要旨:本講演は、代数的グラフ理論や量子ウォークに馴染みがない方を対象に、両分野の全体像を示し、雰囲気を掴んで頂くことを目的とする。グラフの定義やグラフ固有値の基本性質を見るところから始める。強正則グラフの固有値が計算できる理屈を話す。定義し、スペクトル写像定理を紹介する。本定理によって代数的グラフ理論と量子ウォークは密接に結びつく。最後に、量子ウォークの周期性に関する話題を取り上げ、周期性をもつ具体的なグラフをいくつか紹介し、それらが実際に周期的であることを確かめる。gameとそのバリエーションに関する最近の研究動向と未解決問題を紹介する.(講演のスライドです。Young盤の類似物である「半無限Young盤」を導入する。半無限Young盤がつくる柏原結晶について述べる。パスの柏原結晶について述べる。本講演では有限次元半単純Lie環における有限次元表現に相当するものであると考えて議論を展開する。Young盤の一般化ともみなすことができるものである。後半は、前半で述べた内容を、ねじれのないA型アフィン量子群の場合に詳述し、半無限Young盤を導入する。その柏原結晶としての構造の具体的な記述、半無限Bruhat順序の判定法への応用などについて述べる。coloring)(講演のスライドです。結び目の射影図が可約であるとは、ある交点において同じ領域が対角に向かい合っていることをいいます。可約でないとき既約であるといいます。結び目射影図における、交点を減らす局所変形で、半ひねりスプライスというものがあります。この半ひねりスプライスを使って結び目射影図がどれぐらい既約であるか(何回で可約にできるか)を表す指数、既約度について紹介いたします。任意の非自明な結び目射影図の既約度は4以下であることがわかっている一方で、既約度がちょうど4である結び目射影図はみつかっていません。これまで色々な取り組みをしてきたので、紹介させていただきます。(講演のスライドです。向き付けられた結び目図式を基点から1周たどるとき、各交差点を2回ずつ通るのですが、先に下を通る交差点の個数のことを、その基点におけるひずみ度といいます。本講演では、向き付けられた結び目をひずみ度を用いて一意に表す行列表示、ひずみ度行列について紹介いたします。ひずみ度行列のタテとヨコの性質を使ったパズルも紹介いたします。(講演のスライドです。要旨:前半は、シューベルトカルキュラスの概要を、古典的な部分空間な数え上げの話から説明し、Schur多項式との関連を説明します。後半は、Schur多項式やGrothendieck多項式のタブロー公式や行列式公式などさまざまな具体的な公式に関して最近の話題も含めて概説します。上記の性質に着目したRamsey数への応用についても言及する予定です.(講演のスライドです。)題目:有限射影幾何の組合せ構造の代数的性質について要旨:有限射影幾何の大域的な結合関係から定まる結合代数は、量子代数$U_q(\mathfrak{sl}_2)$の準同型像として実現されることが知られている。本講演では、「より詳細な結合関係」を用いて結合代数を拡張することで、局所的な組合せ構造も反映する2種類の代数を導入する。それらの代数が量子アファイン代数$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_2)$の準同型像を用いて実現されることを紹介する。今回導入した代数との関連についても述べる。)題目:団代数と角の完全マッチング要旨:団代数は有向グラフから定義される組合せ論的構造を持つ代数である。定義が少し複雑なため、団代数の入門的な話から始める。基本的な対応を紹介する。講演の最終目標は、角の完全マッチングを導入し、団展開公式と呼ばれる公式を1つ与えることである。時間が許せば、角の完全マッチング、二部グラフの完全マッチング、ポテンシャル付き箙の切断等の組合せ論的対象の間の対応も与える。要旨:ヤング図形の各ますに数字を各行各列が広義単調になるように書き込んだものを平面分割という。平面分割は母関数が厳密に書き下せるなどよい性質を持っており、またそこから表現論的な解釈が見つかるなどして近年でもさかんに研究されている。