{O}}}の時間発展を記述する作用素が得られる。}を用い時間微分作用素をハミルトニアンに書き換えた。ハミルトニアンが自己共役であることを用いた。{O}}}がハミルトニアンであるなら、交換子の項はゼロになる。{H}}=0.}このとき期待値の時間微分は以下のようになる。{H}}}にはあらわな時間依存性がないので、エネルギー保存の法則が成り立っている。=0.}時間とエネルギーの不確定性関係のために短時間ではエネルギー保存則が破れるという記述もあるが、それは摂動論における自由ハミルトニアン部分の保存則の破れにすぎず、相互作用項まで加えた全エネルギーは常に厳密に保存する(詳しくは不確定性原理のページを参照)。エネルギーの「量」と「質」編集この節は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。ノート]と仮定すると、"質"の良い(エントロピーの小さい)エネルギーは時間とともに減少していくことになる。エントロピーは局所的には増加も減少もするが、宇宙全体としては常に増加している(→熱力学第二法則)。エントロピーの増加はエネルギーの"質"(そのエネルギーからどれだけ仕事を得られるか)の低下を意味し、宇宙に存在する全てのエネルギーは最終的にはもはや外部に対して何ら仕事をすることができない均一な熱エネルギーとなる(熱的死)。[要出典][要出典]エネルギー問題におけるエネルギーの有限性は、"質"の良いエネルギー、すなわち「エントロピーの小さいエネルギー」の存在量を問題としている。人類(および他のあらゆる存在)は、質の良いエネルギーを質の悪い(エントロピーの大きい)エネルギーに転換する過程で仕事を得ているが、エネルギーの仕事への変換効率はエネルギーの質が低くなるほど原理的に低下し、エネルギーを消費していく(仕事に転換していく)と世界はそれだけ「熱的死」に近づいていく。「《エネルギー保存の法則》が成り立つ」ということは「(有用な)エネルギーはいくら使ってもなくならない」という意味ではない(第二種永久機関の否定)。エネルギー保存の法則は、エネルギー問題においては直接的には第一種永久機関の否定という面でかかわりを持つ。無生物界の力についての所見。厳密には成立していないが、ごく平凡な古典力学的な状況設定や、ごく平凡な化学反応においては、質量の増減は無視できるほど小さく、成立しているとして扱っても問題ないので、現在でも“質量保存則”は様々な計算をするための簡便な近似として用いられている。一般の内積と区別して、しばしばドット積(点乗積)と呼ばれる。ポテンシャル・エネルギーとも書かれる。方程式から明らかなように、操作の途中においては粒子の運動エネルギーを変化させてよい。{r}}_{i}(t)\})}は一つの多粒子系に対して与えられることに注意。物理量の測定値が実数であること(固有値が実数であること)、その固有状態が完全系をなすなどの理由から、物理量に対応する作用素には自己共役性が課される。こちらの作用素もハミルトニアンと呼ぶ。区別する場合には、「古典力学のハミルトニアン」、「量子力学のハミルトニアン」と呼ぶが、単にハミルトニアンという場合には量子力学における作用素を指すことが多い。みすず書房、1981年、78頁。4-622-02503-5。