†よくわかる解析力学サポートページに戻るmathjaxを使って、TeX形式で数式を打てるようにしてあります。$または$$(もちろんほんとは全角じゃなく半角の「ドル」です)で囲んで入力してください。spam避けに、httpを含む文章と、英字のみの文章は登録できなくしてあります。「サポート掲示板3」が不具合で書き込めなくなりましたので作りました。こちらに書き込んでください。20:36:47)P202で空間の並進不変性において、運動量が保存するとあるが、これはなぜ言えるのですか。(8.33)で左辺と右辺のδqiは違います。J=0で(8.33)が成り立つのはLをq'iで偏微分したものが0のときだと思います。空間並進不変のとき、運動量が0になるのではないのでしょうか。すみません、空間並進は初めと終わりでずらす量が同じなのを忘れていました。14:18:25)新しい運動量PはSを-Qで偏微分したものではないのですか。αiはSをqiで偏微分したものなのでpiであると考えます。この場合は、αは新しい運動量Pであると同時に古い運動量pでもあります。このページの一番下にある式を見てください。S$がPとxの関数になってます。Pとxの関数を母関数とする場合の正準変換を使います。17:17:31解決しました。(11.4)の帰結としてαがPであるのだと勘違いしてました。ありがとうございました。16:00:32)母関数Wの作り方がわかりません。他の座標変換では母関数を作ることが出来ました。それはP264の(10.72)です。この場合Pがpとqで与えられていたのです。(ハミルトニアンによって)ハミルトニアンなしでWはどのように作るのでしょうか。すいません、質問の意味がわからないです。座標変換なので「この座標からこの座標に変換する」ということが決まれば母関数は作れます。ハミルトニアンとは無関係に。16:50:50(10.72)の座標変換は「ハミルトニアンが簡単になるように」という目標で決められていますからハミルトニアンから決めてます。座標変換する目的が「ハミルトニアンを簡単に」だったということです。16:52:16「このハミルトニアンを簡単にする変換」はハミルトニアンがなかったら作れません。一般的に座標変換するだけなら、「どんな座標変換?」が決まっていれば母関数はそれを満たすように作ります。16:53:24古い運動量→新しい運動量の変換は、古い座標→新しい座標と同じ変換になるのでしょうか。14:51:04うーん、相変わらず質問の意図がわからない。正準変換ですから、座標も運動量も同時に変換される場合が多いと思いますが。「同じ変換」ってのは「同じカタチの変換」って意味なら、そうはならないです。「一つの母関数で運動量と座標が同時に変換されますか?」という意味の質問なら、そうです。14:56:24あ、そうですと書きましたが、例外はあります。座標の並進は座標を変えるけど運動量は変えません。zという式を作ってxyzを極座標で表現したものを入れただけ、とありますが、どうしてそれを行うことによって極座標の母関数を得ることが出来るのでしょうか。11:04:26すぐ下に書いてある(10.109)が出てくるようにです。zのqに相当する部分をQで表せば良いのですね。1つ1つの座標変換に固有のWがあるのかと思ってました。20:39:48)答えが合わないので質問します。解説は納得出来ました。そのやり方なら(10.14)は証明出来ました。(10.14)の左辺を展開すると右辺の2倍になりました。展開するのは間違いだったのでしょうか。展開しても正しい答えが出るはずなので、2倍になるとしたら計算間違いです。22:10:12もしそういう計算をしてたら2倍になってしまうかも。22:11:00そのような計算をしていました。前野さんの本が出版されることを心待ちにしています。00:17:24)P195の問い8-1のヒントに関して。ヒントの記述でなぜ、そのように考えたのか疑問に思ったところがありました。最初と最後で位置をε変化させると、その間のどの時刻でも位置がεの変化が生じかのごとく書いてあります。(図で言うと(8.12)の左の図のように。)そう考えるのは、運動方程式にzを含まないためでしょうか。これは「並進を行うと主関数はどう変化するか」ということを考える問題なので、並進(すなわちいつでもεの変化)させてます。00:25:50どのポテンシャルでも、「いつでもε変化させる」として主関数の話を使えるのでしょうか。ポテンシャルが-mgz2の場合はいつでもεとはできないとおもいます。それは並進した時の軌跡が運動方程式を満たさなくなり、以前の主関数を利用した話は使えなくなってしまいます。08:30:16もちろんいつでもできるのではなく、この場合はできると言うだけです。09:01:05わかりました。ありがとうございます。16:35:51)Gj({x✳︎})=0のxiはxi(t)のようにtの関数でなければGjの変分を考えられないので、xiはtの関数であると考えていいですよね?もちろん時間の関数です(でなかったらそもそも力学で扱う意味はないので)。16:42:19そうですよね。ご返答ありがとうございます。10:54:34)p234の上から3行目に、「z軸まわりの回転」(passiveな変換....)、どあるのですが、なぜactiveな変換ではなくpassiveな変換なのかが、理解できません。