本講演では平面分割の「よい」すなわち積表示を持つ母関数および分配関数ついて可積分系の視点から考察する。MacMahonの母関数など既存の結果について概説し、その後、可積分系のひとつである離散2次元戸田分子に関する講演者の研究を紹介する。ひとことで言うと「離散2次元戸田分子の任意の非零解から、平面分割のよい分配関数(重みと積表示のペア)が得られる」という話をする。(講演のスライドです。)題目:グラフの禁止構造条件について要旨:与えられた(グラフ上の)性質Pに対して,グラフがPを満たすためには,どのような部分構造を制限すれば良いだろうか.このような問題は,強理想グラフ定理やMatthews-Sumner予想をはじめとして,グラフ理論において数多く研究されてきた.本講演の前半では,完全マッチングやハミルトン閉路などの性質を中心に,グラフの禁止構造条件に関する既存の結果を紹介する.また後半では,与えられたグラフの禁止構造条件を満たすグラフのクラス自体の性質やそれらの比較について,講演者のこれまでの結果を中心に解説する.(講演のスライドです。要旨:超平面配置とはベクトル空間中の超平面の有限族であり、その研究はワイル群の鏡映の鏡映面を集めたワイル配置の研究に端を発する。ワイル配置はワイル群と同等のデータを持つ大変良い配置であるため、超平面配置の中でどのような配置が『良い』配置か、という研究方針が存在する。その中で、ワイル群の持つ指数(exponents)が定義できる配置という方向での一般化が自由配置であり、超平面配置研究の歴史において重要な役割を果たしてきている。本講演では、自由配置の性質と、どのような配置が自由となるかの判定法の歴史及び最近の進展について述べる。よる加除定理、そして講演者による剰余定理について説明したい。時間が許せば、自由配置のルート系への応用についても述べる。varietyのコホモロジー環の表示について述べたい。定理を紹介し,その定理の一般化について眺める.また,徳重氏・フランクル氏との共同研究で得られた結果について紹介する.(講演のスライドです。持ったグラフの染色数(講演のスライドです。要旨:どの座標成分も整数である点を格子点と呼び、格子点を頂点に持つ多面体を整多面体と呼ぶ。整多角形の面積公式として有名なものは、1899年のPickの公式であり、これは、1957年にReeveにより3次元に拡張され、1963年にMacdonaldにより一般次元に拡張された。その後もPickの公式に関係する結果が発表されてはいるので、そのいくつかも紹介する。Pickの公式の変種として森原の公式というものがある。単位整正方形の重心の点の数を勘定する面積公式である。この公式はPickの公式の系ととらえるのが簡明で、その証明や一般化を紹介する。Pickの公式の別の変種として額賀の公式がある。軸と垂直ではない辺の数を勘定する面積公式である。講演者はエルハート多項式の変種を用いて証明した。本講演の後半ではこの証明についても紹介する。)題目:グラフの剛性の組合せ的特徴付けについて要旨:ユークリッド空間内に埋め込まれたグラフの各辺を棒材,各頂点を節点と捉えることでグラフの局所剛性や大域剛性を定義することが出来る.一般的な埋め込みに対する剛性は一般剛性と呼ばれており,Asimov-Roth(1978)によって一般局所剛性が,Gortler-Healy-Thurston(2010)によって一般大域剛性がグラフの性質であることが示されている.2次元の場合,Maxwellの条件によってグラフの一般局所剛性が組合せ的に特徴付けされることがLaman(1971)によって示されているが,3次元以上の場合においてはMaxwellの条件は十分ではなく,特に3次元一般剛性の組合せ的特徴付けは剛性理論における重要な未解決問題である.同様に大域剛性に対しては,2次元の場合Connelly(2005)とJeckson-Jordan(2005)によって組合せ的特徴付けが与えられ,3次元以上は未解決である.