京大理系の問題を使って複素数(平面)の問題に慣れよう。物理・数学の問題に少しでも近寄れるようになるために。2019.09.22ようこちゃんは、複素数得意なんだっけ?得意じゃないと思うけど、物理では複素数がなくっちゃ、語れないものがたくさんあるから。「虚数」は「実数」に対して「存在しないもの」という言い方がされることがあるけど、物理では「位相」という形で現実に存在しているものだから、違和感あるな。存在しないかどうかはともなく、「実数」とはちょっと計算方法が違うよね。今日は複素数と複素平面を総復習しようと思うんだけど、付き合ってよ。今日も面白い問題ばっかりなのかな?えっへん。別にまみが作ったわけじゃないくせに。”複素数”の定義と、その主要な計算方法を確認しておこっか。a+bi\)と記述される数である。\(b=0\)のとき、\(z\)は実数であり、\(a=0\)のとき\(z\)を純虚数という。\(i^{2}=-1\)とすることで、複素数には実数だけの世界にはない、面白い関係性が見えてくるんだよ。数学が好きな人の”面白い”って、あまり信用できないんだよね。言わせてもらうけど、物理の面白いことって何さ?物理の面白いところは、う〜ん、アナログのこの世界の複雑な動きを、そうだなぁ、デジタルな数式で簡潔に記述できることかなぁ。それ、みんなの前で言ってみなよ。大半の人には、理解してもらえないよ。数学好きも物理好きも、結局は独りよがりなんじゃない。それはそうと、複素数関連の定義、続けるね。複素数の定義2複素数\(z=a+bi\)に対して、\(a\)を複素数\(z\)の実部といい、\(b\)を複素数\(z\)の虚部という。虚部を\(Im(z)\)と書くことがある。複素数\(z=a+bi\)に対して、\(\bar{z}=a-bi\)となるものを共役の複素数という。\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)で定義される\(|z|\)を複素数\(z\)の絶対値と呼ぶ。複素数\(z\)とその共役複素数\(\bar{z}\)との間には次のような関係がある。Im(z)$$共役と絶対値は、この後の複素平面では幾何的に重要な意味を持ってくるから、心に留めておいてね。実数の軸(実軸)を横軸とし、虚数の軸(虚軸)を縦軸とする。a+bi\)において、\(a\)を横軸に\(b\)を縦軸に対応させる。このように複素数を2次元の直交座標系に対応させたものを複素平面(複素数平面)という。複素平面上において、複素数\(z\)の絶対値\(a^{2}+b^{2}\)は原点から複素数までの距離を表す。複素平面上において、複素数\(z\)の共役の複素数\(\bar{z}\)は、実軸に対して対象な点を表す。複素平面上において、原点と複素数\(z\)を結ぶ直線と実軸とのなす角を偏角といい、\(arg(z)\)と書く。a-bi\)だからじゃない?そうそう。迷った時は、複素数は二つの成分に分解して考えてみるとわかりやすいかも。文章で書くとちょっと頭に入りにくいから、図も入れて説明しようかな。これならわかりやすいね。r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$$と書ける。極形式は、上の図をみながら考えればわかると思う。複素数は、ちょうど三角関数で表せるよね。r_{2}(\cos{\theta_{2}}+i\sin{\theta_{2}})\)を考えてみよう。それで、ようこちゃん。z_{2}\)を計算してみて。え......、それ、わたしがやるの?頼むよ、お願い。r_{1}r_{2}(\cos{(\theta_{1}+\theta_{2})}+i\sin{(\theta_{1}+\theta_{2}}))$$ありがとう、ようこちゃん。この計算の結果はとても重要なんだ。ある複素数\(z_{1}\)に\(z_{2}\)を掛けるってことは、\(z_{1}\)の絶対値に\(z_{2}\)の絶対値を掛けて、\(z_{1}\)の偏角に\(z_{2}\)の偏角を足すことと同じなんだよ。