空間図形の問題に対して、ベクトルで攻めるか初等幾何で攻めるか、を2001年の東京大学の問題を使って考えてみる。物理・数学の問題に少しでも近寄れるようになるために。【質問・悩みに回答します】ブログの趣旨ホームサイトマップお問い合わせ空間図形の問題に対して、ベクトルで攻めるか初等幾何で攻めるか、を2001年の東京大学の問題を使って考えてみる。東京大学2001年数学第1問は次のような問題でした。AC=AD=BC=BD=CD=2\)を満たしている。このとき\(r\)を求めよ。この問題には初等幾何、ベクトル、座標設定、どれを使っても解けます。ここでは、初等幾何とベクトルを使った時のメリット、デメリットは何か考えてみました。上の図のように記号を定義します。初等幾何では、辺の値関係から空間の位置関係を把握していくことがとても重要です。この場合は次のことに気づければ寄り、です。外接球の中心Oは三角形ABE上にあり、かつEF上である。これは平面の位置関係から示すことができます。OF$$という関係が成り立つことがわかります。\frac{\sqrt{13}}{3}$$と求めることができます。このように初等幾何を用いるなら、平面図形で考えて「気づき」を得て数式を作っていくことが鍵となります。ベクトルを用いた解法さて、ベクトルを用いて解くこともできます。ベクトルの破壊力は、「気づき」を一切必要としないところにあります。ベクトルを設定してしまえば、あとはただただ代数計算をこなしていけば、自然と答えを得ることができるのです。問題とベクトルの設定の仕方によっては膨大な計算量を強いられることがありますので、注意が必要です。\vec{d}\)と設定して問題を解きます。計算量は、入試現場において解くことを前提としたとき、僕の中ではギリギリ許容量でした。(k-m-n)\vec{d}$$と表せます。教科書に載っているものは、第3項目の係数が(1-m-n)となるものですが、今はOが平面BCD上にあるとは限らない(というか、ない)ので、(k-m-n)としています。(k-m-n-1)\vec{d}$$と表せます。r^{2}$$というように式が4つできますね。未知定数も4つなので、原理的には解けるはずです。実践的にもこの形は解けます。これらを解く準備としては以下の内積を計算しておく必要があるでしょう。2$$これは簡単に求められます。これらを一生懸命計算すると次のようになります。r^{2}$$グッと睨むと、式1を支点にして引き算をすれば、半分程度の項がそのまま消えることが見えてきます。式1-式4などと計算すれば割とスッキリするのです。以下に計算した結果を挙げます。\frac{5}{18}$$です。\frac{5}{18}\vec{d}$$です。最後はこのベクトルの大きさを求めれば、それが求める半径です。\frac{\sqrt{13}}{3}$$より、初等幾何での答えと一致しましたね。初等幾何とベクトルでの比較この問題だけで一般化することは危険ですが、僕の経験上では初等幾何のメリット・デメリット、ベクトルのメリット・デメリットは次のようなものではないでしょうか。初等幾何デメリット:補助線を引きながら、新しい情報を次々とあばき出し、必要な辺の長さや角度を求めていく知恵と経験が必要である。メリット:計算式が容易で計算量が少ない。ベクトルデメリット:計算量が増加することが多い。メリット:知恵と経験などなくても「計算能力」とベクトルの計算に慣れていれば解ききれる。初等幾何は「スマート」、ベクトルは「マッチョ」とも言い換えられるでしょうか。いえ、問題に応じて、ベクトルの方が計算量が少なくて済む場合もあるので、必ずしも上のように一般化できるわけではありません。いう傾向があるなぁ、と思います。座標設定はどうなのでしょうか。機会があれば、座標設定とも比較してみたいです。高校数学の質問に回答します。3次関数とその接線とに囲まれる部分の面積に関する問題です。高校数学の問題に挑戦します。方程式の解を不等式で評価する問題です。〜逆関数を用いた定積分〜最近、京都大学の数学では定積分を求めるだけの問題が登場するようになりました。教科書の練習問題に載るような問題はでませんが、チャート式で解説されているレベルの問題は出ています。出題されていない種類で、京大が好みそうなものを考えてみました。よろしければ解いてみてください。高校数学で現れる、必要性と十分性の違い、具体的な問題への適用例を紹介します。以前、夏休みの自由研究の題材を考えた時に「拡張版マルバツゲーム」を提案しました。5×5の場合ならすぐに考察できると思って自分でも調べてみました。予想と異なる結果が出てきて面白かったです。〜東京大学の問題より高校数学の質問に回答します。ある領域に質点の存在しない確率を求めます。スポンサーリンク整数の剰余に着目した自作問題を考えました二進法が隠された奇妙な整数問題(数学オリンピック日本本戦2016年第3問)を解いてみた。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント名前メールアドレスサイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。最近のコメントカーティスの定理を高校数学の範疇で証明する。指導経験:塾講師として4年間。中学1年生から高校3年生まで経歴:文系の私立大学を卒業後、1年間予備校で勉強して、理系の国公立大学に進学。そのまま学部・修士を卒業、博士に進学。死ぬ前に食べたいもの:日○屋の担々麺コメント:眠らないウサギになれたらなぁ。質問・悩みお待ちしています。