象は単振動で近似できるか、単振動の合成として表現できます。(フーリエ変換とか、その辺の話ですね)このサイトとか参考になるかも高校ではまず基本的な単振動から勉強しましょうねっていう話ですね。訳で、高校で出てくる振動系の現象は基本的に全てが単振動になっています。数式をいじって単振動を理解してみるさて、数式をもう少し掘り下げてみましょう。数式をこねくり回して、性質を色々明らかにしていきましょうか。先ほど運動方程式を書きましたが、単振動の定義は次のようになります。物理量が次の数式で表される振動現象をすること。は時間で、は定数です。サトゥーここから式をちょっといじりますこのとき、式の両辺を時間で微分すれば、もう一度微分して、ここで、この式の右辺に着目すれば、の部分はとかけるので、結局、が成立することがわかります。これも有名な式ですね。結局、次の性質が成り立つわけです。単振動の性質を図解するとこんな感じ。振幅は英語でAmplitudeなので、ここではと表記します。初期条件によらないことが分かります。いう物理量があります。角振動数は通常で表します。このページでも当たり前のように使ってしまっています。円運動における角速度と同じです。角速度と言ったほうが、もしかするとイメージしやすいかもしれませんね。これらの物理量も、初期条件とは関係なく、初期条件によらない量であることがわかります。以上を簡単にまとめておきます。初期条件によらないというのはつまり、振動を開始する位置などを変化させても変化しないということです。問題のネタになります。深く、数式的にアプローチしてみるサトゥーここで、具体的に初期条件を当てはめて、定数B,Cの値を求めてみましょう。初期条件がでとします。このとき、次のようにを決定していきます。おけ、これより両辺を時間微分してとなります。これに初期条件を代入してを求めると、が得られます。単振動について一つの結論また、次の結果が得られます。重要な結論さてさて、ここまでは仮の初期条件としてをおいてきましたが、実際にこの議論は位置、速度に依らず同じように議論できるので、結局次のようになります。簡単に言ってしまえば、振幅が保存するということです。その振幅は上の式で結構簡単に表せてしまうということ。単振動では、この式がキーになってきます。問題を解くときには振幅を理解しておいた方が、大抵の場合は計算が楽だから。この式を使えば、ほぼ一瞬で振幅が出せて、そこから図形的なアプローチもできます。エネルギー保存の式と事実上同じことを言っているので、どちらを使うかはお任せしますが、僕の経験上この式使った方が圧倒的に速いです。まとめさて、実はこの程度をしっかりさらっておけば、単振動の基本事項は終わりなんです。簡単にここまでやってきたことを整理しておきますと、ここまでまとめ振幅は初期条件で決定され、振動中心や角振動数は初期条件に依らない振幅が保存している。この式から問題でネタにされがちな物理量が簡単に出せる問題を解きながら理解を深めてみるとはいえ、数式だらけで何言ってるかよく分からない人もいると思いますので、問題をいくつか扱うことで、実際に知識をどう運用していくか確認してみましょう。サトゥーとは言っても、僕の手元にある問題は模試の過去問がほとんどで、著作権の問題でお見せできないので...なんとか確認に使えそうなものを探してみました。問題(2005阪大)サトゥーさてさて、今回私が重要と言った式が出てくるのは問5あたりでしょうかね。答えも下に貼っておくので、ぜひ解いてみてくださいね。答え星をつけた赤いところに使用していますね。これを使わないと、面倒なエネルギー保存の2次方程式を解かなくてはならないのですが、この結果を利用すれば整理された状態で立式できるので、計算ミスが間違いなく減ります。いかがでしたでしょうか。皆さんも是非、こちらの記事の内容をしっかり理解して、物理をエンジョイしてみてください。問題演習にこちらもどうぞ。僕が東大合格のために使った問題集・参考書を紹介していくサトゥーよかったら是非、記事のシェアや感想をお願いいたします。