\((a^{p-1}+a^{p-2}b+\cdots\cdots+b^{p-1})\)という式がとっても扱いづらいから、なかなか先に進まないなぁ。いう時はさぁ、最初の式に戻ってみれば良いんだよ。今一応\(a-b=1\)ってことがわかったよね。代入すると$$(b+1)^{p}-b^{p}$$だけど。して、展開しちゃう?しちゃう。\)が\(2p\)の倍数になってくれれば嬉しいな。証明の時には、こうなってくれると嬉しいなぁ、ということを見つければ良いんだよ。すれば、次の行動のとっかかりになるからね。あとはそれを証明するだけじゃん。\(p\)は素数なんだから、\(p-1\)以下のもので割り切れることはないよね。\frac{p!}{(p-r)!r!}$$だから、r=pじゃない限りは、分子に\(p\)が残るはず。\(p\)の倍数なのはクリア。あとは、偶数だってことだけど。