これが変分法の基本的な考え方です。存在を示せば、解の存在を示せます。解の滑らかさ、解が正値であるかどうかといった解の性質も、色々な知見を組み合わせてわかります。変分法は微分方程式を考察するためには、強力な手法です。変分法と微分方程式が、ここで繋がるわけです。念の為に補足しておきますが、全ての微分方程式が変分法で考察できるわけではありません。万能というわけではありません。変分法以外にも、微分方程式を考察するために、人類は様々な手法を開発してきました。対象とする微分方程式の特性に応じて、有効な手法は様々です。そのような手法の種類が非常にたくさんあって、いわば未開のジャングルを探索している状態になっていることが、微分方程式という数学の分野の重要な特徴だと私は思います。偏微分方程式を考察するための最も基本的で重要な手法が変分法であることは、多くの専門家がそう認識していると思います。変分法は偏微分方程式の王道です。過去も、現在も、そうあり続けています。近い未来までは、きっとそうだと思います。他分野との変分法の捉え方の違い現在の日本の標準的な理系の大学のカリキュラムですと、大学入学後、初めて変分法を習うのは、数学ではなくて物理学である可能性が高いと思います。私見では、数学と他分野では、変分法の「捉え方」がだいぶ違います。その違いについて述べます。高校生の物理では、光学でフェルマーの原理を習います。「物質を透過する際に、光はその光学的距離が最小となるような経路をとる」という内容です。実は、光学に限らず、物理学では「実際に起こる『現象』は『何か』が最小となるものである」という特徴付けが、非常に多くの場面でなされます。「最小作用の原理」と呼ばれます。最小作用の原理は、物理学の基本原理であるとも言われています。具体例として、少し進んだ例を出します。年生でさらに高度な捉え方をすることになります。これを解析力学と呼びます。解析力学で取り扱われる最初の話は、「実際に起こる『運動』は『ラグランジアン』が最小となるものである」というものです。汎関数(関数空間を定義域とする関数)なのです。充たす微分方程式として、オイラー・ラグランジュ方程式を導きます。オイラー・ラグランジュ方程式を深く考察して、解析力学の前半部分が終了します。この解析力学の話と、上で述べた微分方程式の数学的研究の話を比較しましょう。するとこの両者は、ちょうど順番が逆の議論をやっていることになることがわかります。関数空間の臨界点です。\)が充たす方程式としてオイラー・ラグランジュ方程式を「導き」、オイラー・ラグランジュ方程式を考察するという順序になっています。変分法の数学的研究では、考察したい微分方程式がまずあって、その解を考察することがまず動機になります。臨界点を考察する、という順番になっています。何れにしても「汎関数の臨界点は、対応する微分方程式の解になっている」という事実が鍵となっています。数学の間でも変分法の捉え方の違いがあるついでにいうと、最先端の変分法の研究は、上で述べた問題意識とは異なることもあります。一言だけ述べておきたいと思います。今まで私は、変分法とは微分方程式の研究をするための手法だと述べてきました。「設定」すると述べました。臨界点を考察することそのものが動機になる場合もよくあります。これは面白い動機の変化です。」を調べていること自体は、間違いないことです。臨界点を見出すことそのものに興味がある数学者も多くいます。このことを指してしばしば「変分法の研究では、微分方程式はおもちゃ」と呼ばれることもあります(私はそうは考えてはいませんが...)。なる点を臨界点と呼びました。変分法とは、汎関数の臨界点を求めることだと述べました。そこで、臨界点を求める方法について話したいと思います。次元空間での臨界点を調べる方法を学びます。無限次元空間で臨界点を求めるのは、有限次元の場合と難易度が全く異なることです。臨界点の存在が示されるだけでも高度なことだと言えます。そこで、臨界点の存在を示す代表的な方法の概要を紹介します。極小点を求めるという方法です。このことは無限次元でもさほど事情は変わりません。これは変分法の原始的で基本的な考え方です。年生までと、ものを考える順番が逆になっているのです。年生までは、極小点を求めるために関数を微分し、臨界点をまず確定させました。変分法の場合は、臨界点の存在を示すために、極小点を求めにいきます。極小点に近づく点列をまず得て、その極限が存在すること、およびその極限が極小点に実際になっていることを示します。これで臨界点を求めたことになります。「馬の鞍の点」を求める方法ところが、もう一つ、上記とは異なる、重要な考え方があります。最初の話を思い出して欲しいです。臨界点は、必ずしも極小点・極大点にはなりませんでした。次元空間では、馬の鞍の形をした臨界点もありうると。あの形の臨界点を求めることも、現代の変分法の研究においては重要な課題です。次元方向では下がっていました。次元方向では下がっていて、残りの方向では上がっている」という点を、しばしば、捕まえることができます。こちらの研究が、近年では主流になっています。解について調べるのが、主な専門となっています。その具体的な手法や定理については...ここから先を述べるのはとても高度なので、ここで筆を置かせていただきます。終わりにまとめここまで述べた内容をまとめておきます。無限次元空間は、存在します。高校生でも、具体例に触れています。変分法とは、無限次元空間で臨界点を探す一連の手法を指します。汎関数の臨界点は、対応する微分方程式の解になっています。これを利用して今も微分方程式の最先端の研究が行われています。年生まで勉強すると、正確にわかるようになります。なくても、理系の学部に来ると、大抵、なんらかの形で、上で述べたことに関連した話題に触れると思います。年程度勉強する必要があります。そこで、段階に応じた読書案内をしたいと思います。年生向け」のように書きますが、自分の数学力が足りていれば自分の学年より上の文献にも手が届くでしょう。年生向け上の話で多変数関数の極大点、極小点について書きましたが、まずこの話については微分積分の教科書に書いています。牛腸徹『数学IB演習プリント』がわかりやすいでしょう。II』は、牛腸先生のプリントに続けて読むのにはちょうどよく、記述が丁寧です。年生向けに書かれています。年生だと、何らかの方法でルベーグ積分までは勉強することになると思います。関数空間・フーリエ解析について本文中に述べましたが、それらを続けて勉強するのが大事です。以下の本が私は好きです。Edition)”に、微分方程式で使われる様々な手法のエッセンスが載っています。読んで、その参考文献に書いてある詳しい教科書を当たると良いでしょう。年度の早稲田大学商学部の数学の入試問題です。途中の図で出てきた微分方程式は、以下の論文から採りました。代表の青松さんからたくさんの有益なコメントをいただき、更に綺麗な図を作っていただきました。青松さんのご指摘は具体的で、記事をよくするための書き直しもしやすかったです。変分法は高度な内容ですが、最終的にできたこの記事がわかりやすいと思っていただけたならば、青松さんのおかげです。細胞の運命はどうやって決まる?細胞運命決定の制御と数理モデルRECOMMENDこちらの記事も人気です。