これは、証明なしで使うのは多少問題があるのかもしれません。証明は、大学の理系学部で学びます。これを用いなくても、与えられた漸化式の「階差」的なものを考える、という発想は、それほど不自然ではないでしょう。式で解いてもいいのですが、グラフを丁寧に描いて、視覚的に確認しながら解くのが良いと思います。これは問題の流れとは関係のない小問です。確実に取るようにしましょう。素直にやると結構やっかいです。ヒントになっていますので、うまく使うようにしないと時間がいくらあっても足りません。位置によって、3通りの場合分けが生じます。同じ区間に含まれることはありません。このことに気が付くと、だいぶ時間が節約できます。解く際には、三角関数の和積公式を用います。暗記に頼ってもいいのですが、解答のように一から作る方法を覚えておかれると、試験場で困ることもなくなります。三角関数の積の形で表す練習をしてみるとよいでしょう。3回も紙に書いてみると、簡単に方法が飲み込めると思いますよ。解けてホッとしても、まだまだ先は長いです。軸および原点に対して対称であることを用いることになります。残り3通りに対して繰り返すことになりますが、さすがにいくら何でも時間が足りません。実際に手を動かし始めて、何かおかしい、と思ったら、対称性に気が付くのもそれほど困難ではないでしょう。残りは、軸上で自身と交わる場合も忘れないようにしないといけません。正確に個数を数え上げることのできた方は、三角関数の処理に関して、相当の自信を持っても良いでしょう。リサージュ図形と呼ばれるものの一種です。(Wikipediaリンク:リサージュ図形)確かに自身との交点が7個であることがわかりますね。解答時間:30分から手が出ない、という方も多かったことでしょう。グラフが上に凸であることを表していますから、このことをうまく使う必要があります。思い出してみると良いでしょう。二回微分が正のときには関数は下に凸であることがわかります。解答のような発想は、触れたことのない方にはとっても高度に感じられるかもしれませんが、受験では時々見かけます。出題されていますので、解答をよく読んで吸収されておけば、ばっちりだと思いますよ。グラフを描いて、面積を比較する図形的な解法も考えられます。そちらも有力な解法ですので、余力のある方は是非試してみてください。使いますが、そのままでは解決しません。面積を考えても良いのですが、解答では積分の平均値の定理を用いています。簡単ですので、これを示してみましょう。有界ですから、最小値と最大値が存在します。