あとは、それぞれのベクトルに対応する複素数の式を求めてみたいね。それは求めるっていうか、いわゆる回転だよね。\(a(\cos{3\theta^{\circ}}+i\sin{3\theta^{\circ}})\)だね。+\)\(a(\cos{(n-1)\theta^{\circ}}+i\sin{(n-1)\theta^{\circ}})\)かな。z^{n-1})$$と書けるよ。これを見ると何かを思い出すよね。最初の問題に関係しているね。a(z^{n}-1)$$ということを言いたいのかな?そうそう!じゃあ、\(z_{n}=0\)となる\(n\)が存在するって、どういうことだろ?う〜ん?まず、\(z_{n}=0\)になるというのは、\(1+z+z^{2}+\cdots\cdots+z^{n-1}=0\)になることと同じで、、、それで、これが成り立つってことは、\(z^{n}=1\)になるってこと、、だね!そうだよ。z^{n}-1\)だからね。0$$が成り立つってことなんだね。さぁ、いよいよ\(\theta\)に近づいてきたよ。\(n\)角形の対称性を考えると、\(n\theta=360\)になれば、これって満たされるんだ。\frac{360}{n}\)で、有理数になってる!なるほどなるほど。ようこちゃん、今までやったこと、ちゃんと活かし切ってるね。あと一歩足りないなぁ。本当にあと一歩なんだけど。う〜ん、\(n\theta=360\)以外にも条件があるのかな。720\)で、\(n=6\)の場合を考えるよ。0$$は確かに成り立つね。p\)としても成り立つんだよ。私にやらせるの?まだ、見当も付いてないよ。ド・モアブルの言葉って何?ド・モアブルの法則で言うと、ってことだよ!あ、ごめんごめん。え〜と、たとえば\(z=\cos{\theta^{\circ}}+i\sin{\theta^{\circ}}\)を考えたとして、偏角を\(p\)倍すると\(z^{\prime}=\cos{p\theta^{\circ}}+i\sin{p\theta^{\circ}}\)だね。z^{p}$$なの!?そんなに驚くことないと思うけどなぁ。偏角を\(p\)倍するってことは、回転の回数を\(p\)倍にするってことなんだから。はいはい、数学ができる人にとっては当然かもね!まぁ、そんな怒らないでさ、続きを考えようよ。0\)が成り立っているなら、\(z^{n}=1\)で、当然\(z^{pn}=1\)だから、確かに0だ。すごい!綺麗に証明できたでしょ。ちなみに、\(\theta\)の制限を考えると、\(p<n\)だから、\(p^{n}=1\)になることはないね。さぁ、ラストスパートだよ。\frac{360p}{n}$$で、分母も分子も整数だから、これは確かに有理数になる。いうか、まみのおかげだけどね。今まで回転の問題ばっかだったから、最後に複素平面上の円の問題をやろっか。その前に、簡単でいいから複素平面上の円のことを少し復習しようよ。複素平面上の円の方程式からね。なんか、ベクトルの円の方程式に似ているよね。これに限らないけど、複素数はベクトルと同じような感覚で考えるとわかりやすいかも。r^{2}$$という風にバラす計算だね。確かに、半径を求めるときとかに、こういう計算をよくする気がする。複素数\(\alpha\)に対してその共役複素数を\(\bar{\alpha}\)で表す。\(\alpha\)を実数ではない複素数とする。\alpha\)を通るならば、\(C\)は\(-\frac{1}{\bar{\alpha}}\)も通ることを示せ。復習したのに、半径がわかってないとはね。わかっていないなら出せばいいじゃん。中心を表す複素数は\(ik\)と書ける。|ik+1|\)を解けばいいわけね。これはさっきみたいに2乗すればいいんだね。\frac{|\alpha|^{2}-1}{\bar{\alpha}-\alpha}$$かな。ことで円Cの方程式を求めるには、あと半径が必要だね。$$\left|\frac{|\alpha|^{2}-1}{\bar{\alpha}-\alpha}-\alpha\right|$$を計算するんだね。いいよ、やりましょう。\left|\frac{\alpha^{2}-1}{\bar{\alpha}-\alpha}\right|$$だね。\left|\frac{\alpha^{2}-1}{\bar{\alpha}-\alpha}\right|$$だね。ことで、ようこちゃん、あとは何をすればいい?わかってるくせに!左辺に\(-\frac{1}{\bar{\alpha}}\)を代入して右辺と等しいことを確かめればいいんでしょ。見た目ほどは複雑じゃないから大丈夫だよ。x_{2}+iy_{2}\)とすれば、証明できるよ。\left|\frac{1-\bar{\alpha}^{2}}{\bar{\alpha}-\alpha}\right|$$になるね。$$\left|\frac{\alpha^{2}-1}{\bar{\alpha}-\alpha}\right|$$$$\left|\frac{1-\bar{\alpha}^{2}}{\bar{\alpha}-\alpha}\right|$$同じ形をしているわけではないけど。ようこちゃん、グッとにらめば、何か思いつくよ。