本講演では,グラフの一般剛性の組合せ的特徴付けに関し,主要な成果を概説し,3次元剛性に関する講演者の最近の成果や近年活発に研究が行われている対称性を有するグラフなどへの展開を紹介する.(講演のスライドです。periodの分類に関する私の最近の結果についても紹介したい.(講演のスライドです。1909)の組合せ的別証明を与えます.また,この別証明に関連して,ある代数方程式系(Hausdorff方程式と呼ぶ)とエルミート準直交多項式の零点の相互関係に触れ,さらにエルミート準直交多項式の零点の有理性について論じます.(エルミート多項式の零点が有理数でないことはよく知られています.)(前半の講演のスライドです。要旨:ライングラフの最小固有値が$-2$以上であることは良く知られている。これにより、最小固有値によるグラフの階層構造を知ろうという問題が自然と生じるのだが、(良く知られている)ライングラフの構成法では最小固有値が-2よりも小さいグラフを構成する事はできない。[1]は、グラフの「辺」を「点」で置き換えるという単純な作業であるライングラフの構成法を高度に一般化し、最小固有値が-2よりも小さいグラフの構成法を定式化した。[1]では、最小固有値$-1-\sqrt{2}$以上のグラフが分類されている。それには(9種類の)ホフマングラフと呼ばれる特別なグラフ達の和の概念が用いられており、そこにホフマングラフの既約性と共にルート系との関わりも生じる。階層を降りる為に更に多くのホフマングラフを知る必要がある。本講演ではグラフの固有値研究についての先行研究、ホフマングラフについての基本的な概念、そしてグラフの最小固有値問題についてこれまでの成果を紹介する。577--591.(講演のスライドです。theory要旨:次数の上界の定められ、直径が発散するような有限グラフの列が「等周定数の一様な下からの正の評価をもつ」とき、そのグラフの列をエクスパンダーグラフ(ないしはエクスパンダーグラフ列)といいます。「辺の切断に頑強」という意味で“効率の良い”ネットワークとなっており、計算機科学の方向から多くの研究がなされているようです。面白いことに、エクスパンダーグラフはヒルベルト空間などの扱いやすい距離空間への埋め込みに関しては“最悪”なグラフ列であることも明らかになりました。この観点から、一部の数学においては、エクスパンダーグラフを“非常に扱いの悪い”グラフと見て、扱いのよく“従順”な対象との比較をすることにより、エクスパンダーグラフの新たな数学的意義が生み出されつつあります。そもそもエクスパンダーグラフが存在することも定義からは不思議に見えます。マルグリスによって、“ある種の群論”を用いて初の具体的な構成が得られました。この群論は、群をそのケーリーグラフによりグラフ距離空間とみたり群の幾何学的対象への等長作用を考えたりすることで調べるもので、(広い意味で)「幾何学的群論」と呼ばれています。講演者の専門はこの分野です。“扱いの悪い”側面のエクスパンダーグラフの現れる数学の世界について概説をいたします。後半では、実際にどのように「幾何学的群論」がエクスパンダーグラフの研究と交わっていくのか、について講演者による最近の進展をお話しします。そこでのアイディアの発端となったのは、組み合わせ論(的グラフ理論)におけるある定理です。本講演が「幾何学的群論」の視点からのエクスパンダーグラフへの招待となればと考えております。予備知識を仮定せずにご説明いたしますので(バナッハ空間および群のバナッハ空間への線型表現の定義をお思い起こし下されば充分かと存じます)、気軽にお越しください。number”と呼び暗号とのつながりを紹介し,その個数についての幾つかの結果について紹介する.また,時間があれば,パーフェクトマッチングとの関係性についても述べたいと思う.(講演のスライドです。要旨:アブストラクト:Hadamard行列とは成分を1,-1とする正方行列で相異なる各行,各列が直交するものである。非常に素朴な構造であるものの、デザイン理論、距離正則グラフ、スピンモデルなど代数的に正則性の高い組合せ構造と密に関連している。