Theoremhttp://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=7146という記事を書いていた(私には要点がイマイチ分からなかったが)ネーターの定理は、「保存量と対称性が対応する」という標語で知られる有名な定理で、普通、Lagrangianを使って定式化される。mapは、ネーターの定理のHamilton形式版というかsymplectic版といえる。数学では、Lagrangianそのものが使われない傾向にあるので、ネーターの定理を見かけることは、少ない。mapを使っているのを見たことは、記憶にある限りではない。mapの問題ではなく、相空間の取り方の問題だと思う。空間並進対称性に付随する物理量が運動量であることと、時間並進対称性に付随する物理量がエネルギーであることは、明らかに同じ構造を持っているので、通常の扱いでは、相空間が時間とエネルギーに対応する座標を持ってないことがトラブルの原因と思われる。spaceというものが使われることがある。mapを定義しようと思えば必要だし、相対論を考えても不自然ではない。)https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/42747(3)について。symplectic多様体と、多様体への(symplectic形式を保つ)群作用のみで決まり、Hamiltonianには依存していない。従って、Hamiltonianを取り替えても、相空間と群作用が同じであれば、自明に同じ運動量写像を得る。群作用が、Hamiltonianを保つなら、HamiltonianとPoisson可換な保存量を得ることができるけど、運動量写像の"型"はで(Mはsymplectic多様体でetc.)、保存量はM上の関数でないと困る。mapと呼ばれることがある。mapの"型"はとなる。行き先が決まれば、残りも全部決まる。mapの定義によっては、保存量に定数を足す不定性が残ることがある。角運動量の例だと、L1,L2,L3をL1+c1,L2+c2,L3+c3に置き換えても(c1,c2,c3は異なる定数)、それぞれから定まる時間発展は変化しない。mapのpullbackはPoisson括弧を保たない。mapがPoisson準同型になることを要請する場合もある。このへんは、上の(2)と関係する話(4)について。mapと対比すると分かりやすい。mapの概念や名前を誰が最初に明文化したのかは分からない(概念自体は、誰でも思いつくようなものなので、多くの人が同時期に知っていたに違いない)。systemshttps://arxiv.org/abs/math/0606233の25ページDefinition4.1を参照#私は、昔誰かが"量子化運動量写像"と訳していたのを見て、その呼称を使っていたけど、今検索したら、このサイトしか出なかった。そもそも、普通に訳すと、"量子運動量写像"の気がする(これは、一件あった)。mapと呼んだほうが適切でないかとも思うが、非可換の場合の空間概念がないので、量子の場合、comomentの方しか存在しない)これは環準同型で、群作用と可換になるという条件が付く。この場合も、一次の元(つまり、Lie環の元)の行き先だけ決まれば、残りは全部決まる。Noteでは、大域的な変換ではなく、無限小変換を考えている。この定義だと、ネーターの定理は、ほぼ自明である。(ad(P)(Q))Rとなる)。この条件を満たす元XをDer(A)としているが、X=ad(P)となるPがいつでも存在するとは限らないけど、存在すれば、正に保存量となる(逆に、保存量Pを与えれば、ad(P)によって、Der(A)の元が決まるので、非可換環Aへの無限小変換も自動的に定まることになる。mapとなっている)。quantization"と呼ばれるものを考えるのがいい。algebra(日本語訳は次数化環?)gr(A)を定義することができて、gr(A)は可換とは限らないけど、可換代数である時には、自然なPoisson構造が入る。quantizationと呼ばれる(gr(A)のPoisson構造まで込みで一致する必要がある)。quantizationは、多分、最近使われるようになった用語で、あまり浸透していないっぽい(検索すると、arXiv:1212.0914やarXiv:1704.05144で見つかる)。quantizationという用語は使われていないが、正にこの意味での量子化になっていることが分かる)。quantizationで得たフィルター環から完備なRees代数を構成すれば、変形量子化になる。quantizationの意味での量子化と理解できる(arXiv:math/0105225)。algebraは、可換にならない場合でも、例えばClifford代数からは外積代数が得られる。quantizationの一種として理解できる。