ここでは座標系の回転ではなく、点の回転を考えていると認識していますが、そこが違うのでしょうか。ここで考えているのは運動ではなくて、「角運動量とポアッソン括弧を取った結果として座標がどう変わるか」の話ですので、座標の変換(passive)の方です。12:45:30なぜ、ポアッソン括弧を取ることが、座標系の変換になるのかが分かりません。p343の(C.38)にθ=εを代入して近似すると、x'=x+y、y'=x-yとなり、(9.82)とは符号が逆になるように思えるのですが、ここはどのように理解したらよいのでしょうか。x$というのはまさに$(x,y)$から$(x',y')$への座標変換で、それは$x'=x+\epsilon\left\{x,L_z\right\}$のような変換で得られます。14:12:17これはたとえば$p_x$とポアッソン括弧を取ると$x'=x+\epsilon\left\{x,p_x\right\}=x+\epsilon$という座標変換の変化部分になったのと同様で「$p_x$とポアッソン括弧を取ると$x$方向に並進したときの変化量が得られる」のと同様に「$L_z$とポアッソン括弧を取ると$z$軸周りに回転させたときの変化量が得られる」ようになってます。14:16:37すいません、向きは確かに逆になってますね。これは「passive」という説明が間違っているようです。14:23:05ごめんなさい。私が勘違いしてました。12:45の回答は間違ってます。これはactiveな方の変換だと思ってください。14:24:22上で書いた「並進」は座標系の並進でなく、点の移動と捉えるべきでした。いうわけで、文章を「activeな変換」に訂正してください。すいません、混乱させてごめんなさい。14:25:48ポアッソン括弧を取ることが、座標変換に対応することは、分かりました。p343の(C.38)のpassiveな方にθ=εを代入した式についてですが、sinε=ε、cosε=1と近似すると、x'=x+εy、y'=y-εxとなり、(先程は、この式を打ち間違えてしまいました。14:36:51途中で送信されてしまいました。理解できたと思います。何度もご対応頂き、ありがとうございました。15:02:41)演習問題4-1にある、重心の並進運動とは、どのような運動でしょうか。並進運動は、物体の各点が平行移動する運動であると認識していますが、重心(一点)の並進運動が、理解できません。解答にあるように、重心の二回微分が0のときに、なぜ重心は並進運動するといえるのでしょうか。たしかにこれは並進は言葉が悪いですね、等速直線運動、つまり加速度0の運動です。15:19:02分かりました。ご回答ありがとうございました。21:39:30)9月10日付けご回示ご指導有難うございました。19:33:04)8.4節のネーターの定理の計算に疑問があります。時間並進対称性の場合に、8.30式の計算が成り立つのはどうしてでしょうか?8.30式の上側の式の第1項目の積分区間は、8.20式のように端点を動かす必要があり、ti+ε〜tf+εだと思うのですが、それではどうしてNGなのでしょうか?よろしくお願いします。(8.30)の下に「これは0もしくはなんらかの表面項である」と書いてあることに注意してください。19:37:16tをずらすことによる変化は、まさに「表面項」なので、そっちの方に入ります。そちらで計算することになるので、(8.30)の段階では入れていません。19:38:41迅速なご対応、感謝しています。今検討してみたところ、解決致しました。前野先生の参考書を読む度に新しい発見があり、読んでいていつもワクワクして物理が一層楽しくなります。お忙しいかと思いますが、くれぐれもお身体にご無理のないようにご自愛ください。次の「よくわかる」シリーズも楽しみにしております。今後のご活躍を期待させて頂きます。18:39:58)・P250の下の図でp,qの位相空間の流れの図が楕円から円になってるのに軸はp,qのままなのはどうしてですか?それと、正準変換は、位相空間の積分要素において変わらないと言えるのに、図ではqだけが変わりpは元のままで、正準変換(dpdq=dPdQ)した図の見た目では成り立たないように見えます。・(9.70)は、方向微分とあるのですが、(9.69)にある∂/∂qや∂/∂pはどうして含まれないのですか?✳がpまたはqの微分で消えたからですか?・P257の【FAQ】で、dq,dp,dQ,dPが独立でないと「dqの係数を比較して」という計算に意味がなくなる理由が読んだのですが分かりません。・P260の(10.63)の式が分かりません。してGがG(q,Q)のようにq,Qの関数になっているのですか?自分はG(q,P)だと思いました。250pの図は「スケール変換」つまり「図を横にぎゅっと圧縮」した結果です。見ると、pとqの文字が細くなってます(^_^;)。18:46:35(9.70)にはp微分もq微分も全部含まれていますよ。この(、、、)で一つのベクトルです。18:47:43p257のFAQですが、これは9月1日の質問の「独立ではない変数は消去しなくてはいけない」という話と同じです。18:49:25(10.63)はLegendre変換の式なのですから、$q,Q$の関数から$q,P$の関数にしないとそもそも変換する意味がありません。=W(q,P)$となるでしょう。左辺の$Q$には$Q(q,P)$が代入されます。