並進群V3に内部自己同型によって線長比のなす乗法群R+と直交群O(V3)の直積を作用させた半直積に同型である。O(V2))相似変換群Similar(U)は次のように行列表現できる。transformationという。等積変換群の原点の固定部分群は、外積のノルムを保存する線形変換の成す群Eq(V3)である。等積変換群Equiv(E)は、並進群V3に内部自己同型によってEq(V3)を作用させた半直積に同型である。}とおくとEq+(3,R)はEq(3,R)の正規部分群であり、特殊線形群と呼ばれ、通常SL(3,R)と表記される。Eq-(3,R)は部分群にはならない。等積変換群Equiv(E)は次のように行列表現できる。R運動幾何ユークリッド幾何における運動とは、空間上の図形を合同変換によって連続的に動かすことをいう。言い換えれば、運動とは合同変換群の単位元からの道のことである。groupは合同変換群の単位元を含む弧状連結成分のことである。原点Oを固定する合同変換全体のなす固定部分群は、内積を保存する線形変換の成す直交群O(V3)であり、その単位元を含む弧状連結成分は原点Oを中心とする回転群SO(V3)である。空間における運動群Motion(U)は、並進群V3に内部自己同型によって回転群SO(V3)を作用させた半直積に同型である。groupSO(3)と呼ばれる。}運動群Motion(U)は次のように行列表現できる。アフィン変換群の部分群アフィン変換群の部分群の包含関係をまとめると次のようになる。↘Cong(E)↓Motion(E)これらの群は並進群V3との半直積になっているので、その剰余群をとると次のようになる。