立体幾何に関する用語と記号を整理する。空間上の変換がアフィン変換であるとは、直線図形における辺の平行性を保存することである。言い換えれば、平行六面体を平行六面体に写すことである。平行性の保存によって同値な有向線分が同値な有向線分に写されることから、アフィン変換は空間に付随するベクトル空間の変換を誘導する。正則な線形変換を誘導する。groupと呼び、Affine(U)と書く。geometryとはアフィン変換群の構造とアフィン変換で不変な性質について調べることである。空間上の並進はアフィン変換であり、並進群V3はアフィン変換群Affine(U)の正規部分群であり、原点Oを固定するアフィン変換全体のなす固定部分群は一般線形群GL(V3)である。アフィン変換群の構造アフィン変換群Affine(U)は、並進群V3に内部自己同型によって一般線形群GL(V3)を作用させた半直積に同型である。GL(V3)アフィン変換を座標を使って表現する。空間(U,V3)において正規直交性をもつアフィン標構(O;e1,e2,e3)を固定する。V3とし、座標原点と基底の像を座標表現する。e3任意の点Pを与え、その点Pと像f(P)を座標表現する。e3このとき、アフィン変換は次のように行列表現される。p1'p2'p3'1=a11a12a13t1a21a22a23t2a31a32a33t30001p1p2p31これによりアフィン変換群Affine(U)は次のように行列表現できる。RここでGL(3,R)は実数上の(3,3)正則行列全体のなす群である。同じアフィン変換によって、アフィン標構(O;e1,e2,e3)を座標変換する。e1'=φ(e1)e2'=φ(e2)e3'=φ(e3)O'=f(O)とおくと、(O';e1',e2',e2')は一般には正規直交性を満たさない。任意の点Pを与え、その(O;e1,e2,e3)による座標を(p1,p2,p3)、(O';e1',e2',e3')による座標を(p1',p2',p3')とすると、次が成り立つ。p1p2p31=a11a12a13t1a21a22a23t2a31a32a33t30001p1'p2'p3'1これによりアフィン変換を与えたときに、それによる図形変換と座標変換は互いに逆変換になっていることがわかる。geometryと呼ばれる。transformationとは多面体を合同な多面体に写すもののことである。平行六面体は平行六面体に写すことから合同変換はアフィン変換である。多面体が合同であるとは各面が合同であることであり、各面の合同条件から合同変換は空間上の距離を不変にするアフィン変換として特徴付けることができる。Uが次の条件を満たすとき、合同変換という。U命題1.4.2.5合同変換から誘導される線形変換はノルムと内積を保存する。groupO(V3)である。合同変換群Cong(U)は、並進群V3に内部自己同型によって直交群O(V3)を作用させた半直積に同型である。}とおくと、合同変換群Cong(U)は次のように行列表現できる。空間上の相似変換とは多面体を相似な多面体に写すもののことである。多面体の相似性は各面の相似性によって定義されているため、平面幾何の相似性の定義と同様に線長比と平面角の保存によって特徴付けられる。transformationであるとは、次の条件を満たすことである。