数学の偏差値を上げて合格を目指す高校数学を中心に数検1級などの数学を解説。円の接線の方程式を導出する方法を紹介します。円(x-a)2+(y-b)2=r2の円周上の点(p,q)に対する接線の方程式は(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r2である。覚えておいて損はしませんがこの方法でなくてもいろいろ導けるので無理して覚える必要はありません。この形で知っておくと球面の接平面の公式に応用できます。<参考>球(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2の球面上の点(s,t,u)における接平面の方程式は(s-a)(x-a)+(t-b)(y-b)+(u-c)(z-c)=r2大学1年での勉強が少し楽になります。接線の公式を証明しておきます。(*)(p-a){(x-a)-(p-a)}+(q-b){(y-b)-(q-b)}=0(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=(p-a)2+(q-b)2=r2(∵(p,q)は円(x-a)2+(y-b)2=r2上の点より(p-a)2+(q-b)2=r2)[参考]3次元の場合でも接平面の定義から(*)に相当する式まではすぐに得られるので残りはこれと同様の考え方で導けます。例題1:円x2+y2=17の点(4,1)から引いた接線の方程式を求めよ。例題2:点(4,1)を通る,円(x+1)2+(y+2)2=17の接線の方程式を求めよ。例題1は公式を適用すれば終わりですが例題2は(4,1)が円周上でないのでそのままでは公式が使えません。いうときは接点を(p,q)とおいて公式を適用し,p,qを消去するのが定石です。4x-y=15公式の適用でどれを代入するのかゴチャゴチャになりそうですね・・・。いうときは判別式,または点と直線の距離の公式でも解けることを覚えておきましょう。例題1:(4,1)を通るy軸に平行な直線x=4は接線ではない。求める接線の式をy=mx+nとおく。∴n=1-4my=mx+(1-4m)をx2+y2=17に代入するとx2+m2x2+2m(1-4m)x+(1-4m)2-17=0直線は円に接するから判別式をDとするとD/4=m2(1-4m)2-(m2+1)(16m2-8m-16)=0整理するとm2+8m+16=0∴m=-4よってy=-4x+17例題2:直線x=4は接線ではない。y=-\frac{1}{4}x+2\)アイデアは簡単です。判別式の計算が少し面倒ですが公式を覚える手間・公式を間違って覚えるリスクを考えるとこの方針も利用価値はあります。例題1:求める式をmx+ny=1とおく。∴n=1-4mよってmx+(1-4m)y=1とおける。4x-y=15このように比較すると円の接線の公式が1番楽そうですがどの値を代入するかのミスが起きやすいです。公式暗記ミスを恐れるか計算ミスを恐れるかによって解法の選択がわかれるところです。数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。おすすめ参考書はコチラプロフィール上野竜生です。文系科目が平均以下なのに現役で京都大学に合格。数学を中心としたブログを書いています。今週の問題ランキングに参加しています。数学の偏差値を上げて合格を目指す。