matrices)やskew-Hadamard行列に関連する複素球面上のコードについて話をする。幾何を調べるのに、半順序集合の組み合わせ論が役に立つ。ミナスキュール・シューベルト多様体という特異な多様体が日比トーリック多様体に退化することを示したが、ミナスキュール・シューベルト多様体の特異点を一から調べるより、退化先の組み合わせ論を用いて間接的な計算をすれば目的に適う、というような状況がよくある。3次元カラビ・ヤウ超曲面完全交叉のホッジ数の計算はその一例である。今回の講演では、実例を通じてこの種の計算テクニックを紹介し、ミラー対称性への応用について説明する。Whitneyによって導入された。多くの研究者により研究されてきた。行列表示を持つようなマトロイドである線形マトロイドについて、および、マトロイドにおける連結性に関するいくつかの話を紹介したいと思う。(講演のスライドです。定理を適用することによりKneserグラフの彩色数に関する予想を解決した(1978年)。位数2の群が作用し、グラフ準同型からは同変写像を誘導するようなものになっている。対して考え、それとグラフの彩色数との関係について具体例の計算を交えて解説する。古くから組合せ型に基づいた多面体の分類が行われてきている。本講演では前半・後半に分け、関連する次の2つの話題についてお話しする。多面体の組合せ型の列挙は、多面体の理解を深める上で非常に重要な問題であるが、実は多面体の組合せ型を認識すること自体が、一般の整数係数の多変数多項式の等式・不等式系の可解性判定と同程度に難しいことが分かっており、比較的小さなサイズでさえ列挙は決して容易ではない。多面体の組合せ型の列挙法やその応用についてお話しする。近傍的多面体とは、頂点数が同じ多面体の中で各次元の面数を最大化する多面体である。興味深い多面体クラスである。共同研究やその応用についてお話しする。結果を中心に紹介する.(講演用の資料です。本講演では、対称群の代数的組み合わせ理論をバイグラスマニアン置換と本質的集合の二つの観点から紹介する。著者の2010-2013の結果も交えて話したい。前半では、コクセター理論を活用して新しい統計、符号つきバイグラスマニアン多項式を導く。その背後には、行列の総非負性やDesnanot-Jacobiの公式がある。後半では、Fultonによる本質的集合の交代符号行列への応用にふれる。Eriksson-LinussonによるBaxter置換の特徴づけを本質的集合の双対を導入することで拡張する。その副産物として、Baxter置換全体がクラスターのような組み合わせ構造を持つことを見てもらいたい。最後に、いくつか未解決問題とその解決への方針を提案する。いろいろな意見を聞かせてもらえるとありがたい。理工学部)題目:グラフの不変量と閉路の存在について要旨:ハミルトン閉路が存在するため十分条件として,Ore条件と呼ばれる次数和条件とChvatal-Erdos条件と呼ばれる連結度と独立数の関係式が有名である.これら2つの条件に対して,「Ore条件を満たすグラフはChvatal-Erdos条件を満たす」ことが示されている.つまり,Ore条件はChvatal-Erdos条件より真に強い条件となっている.このことより,Ore条件より弱い次数和条件を得ようとする研究が多くなされている.本講演では,私が提案した「Chvatal-Erdos条件を満たさないグラフに対する次数和条件」について紹介する.(講演のスライドです。要旨:本講演内容は立木秀樹氏との共同研究によるものである。Xを第二可算公理を満たすハウスドルフ空間とする。Xの2点をそれぞれの近傍で分離する際、2個の開集合で互いの外部となっているようなものを選ぶことができる。S(n,1)の、可算個の組からなる部分基(準開基)とする。ラベル付けω×2→Sを固定したものを考える。Xの二分的部分基が与えられたとき、それに対応するドメイン表現が得られることが知られている。講演では主にXが正則な場合についてこのドメイン表現の性質を紹介し、ハウスドルフであっても非正則な場合にかなりの不具合が起こることを例を挙げて示していく。