−無限次元空間の臨界点を見出す−ツイートシェアはてブLINEPocketこんにちは。数理科学研究科で特任研究員をしております。この記事では、変分法の概説を試みます。変分法は、微分方程式を考察する代表的な手法です。自己紹介がわりに、どうして変分法を専門にしたのかまず話したいと思います。私は、大学の数学を勉強し始めてから、積分の世界の素晴らしさに魅了されました。高校までですと、積分は原始関数を介して求めます。ところが、大学以降に勉強する高度な手法を使うと、例えば原始関数が書けない関数の定積分の正確な値が求まるケースがあります。大きいことが分かることが重要である場面も増えてきます。いう一連の手法が好きになりました。以下で「汎関数」が出てきますが、変分法で使う汎関数は、関数の積分で書かれます。変分法は、積分を取り扱うのが好きな私には合っている研究対象だと思っています。最初は微分方程式の話をします。微分方程式を取り扱う上で重要な手法として、変分法があります。そこでこの記事では変分法の話をします。微分方程式の導入に続いて、順番に見ていきます。次元の場合を取り扱っている身近な対象です。年生で多次元の場合を取り扱います。実は、変分法では、無限次元の場合を取り扱うのです。無限次元といきなり言われてもピンとこないかもしれません。そこで、無限次元空間である「関数空間」について、高校生でも計算できる具体例を挙げてお話しします。無限次元空間が存在することに親しみを持ってくださると思います。すると「汎関数」の定義ができ、「変分法」について概説できるようになります。いう流れで進めていきます。皆さんは微分方程式と聞くと、何を思い浮かべるでしょうか。「方程式とは、解を求めるものだ」ということは、中学校以降のイメージとしてあるでしょう。教科書の最後には、簡単な微分方程式が発展項目として出てきていますから、具体的なイメージが湧く方もいらっしゃるかもしれません。この記事では、変分法について、その主となるアイデアをお話ししたいと考えております。そのためにまず、微分方程式について少し説明します。微分方程式は、関数方程式の一種です。関数方程式とは、関数を解として求める方程式のことです。関数方程式は、それ自体は抽象的なものではありません。高校の教科書や大学入試問題でも取り扱われます。求めよ」というものです。これは関数方程式の例です。この場合、方程式に積分が登場しているので、積分方程式と言います。微分方程式というのは、方程式に微分が登場している関数方程式のことです。教科書の発展課題として、微分方程式が載っていると思います(載っていない教科書もあります)。それを読んでみるといいかもしれません。変数関数についての微分でした。ところで、微分方程式は、自然科学のたくさんの分野で、状態や変化を記述するために、広く応用があります。その場合、変数を増やす必要性が出てきます。変数が必要になるでしょう。時間の変化も考えることも自然です。変数が必要になるでしょう。変数関数を取り扱う必要があります。導入する微分では道具としては物足りなくなります。年生の微分積分では方向微分を定義します。次元空間で、ある方向に沿って微分を考えるというものです。そのうち特に重要な「方向」として、「ある一つの変数だけ動かす。他の変数は動かさない」という「方向」があります。これを偏微分といいます。偏微分を含む方程式を、偏微分方程式といいます。変数関数の微分方程式を常微分方程式といいます。これらはどちらも重要な研究対象で、どちらも重要な結果を他分野に与えています。数値的に解く機会が、勉強していくうちにあると思います。年生の数学の講義で、パターン別の常微分方程式の解法や理論も勉強すると思います。専門数学で扱う偏微分方程式のほとんどは、少し難しくなるだけで、何にもわからなくなります。解が存在するのか、それとも存在しないのかということすら、簡単にはわからなくなるのです。年生や大学院以降に勉強する高度な手法を使って、研究を進めます。高度な手法を新たに整備して、新しい微分方程式を調べます。微分方程式を調べるための代表的な手法が変分法です。以下、変分法の概説をします。変分法というのは、結局何をしているかというと、臨界点を求めるということです。なる点を求めるというのは、高校の数学から馴染みのある計算でしょう。なる点を求め、極大点・極小点を求めることをよくやると思います。増減表をかいて、グラフをかく練習をするでしょう。年生になると、多変数関数の微分法を勉強します。次元以上に拡張したものの微分を習います。以上になると、臨界点を求めるというのは、極大点・極小点を単純に求めるということではないということです。変数関数の極小点の例をお見せしましょう。