物理・数学の問題に少しでも近寄れるようになるために。円周率が3.05より大きいことを証明せよ。言わずと知れた2003年の東京大学の入試問題です。図形的な大小関係を使わず解くことを考えてみました。$$y=\frac{\sin{x}}{x}$$を考えます。この関数の1階の導関数を計算します。$$y’=\frac{x\cos{x}-\sin{x}}{x^{2}}=\frac{\cos{x}(x-\tan{x})}{x^{2}}$$であるから、0≦x≦π/2を満たす実数xについて減少関数であることが分かります。0}\frac{\sin{x}}{x}=1$$であることからx=π/12について考えると$$\frac{12\sin{\frac{\pi}{12}}}{\pi}<1$$です。このとき、sin(π/12)を計算する必要がありますね。ここまでくると正多角形の近似と本質的に同じことをしている、ということに気付くでしょうか。$$$\sin{\frac{\pi}{12}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$$と計算できますので$$\pi>3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$であることがわかります。\sqrt{2}<1.42$$を用いれば、$$\pi>3.06>3.05$$を示すことができます。高校数学で階乗というと、整数の範囲でしか考えませんが大学数学ではある関数を用意することで、一般の変数に対する階乗を考えることができるようになります。(0.2!)のような数を考えることができるようになります。それがガンマ関数(Γ)です。ガンマ関数を主題においた高校数学の問題を見つけたので、回答したいと思います。わからないことを、質問形式で募集しています。質問はコメント欄によろしくお願いします。高校数学の質問に回答します。放物線と直線に囲まれた部分の面積の最小値を求めます。以前、夏休みの自由研究の題材を考えた時に「拡張版マルバツゲーム」を提案しました。5×5の場合ならすぐに考察できると思って自分でも調べてみました。予想と異なる結果が出てきて面白かったです。高校数学の質問に回答します。テーマは、高校数学の区分求積法とはさみうちの原理を用いた極限の計算です。空間図形の問題に対して、ベクトルで攻めるか初等幾何で攻めるか、を2001年の東京大学の問題を使って考えてみる。東京大学2001年の数学第1問の問題は中学生でも解けるような立体図形の問題でした。立体図形は、初等幾何、ベクトル、座標設定などパターンに応じて最適なものを選択すれば計算量を抑えることができます。今回は初等幾何とベクトルを使うことのメリット・デメリットを比較しました。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント名前メールアドレスサイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。最近のコメントカーティスの定理を高校数学の範疇で証明する。指導経験:塾講師として4年間。中学1年生から高校3年生まで経歴:文系の私立大学を卒業後、1年間予備校で勉強して、理系の国公立大学に進学。そのまま学部・修士を卒業、博士に進学。死ぬ前に食べたいもの:日○屋の担々麺コメント:眠らないウサギになれたらなぁ。質問・悩みお待ちしています。