代数、幾何、組み合わせ論の様々な分野が融合する、興味深い研究対象である。以下の二つのトピックについて、時間の許す限り説明したい。直線配置の交点数について。平面中の直線の有限族は、もっとも単純な超平面配置の例である。新しく一本直線を加えたとき、この直線上に交点がいくつ出てくるかを考える。n-1,nのどれかしかないことが簡単にわかり、2からn-2までの整数は交点として現れ得ない。これは偶然であろうか?即ちこれは、原点を通る直線配置にのみ成立することであろうか?実はこれは、任意の体上の全ての直線配置に対して、ある組み合わせ論的不変量の正値性の観点から一般化できる事実である。これは極めてシンプルな主張であるが、証明には超平面配置の代数幾何学的な分析を用いる。ルート系のexponentの高さを用いた一般化。crystallographicなルート系には、exponentsと呼ばれる不変量が、様々な形で定義される。これを一般化する試みは色々となされているが、今回はルート系のposetの部分集合で、イデアルと呼ばれるものに対して、そのexponentsを超平面配置の幾何学及び、正ルートの組み合わせ論の観点から一般化する。Shapiro及びSteinbergにより最初に発見され、後にKostant及びMacdonaldによって分類なしの証明が与えられた、exponentsとルートの高さの双対関係の一般化にもなっている。Hoge及び寺尾宏明との共同研究である。数学教育講座)題目:グラフ構造から得られるs-距離集合について要旨:ユークリッド空間上の有限集合Xに対して,Xの異なる2元のユークリッド距離からなる集合の元の個数がsであるとき,Xはs-距離集合と呼ばれる。s-距離集合から,s個の関係を持つグラフ構造を自然に得ることが出来る。逆にs個の関係を持つグラフをs-距離集合として,出来るだけ小さな次元の空間へ埋め込むにはどうすれば良いだろうか。s=2については,Einhorn-Schoenberg(1966)により,その次元が簡明な格好で与えられているが,sが3以上については未解決である。この問題の周辺の結果を証明と共に与え,大きなs-距離集合に付随するグラフ構造の特徴づけを行う。ある性質を持つグラフ構造からは,極小な次元へのs-距離集合としての埋め込みが容易に構成できることを紹介する。「トーラスに埋め込まれた任意の4-連結グラフがハミルトン閉路を持つ」という予想は現在でも未解決な重要なものである.本講演ではこの予想へのアプローチの方法を含め,上記の話題に対しての最近の研究を紹介する.(講演のスライドです。Pathとのつながりについて概観する。poset等との関わりについて述べたいと思う。h-列に関し次が成り立つことを予想した。h_{[d/2]}が成り立つ。次元以下の面を導入することなく三角形分割することができる。この予想は、一般化された下限定理と呼ばれ、(1)については1980年に、(2)については2012年に予想が正しい事が証明された。この講演では、上の予想の(2)について解説する。時間があれば、この結果の球面や多様体の三角形分割への一般化についても話をする。シュアー多項式はヤングタブローを用いて表すことができる。シュアー多項式に関する様々な性質がわかる。ラスマン多様体上のシューベルトカルキュラスなどに応用されることが知られている。アー多項式の性質について詳しくみていこうと思う。問題について紹介する。連立方程式の変数消去など、様々な応用が知られている。(分割表の検定)などへの応用を紹介する。格子多角形に関するよく知られた古典的な結果として、「ピックの公式」が挙げられる。多項式を導くことが出来る。このような議論は、格子多角形を一般化した対象に対しても成り立つことが知られている。一般化された格子多角形で同様の公式が成立することが知られている。多項式および12点定理について紹介する。(本講演は、枡田幹也氏との共同研究に基づく。)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%戻る。