quantizationとは別の枠組みで理解されるべきようにも見えるけど、よく分からない(3)に戻ると、運動量写像にHamiltonianは必要ないので、例えば、相空間がsymplectic等質空間であれば、変換がHamiltonianを不変に保つか否かに限らず、運動量写像を考えることができる。algebraが作られ、波動関数に作用する。mapより優れていると思う。可積分性の必要条件と十分条件Lax方程式は、可積分系で頻出する道具の一つで、現在知られている多くの(古典)可積分系で、等価なLax方程式が得られている。equation."などと書いてある。pairがあげられている(著者に、広田良吾が入っているので、"権威付け"として)。pairを作ることができるに対して(Iとθが時間依存する変数で、ωは定数)とは同値。具体的に分かっているなら、もう系は解けているといってよく、Lax方程式は必要ないので、こんな話は、実用上は何の意味もない(つまり、このLax方程式は役に立たないものである)けど、大雑把には「Liouville可積分系はLax方程式で書ける」と言ってもよさそうである。可積分でなくても、Lax方程式で書ける系は、無数に存在する。双対空間(標準的なPoisson構造がある)上で定義されるハミルトン力学系は、常にLax形式で書くことができるけど、当然、その殆どは、可積分でないだろうと思われる。Lax方程式の偉いところは、機械的に、沢山の第一積分が得られる点にあるけど、この場合、得られる保存量は、Casimir関数であり、例えば、Lie環がgl(n)であれば、次元は$n^2$に対して、独立なCasimir関数はn個しかないので、一般に全く足りない。いうわけで、これも役に立たないLax方程式である(※)※)しかし、この見方は、役に立つLax方程式への第一歩でもある。"標準的な"Lax形式で書いた時、Liouville可積分であるための第一積分は、Casimir関数で与えられる(実際、tr(L^n/n)の形で書け、n=2の時が通常のHamiltonian)。r-matrixを通じて定義されるPoisson括弧に関しても包合的であるが、他の関数とPoisson可換とは限らなくなる。r-matrixで書ける。場合は、これで可積分になるために十分な数の第一積分を得られる。Euler(流体)方程式はLax方程式で書け、かつ非可積分である。reductionは余随伴軌道なので)で、Euler流体の方程式は、その例となっている。[補足1]『非線形可積分系の差分化とその現状』には、他に可積分性の条件として"N-ソリトン解を持つこと"が挙げられている。これについては、(そもそも、ソリトン解の数学的な定義は何かということを脇に置いても)微妙なとこではある。sine-Gordon方程式)。equations"という言葉を使えるので、「ソリトン方程式は可積分である」という言明は、慎重に使う必要があると思う。systems)http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0370157378900741[補足2]『非線形可積分系の差分化とその現状』に挙げられていないが、多くの古典可積分系はbiHamilton系であることが知られている("2つ"あるのは、HamiltonianではなくPoisson括弧なので、biPoissonと呼ぶほうが適切な気がするけど、biHamiltonianという名前が広く使われている)。operatorによって、"低次"のHamiltonianから高次のHamiltonianを作れる。operatorのべき乗のトレースがしばしば選ばれる)。integrabilityhttps://mathoverflow.net/questions/14740/connection-between-bi-hamiltonian-systems-and-complete-integrabilityリンクが切れている論文があり、タイトルも不明だったので、探したものを貼っておく。systemshttps://link.springer.com/article/10.1007/BF02219188論文で挙げられている"可積分だけどbiHamiltonian構造を持たない"例は、MIC-Kepler問題として知られる系(普通のKepler系はbiHamiltonianだけど、摂動を入れると、biHamiltonianでなくなる)。variables/SoV)が挙げられている。変数分離は、解析力学の教科書に書いてある古い方法で、19世紀に知られていた多くの可積分系は、この方法で解かれている(と思う)けど、職人芸的なものである。最近(20世紀後半)になって、変数分離の理解にも進展があった(私は、あまり理解してないけど)。recipe(とSklyanin自身が書いている)というもの。unsolvedこの場合、スペクトル曲線は代数曲線なので、系を調べるのに代数幾何が役に立つことになる。鍵になるのは、よいbiHamilton系では、Nijenhuisテンソル(※)が存在して、その固有値が、Darboux–Nijenhuis座標というものの半分を与えるという感じらしい。