■ピュタゴラス音階は1と2と3からできている。図は1本の開放弦の振動を表わしたものだ。人工に処理された単一の周波数を持つ純音でない限り、微弱ではあるがその整数倍の周波数の振動も生起している。上に示したものが固定された両端の間に結節点がない基本波形であり、以下に結節点が1つの倍音、結節点が2つの3倍音が示されている。4倍音は倍音の倍音で2オクターヴ上音となる。■この弦の1/2の長さの位置を固定して振動させると、倍音が基本振動音になる。次にこの基本振動弦の左から1/3の位置で固定してみよう。すると弦の振動数は左と右とで2:1になる。これもオクターヴの関係なので、左右を同時に鳴らしても1つの音に聞こえる。これを最初の開放弦の音と比べてみよう。左側は3倍音であり、右側は3/2倍音となるが、私たちの聴覚にとっては心地よく協和して響く。■最初の基本音をドとすると、右側の3/2倍音の音高はソとなり、左側の3倍音はオクターブ上のソの音になる。音楽的に表現すると5度上音と12度上音となる。ここで見た最初の基本音と倍音の関係や、弦長が1/3と2/3の倍音のようなオクターブの関係は、人間の聴覚では、男女混声の合唱をオクターブ離れたユニゾンで歌うように、音高は違うが本質的に元と同じ音として感覚的に認識されている。■図上はピアノの鍵盤の配置が、実は対数目盛りの数直線に等しいことを示してある。基本音に対してオクターヴ上がるごとに振動数は2、4、8...倍となり、また下がるごとに1/2、1/4、1/8...となっている。現代のピアノはそれぞれの鍵が1つ前の鍵に2の12乗根(1.059463...)をかけた振動数に調律されているので、ピュタゴラス音階とはわずかなズレがあるが基本構造としては同じである。■この対数目盛りの数直線をオクターブ音が真上に来るような円環らせん状に変形し、それを真上から平面に投影すると図下のようになる。この基本音と上下オクターブ音はみな同じ1点に重なる。この基本音の位置を文字盤の12時の方向に据えて、そのほかの音との関係を考えよう。最初に見た弦長が2/3の音、または弦長と振動数は反比例するので振動数が3/2倍の音の位置を見ていこう。■常用対数のlog3/log2は0.477121254/0.301029995=1.584962501となる。これに360度を掛けると570.05865003度となる。これを1時間分の30度で割ると19.01955001時、つまり1回りした上でほぼ7時の位置になる。音程の単位であるセントで見れば、702(/1200)セントだから、ほぼぴったり7時の位置となる。(この誤差0.05865003度または2セントが後に狼音を生むのだが、今は言及しない。)■この基本音ドに対するソの音は7時の位置に来るが、ただ振動数が3/2倍の音高だけでなく、3、6、12、24...倍及び3/4、3/8、3/16...倍の音もみなこの位置に重なる。次にこの7時の位置をドとした場合のソの位置をだしてみると、それはこの円の2時の位置にくる。この振動数は一番最初の音の9倍(18、36、72...及び9/2、9/4、9/8...も含む)である。同じ手順をもう1度繰り返すと9時の位置にくる。■さらに続けると、時計の文字盤の4時、11時、6時、1時、8時、3時、10時、5時、12時と定まる。これを最初の12時の位置をCとすると、順次G、D、A、E、B、F#、C#、G#、D#、A#、F、Cとなる。ピュタゴラス本人はおそらくここまではやらなかっただろうが、これでピュタゴラス音階の完成である。この「最も痩せた12芒星」をピアノの鍵盤上に戻せば、白鍵と黒鍵の12音に対応する。■12角形を12芒星にすると、1つ飛び、2つ飛び、3つ飛び、4つ飛びの、最も太ったものから最も痩せたものの4種類ができる。この図形は結果として反時計回りに描かれたもっとも痩せた12芒星である。2次元円上に重ねられているが、地球公転軌道のように、横から見ると螺旋乗に手前と奥行き方向に解放されている。ピアノで言えば、7オクターブと3音分が重ねて表現されている。(※)なおクジラ・イルカ達はピアノの最左端から最右端を超えて、20Hz〜20000Hzと約10オクターブの音を用いてコミュニケーションすることができる。