素因数の問題だと、こんなのも面白いかも。n-1)\)の最大公約数は1であることを示せ。キーワードは”素数”と”最大公約数”だから、まみのいう通り、素因数が重要なのか。どこから手をつければいいと思う?やっぱり、一番見やすい\(_{pq}C_{1}\)かな。これって要は\(pq\)だもんね。pq\)のいずれかってわかるけど、問題文から、\(p\)でも\(q\)でも、\(pq\)でもないってことがわかる。どっかに、\(p\)の倍数ではない数、\(q\)の倍数ではない数があれば嬉しいな。いいな〜から始まる「”希望”発”証明”着」メソッド。pq-1)\)の中から、\(p\)の倍数ではない数と\(q\)の倍数ではない数を見つけちゃえばいいんだよ。見つけられるかな?まぁ、まず考えたいのは、分母に\(p\)が現れるような式だから、\(_{pq}C_{p}\)かな。\frac{pq\dot(pq-1)\dot(pq-2)\cdots\cdots(pq-(p-1))}{p!}$$だよね。分子は\(pq\)から始めて項数が\(p\)個になるように1ずつ引いたものを掛け合わせればいいんだから。この分子って、素因数\(p\)が1個しかないじゃん。pq-(p-1)$$のどれも\(p\)の倍数じゃないもん。\(p\)の倍数-(\(p\)の倍数じゃないもの)は絶対、\(p\)の倍数にならないよ。ことは\(q\)についても同じ?うん。\(q\)も同じような形しているよね。\frac{pq\dot(pq-1)\dot(pq-2)\cdots\cdots(pq-(q-1))}{q!}$$\(p\)を\(q\)に変えただけ。分母・分子ともに素因数\(q\)は1個しかないよね。\(_{pq}C_{p}\)は\(p\)の倍数じゃない。\(_{pq}C_{q}\)は\(q\)の倍数じゃない。pq\)はpとqだけの倍数。素数キーワードは素因数とも繋がりがあるんだよ。素数キーワードの問題をちょっとまとめてみよっか。与えられた式をみて、因数分解できれば、素数の性質から因数に整数を割り当てる。因数分解できそうになく、整数の組や存在証明を要する問題は、整数をある数(D)の商とあまりで分類(特に”3′′)。与えられた式がDの倍数になることを示して、整数の組を限定する。素数関連以外の問題も興味ある?そうだねぇ、少しやってみたいかな。b\)はどちらも3で割り切れないが、\(a^{3}+b^{3}\)は81で割り切れる。b\))のうち、\(a^{2}+b^{2}\)の値を最小にするものと、そのときの\(a^{2}+b^{2}\)の値を求めよ。そんなテンション上がんないよ。この式を見たら、まずやりたくなることない?そうだねぇ。因数分解してみたくなるかな。(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$$的な。これが81で割り切れるってことは、素因数3を4つも持っていないとダメなんだね。b\)ともに3の倍数ではないのかぁ。