このあたりは省略記法です。18:52:21なお、左辺はそのままで右辺の$P$に$P(q,Q)$を代入してもいいです。18:52:56(9.69)では、∂A/∂pには、✳に掛かっていた∂/∂qも付いていました。∂A/∂q∂/∂p・・・)になると思っていました。23:17:38すいません。9月1日の質問を見たのですが、「独立ではない変数は消去しなくてはいけない」の意味が分かりませんでした。独立でないならdqだけの係数を括弧でくくっても他の変数部分が関係してくるからdqでくくった係数は、正確なdqの係数ではないということと考えました。23:21:38どうやら「方向微分」という言葉の意味がわかってないようです。y}$は「$(a,b)$方向への方向微分」です。06:34:00(6.70)と「位相空間内のグラディエントにあたるベクトル」の内積を取ると(6.79)の微分演算子になります。P$が独立ならば$a=A,b=B,c=C,d=D$と言えるが、そうでなかったらそうは言えない、という話です。Q$なので、$b+d=B+D$という式になり、$b=B,d=D$とは結論できません。06:39:29少し考えたのですが、{A,p}、{A,q}をA(q,p)として(9.69)と見比べて見ました。00:21:39文脈を読めてないようなのですが、{*,A}が「(9.70)の方向への方向微分を*に掛けた結果」なのです。q})$方向の方向微分」です(簡単のため添字iはないとして2次元位相空間で書いてます)。07:26:08もう一回書きますが(9.69)に現れている微分演算子が、(9.70)の方向への方向微分です。07:27:09やっと納得できました。何度も質問に答えていただいてありがとうございました。12:46:06)9月9日のご回示ご指導有難うございました。貴本p189掲載の対称コマの図がθ=一定を意味してない事を理解できました。8月19日付け貴回示内容に関して、下記の通りご質問致します。対称コマ運動に於いては、全角運動量は保存される筈ですから、これを観測座標系の小文字z軸方向に合致するLzと仮定して、何ら一般性を失いません。この場合当然0=Lx=Lyとなり、従って貴方も8月19日付け貴回示にて認められている通り、θ(全角運動量とコマの対称軸との間の角度)は一定となります。ランダウの自由空間での対称コマに関する記述「自由空間での対称コマの運動は主軸周りの回転と全角運動量軸周りの歳差運動だけで表現電出来る」は正しいと思います。貴本9.6.4節:軸先拘束対称コマの記述に関してはランダウと実質的に同一の内容であり、異論はございません。座標系の取り方の違いによりフクザツに見える、という解釈でよいでしょう。12:59:25ご回示ご指導有難うございました。21:36:23)9月1日ご回示ご指導有難うございました。下記ご指導ご回示戴けると幸いです。Q4.白矢印はθの変動運動(即ち章動)をも包含するのでしょうか?p189の図はp187の図が、$I_{XX}=I_{YY}$になったことで対称性がよくなったものなので、起こっている現象はやはり同様です。22:34:25白矢印は$L_X,L_Y$の時間変化の方向です。ここで、変化しているのは$L_X,L_Y$という「角運動量を$X,Y,Z$軸方向に分解したときの成分」であることに注意してください。\omega$というベクトルの回転)。22:39:01白矢印は$\omega_X,\omega_Y$が「円運動」をしていることを示していますが、それは$\theta=$一定を意味しません。$\omega$と$\theta$の関係は(7.29)です。22:53:35じゃあ、実際にどういうふうにθが変化しているのかというのは、この本の中ではハミルトン形式に行ってから、9.6.3節で概略を示してます。01:08:53)・ハミルトン形式では、運動量はon-shellにして初めてqやq'と結び付くとあるのですが、on-shellによる運動方程式の解の代入するときの運動方程式は、ハミルトニアンの主関数とハミルトン形式ではラグラジアン方程式と正準方程式で違いますか?・P227(9.62)から6行目の文でBから{A,B}を計算するとはどういう意味ですか?・(9.67)の下の文で「右からp(j)とのポアッソン括弧を取る({✳、p(j)})」は、∂/∂q(j)と同じとは、∂✳/∂q(j)だと思いました。✳はなぜ付いてないのですか?・何故、{✳,H}の方向は、q(または、{✳,p})の方向と同じなのですか?『H=p^2/2mの時Hの速度の演算子はp/m∂/∂qですが、pを保存量として、この∂/∂qの寄与でq方向なら{✳,H}のときの他(∂/∂p)の寄与はどうなるのですか?・P234の(9.84)では、Lzzとポアッソン括弧を取るのはΦで微分するのと同じとあるのに、P237の(9.94)で上の文にLzz=Izzωz=p(φ)で、p(φ)とポアッソン括弧を取るということはφで微分することと同じとあるのですが、記号が異なるのはどうしてですか?Φ,φはP345のオイラー角のZ,Z''軸回りを参考にしたのですが。質問が多くて申し訳ありません。07:47:13「Bから{A,B}を計算する」→文字通り、Bがわかったら(Aはその前からわかっていたとして){A,B}もわかるという意味で「Bから{A,B}を計算する」と書いてます。q}$を掛ける」のと同じ、という意味です。