こっちの方は、微分幾何学的で、理論的な理解はより進んでいる模様。operatorと呼ばれることもある。Variableshttps://arxiv.org/abs/1205.6937現状、与えられたHamilton力学系を"解く"のに役立つLax形式やbiHamiltonian構造を見つけるのは、今の所、職人芸に頼るしかないと思う(し、存在するかどうかも明らかではない)けど、Lax形式やbiHamiltonian構造が分かれば、Liouville可積分性が要求する第一積分を全て発見することは、しばしば可能となる。十分な数の独立な第一積分があれば、Liouville-Arnoldの定理によって求積可能であると言っても、これは原理的なものでしかなくて、実際に解く上では役に立たない(例えば、第一積分の等位集合の位相構造を調べるのは、一般には相当難しい)。hierarchyを作れるとか。それぞれ自然なPoisson構造が入り、前者は解析力学で基本的なPoisson代数として現れる。後者は、行列上で定義された多項式関数の集合と同一視できるので、線形代数に於ける基本的な考察の対象とみなされる(例えば、行列式は、行列上定義された多項式関数である)。前者の量子化はWeyl代数、後者の量子化はgl(V)の普遍展開環となり、それぞれ解析学と(Lie環の)表現論で基本的な対象といえる(gl(n)は半単純でないので、Lie環の表現論では、やや人気がないけど)。して、基本的な4つの代数を得るS(gl(n))は、gl(n)の双対空間上の多項式関数と同一視できる。この定義は、行列単位の交換関係から来ている。簡単な計算によってが分かる。同様にして、多項式を考えることができるが、これは、を満たす。centerは、明らかにPoisson可換なPoisson代数をなす(Poisson可換とは、任意の元同士のPoisson括弧が0になること)。centerの生成元を全部決定するという問題を考えることができる。centerに含まれることが分かる。centerを生成することが分かるChevalleyの制限定理は、簡約Lie環に対してで、Harish-Chandra同型というのは、簡約Lie環に対してとなる。従って明らかにが言える(この同型もHarish-Chandra同型と呼ばれていることがある。Harish-Chandraが最初にどれを主張したのかは知らない)。centerと量子化した代数の中心とが環同型と解釈できる。isomorphismという名前が付いている。centerは不変式論的に見ても同じものを得ることができるので、S(gl(n))のPoisson構造を考える必要は必ずしもない。Liouville可積分性を思い出せば、Poisson可換な代数は重要であるので、中心に限らず、もっと大きなPoisson可換な部分Poisson代数を考えるのは自然に思える。versionとが知られている#Tsetlinさんはロシア人っぽいけど、Cetlin,Tsetlin,Zetlin,Zeitlinなど、名前の表記ゆれが激しい。version(つまり、U(gl(n))の可換部分環)が先に作られたっぽい。Voiculescu(1975)が独立に考えたと書いてある(私は全く知らないけど、Voiculescuは自由確率論の開拓者で、Kerov-Vershikは漸近表現論を開拓し、自由確率論の応用先となっているそうな。n→∞の時が興味の中心なのでないかと思うけど)。ロシア語論文と古い本なので、確認してみる気にはならなかったGelfand-Tsetlin代数の定義は簡単で、gl(n)⊃gl(n-1)⊃...⊃gl(1)なので、Z(U(gl(n)),Z(U(gl(n-1)),...で生成されるU(gl(n))の部分環というのが、定義。これが可換環になることは、すぐ分かる。so(n)⊃so(n-1)⊃...⊃so(1)でも同じことが出来るし、量子普遍展開環やYangianでも、同様の定義ができる。centerを取っていけばいい。"Gelfand-Tsetlin"という名前は、Gelfand-Tsetlin基底というものに由来する(1950年代の仕事らしい)。spectrumを持つというのが、Gelfand-Tsetlinの示したこと?)。物理の人とかは、so(3)のスピンl表現の基底として、|l,m>と書くものを取るけど、あれも(so(3)⊃so(2)なので)Gelfand-Tsetlin基底。#シンプレクティック代数sp(n)の場合、sp(n-1)に制限していっても、Gelfand-Tsetlin基底は得られない。これは、sp(n)の有限次元既約表現を制限した時に、multiplicity-freeに分解しないため。Wikipedia見たら、何かYangian使って、Molevがsp(n)の場合にGelfand-Tsetlin基底を拡張したと書いてあるhttps://en.wikipedia.org/wiki/Restricted_representation#Gelfand.E2.80.93Tsetlin_basis#Gelfand-Tsetlin基底は、無限次元表現でも得られることはある(例えば、so(4,2)の極小表現や、so(3,1)の既約ユニタリ表現、3次元Euclid代数の既約ユニタリ表現など)。