2017年1月19日ここでは、和集合の要素の個数を数える問題を見ていきます。【基本】集合の要素の個数では倍数の個数を数えましたが、これを応用した問題を考えます。まとめ、これに基づいて過去の入試問題を分析し、その中から思考力を養うために経験しておきたい問題を収集し解答・解説を収録。思考調査の問題を参考にして「共通テスト型問題」を作成。例題1から15までの整数のうち、3または4で割り切れるものはいくつあるか。「3または4で割り切れる」ということは、3で割り切れるものと4で割り切れるものをあわせたものになります。15」の7個になります。ダブらないように、小さい方から順番に書き出すようにしています。して数えれば、7個が答えだとわかります。今回のように毎回書き出すのは面倒です。簡単な出し方、計算だけで出す方法を考えてみます。【基本】集合の要素の個数で見たように、割り算をして考えてみるとよさそうです。「3の倍数は5個、4の倍数が3個」だとわかります。足すだけではダメなようです。上のように書き出して数えると「7個」となるからです。足すだけではダメなんでしょうか。それは、ダブっているものがあるからです。3の倍数と4の倍数を書き出したものの中に「12」がダブっています。両方の集合に入っているものは、2回数えることになってしまいます。これを除かないといけません。「3の倍数の集合に含まれ、4の倍数の集合にも含まれるもの」というのは、12の倍数のことです。12は3と4の最小公倍数ですね。12の倍数は1個だけです。\]個となり、書き出して数えたときと同じ結果になります。和集合で見たように、ベン図を使うとわかりやすくなります。これを使って、上の例題をもう一度考えてみましょう。例題では、「1から15までの整数」について考えました。この中で、3の倍数か4の倍数になっているものを数えるんでしたね。青い部分に含まれているものが対象なので、「7個」が答えになります。この「7」を求めるために、左側の円(3の倍数)にある「5個」と、右側の円(4の倍数)にある「3個」を足し、ダブって数えた中央部分(12の倍数)にある「1個」を引いて求めたんですね。原理的には、細かい3つに分解しても求めることができます。「3の倍数だが4の倍数でない」「3の倍数でも4の倍数でもある」「3の倍数でないが4の倍数」の3つの集合の要素数を求めて、すべて足してもかまいません。倍数の場合は、「あえてダブって足してから、ダブったところを引く」という数え方のほうが楽な場合が多いです。倍数の個数が簡単に求められるからです。ダブらせて数えた後でつじつまを合わせる方法は【標準】ダブらせて数えるでも見ましたが、倍数の問題でもよく使います。