物体2についても同様に力を定めます。内部の物体が互いに力を及ぼしあう内力であります。ここで作用反作用の法則から、次の関係式が成り立ちます。\tag{2}\)となりますね。みなさんがもし2体問題を知らないなら、普段の問題演習でも、上の2式の通りに式を立てて、変形して解いているわけですね。この連立方程式は、2体問題の場合に限って、うまーく変数分離できて綺麗な形になるんですね。今からそれをやるんですが、イメージとしては画像の感じです。普通に運動方程式を2本立てて連立して解く場合は、個々の問題に応じた式変形が必要です。いうのを使うと、立式段階ですでに答えがすぐ出るような形に変形されているのです。うざったい式変形を問題を解くたびにしなくて済むワケですね。この連立方程式を変形し、重心運動方程式と相対運動方程式というのを導出していきましょう。変形する上で、次の概念を導入します。\(\vec{r_r}=\vec{r_1}-\vec{r_2}\)特別な概念ではないので、ここでつまずくことはないと思います。相対位置というのは、いわゆる「物体2から見た物体1の位置」ですね。\frac{d^2\vec{r_2}}{dt^2}=\vec{F_1}+\vec{F_2}\)つまり、左辺に重心の概念を適用すれば、次のようになります。\tag{A}\)これを重心運動方程式と言います。式から読み取れるように、重心運動方程式からは系の重心の時間変化が分かるわけです。重心の運動は外力によってのみ引き起こされるということがわかりますね。相対運動方程式から相対運動がわかる!さて、2物体の運動について、重心運動方程式から重心の振る舞いがわかることが判明しました。用いて運動方程式っぽく書き直すと、次のようになります。相対運動方程式と呼びます。m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\)と言います。相対位置は内力に依存することがわかり、系内部の相互作用が相対運動に影響することが分かります。解くことは、元々の運動方程式を解くことと同値であるわけですね。ここまで流れだけさらって、ふむふむ、とりあえず2体問題は「重心運動」と「相対運動」に分ければうまくいくのだなと思っておいてください。相対運動についてもう少し考えてみると次の図をご覧下さい。この図から、緑色の矢印、つまり重心から見た1と2の位置について次の式が成り立ちます。\vec{r}_{r}\)このことから、相対運動は、重心から見た各点の運動と本質的には同じものと考えることができます。相対運動の議論は、重心系での物体1,2の運動の議論と実質同じであり、このことから2体問題についての大きな議論の流れが次のようにまとめられます。\vec{r}_{r}\)が成り立つことは先程確認しましたが、このことから次の事実が言えます。サトゥーこれ使えるので覚えといてください。エネルギー計算それでは、サトゥーエネルギー計算も「重心」と「相対」に分けられるのではないか?ということで考えてみましょうか。G}}\right)\)となります。=\frac{1}{2}\mu{v_r}^2\)が成り立ち、これを相対運動エネルギーといいます。以上より、エネルギーについても、重心運動と相対運動に分割して考えることができると分かりました。\frac{1}{2}\mu{v_r}^2\)実際に問題を解いてみようさて、ここまで一通り基本的な話は触れたので、次は問題をどうやって解くのかについての話を、実際の入試問題にチャレンジしつつ確認していきましょう。手元に問題集とか一切無いので、2018年の入試問題から2つとってきました。今回の話題に関連するところだけ話しますので、問題は必要なところだけ載せます。こちらの問題は、問2の(4)~(7)まで。普通に連立して解くのも良いですが、今の話を理解された方ならもっと簡単に解けることが分かりますね。