一般には、単一のHamiltonianが与えられた時、それと交換する保存量の全体は可換になるとは限らない(例えば、角運動量などは互いに可換でない)けど、Liouville可積分性では、その中の可換な部分代数のみが問題となる。このような代数で極大なものが複数ある場合もあるかと思う。versionについて最初に考えたのは、Vinbergのよう。algebraも、ここで初めて定義されたっぽい。Poisson可換なPoisson部分代数を考える動機として、Liouville可積分性をあげたので、可積分性の話。そのまま、Gelfand-Tsetlin可積分系と呼ばれる古典可積分系がある。IIhttps://arxiv.org/abs/math/0501387まぁ、通常の可積分系とは、大分趣は違う。so(n)https://arxiv.org/abs/0811.0835あたりでやられていた。theoryhttps://arxiv.org/abs/0809.1204はsurveyじゃないと書いてあるけど、"線形代数のspecialist"向けに書かれているようで分かりやすい。GT代数を積分して得られる群作用は、Ritz値を保つ(疎行列の数値計算界隈の技法であるKrylov部分空間法で出てくる用語)ということで、線形代数と数値計算にも応用があるかもしれない(実際に役立つ何かがあるのかは不明。topという古典可積分系の研究に遡る。topが、S(so(3))で定義されるので、S(so(n))への一般化を考えようというもの。centerは定数関数となって、第一積分として役に立たない。topという名前が適切かどうかは不明)。計量は慣性モーメントによって決まると見ることができる。相空間は、SO(n)の余接空間で、自然なSO(n)作用に関する運動量写像を関数環の方で見ると、S(so(n))->Fun(T^{*}SO(n))という型になる。関数のクラスFunはPoisson代数の構造が入れば何でもいい。この写像は、Poisson括弧を保つ環準同型になっている。reductionとしても、余随伴軌道が出る。簡単なso(3)の場合、genericな余随伴軌道の次元は2なので、あと一つ保存量があれば、Liouville可積分になる。これはHamiltonian自身があるのでOK。一般のso(n)の場合、Hamiltonian以外の保存量が必要となる。topを表し、必要な保存量を得たらしい。methodと現在、呼ばれている方法で捉え直した。Z)をtの冪で展開した係数のなす関数という定義(つまり、Z方向にテイラー展開した微係数)。qunatizationの意味。Vinbergは、そのような言葉は使ってないけど。subalgebraとかいう方が、通りが良いかもしれない)。これに対して、"generic"な部分を解決したのが、以下の論文と思う。Yangianshttps://arxiv.org/abs/q-alg/9507003上の論文で除外されていた特殊ケースについても、ある種の極限を取ることによって、極大な可換部分代数を対応付けることができるらしい。subalgebraの退化したケースとして出る。subalgebraのモジュライ空間を考えることができ、gl(n)の場合は、種数0でn+2個の点付きリーマン面のモジュライ空間(Deligne-Mumfordの安定曲線のモジュライ空間)に一致する。glnhttps://arxiv.org/abs/1703.04147などを参照。spectrumを持ち、同時固有関数はGelfand-Tsetlin基底となった。spectrumを持つかどうかという問題を考えられる(答えは知らない)。yesであれば、Gelfand-Tsetlin基底の変形が得られる。topは、Reyman&Semenov-Tian-Shanskyでも系統的に得ることはできる。pairを得ることはできない)。bodyhttps://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104115435など線形代数は、ベクトル空間と線形写像の理論ではあるけど、線形性に全てを押し付けて理解できない側面がある。行列式は線形な関数ではないし、相似変換の軌道は、複雑な幾何構造を持つ。対角化などは、相似変換による軌道の代表元を取る操作と理解されるので、あんまり線形な過程ではない。線形代数の線形性を超えた情報の多くは、S(gl(n))に含まれていると考えられる。これらは、物理的な重要性は、今の所、あまりないように思う(戸田格子とかは、一応物理的な動機があって調べられたもののようだし、他にもなんかあるのかもしれないけど)。いう系であっても、全然別の観点からの有用性があるかもしれない。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。