分123統計的機械学習では解きたい問題にあわせて様々な分布を扱いますが,中でももっとも重要なのは,今回紹介する正規分布です。ウォーミングアップ代わりに,前回のおさらいです。前回は,確率変数の値を実数のような「連続な数」で表す「連続確率」について説明しました。積分値=面積=確率」として定義します。確率を「点」に対して考えるといろいろと都合が悪いので,「⁠範囲」に対して考えるのでしたね。分布が確率であるためには「足して1になる」などの重要な条件がありましたが,連続確率にも同様に「重要な2条件」があります。値自体は確率ではない,積分(面積)を求めると初めて確率になる,という点です。なるように調整することで確率密度関数を得ることができるのでしたね。この調整を「正規化」と言い,この後早速登場します。確率密度関数の考え方はとてもよくできていて,離散確率との本質的な違いをうまく吸収し,使い勝手の違いを「Σを∫に置き換えるだけ」で済ませられるのでした。第2回で紹介した,離散確率についての「加法定理と乗法定理」も,「⁠Σを∫に置き換える」と連続確率版を得ることができました。確率分布の「平均(期待値)」と「分散」についても紹介しました。こちらは本文の中でもう一度出てくる時に復習しましょう。このグラフは中心が高く,両側は徐々に下がった後なだらかになって,軸に沿う形で長く伸びています。この形はよく「釣鐘型」と呼ばれるのですが,「⁠釣鐘」というと日本人にはお寺の鐘の印象が強いでしょうから,裾が長いこの形をなぜ釣鐘というんだろう,と不思議に思うかもしれません。実は,元の英語では「ベルカーブ⁠」⁠,つまり口が開いたベルを伏せた形に見立てて名付けられたため,不自然なのは日本語訳なんですよね。......と,話がわき道にそれてしまいました。確率密度関数の値は,さきほどのおさらいでも触れましたが,「⁠相対的な可能性」を表します。確率密度関数がこのようなグラフになるということは,中心付近の値は非常に発生しやすく,そこからある程度離れると急速に発生しにくくなる,そういう連続確率を表している確率密度関数であるということがわかります。このようなグラフを描く確率密度関数は以下の式で与えられます。書いてもいいのですが,字が小さくなって読みにくいからか,機械学習でそちらの書き方を見掛けることは少ないようです。「全範囲で積分して1」の条件を満たすように適当に調整します。「正規化定数」と言います。取り除いて積分をして計算します。この積分の計算には少々パズル的な方法を使う必要があるのですが,詳細は省略します。積分=1」になってくれるのはわかります。して確率密度関数が「全範囲にわたる積分=1」を満たす正規化定数を求めることを,「⁠確率密度関数の正規化」と言います。このようにして構成された釣鐘型の連続確率分布が「正規分布」です。19世紀の偉大な数学者カール・フリードリヒ・ガウスが正規分布を使った研究を行ったことから「ガウス分布」とも呼ばれます。最初に正規分布というものを導入したのはド・モアブルなのですが,最初に考えた人とは違う人の名前が定着してしまうのは科学ではよくあることですね(苦笑⁠)⁠。「正規分布」はよい性質を数多く持っており,もっともよく利用される連続な確率分布の一つです。その性質や,より一般的な定式化について,このあと順に確認していきましょう。確率変数の「平均」(⁠期待値)と「分散」を前回紹介しました。復習を兼ねて,もう一度振り返っておきましょう。σ2とは以下の式で定義されるものでした。ここでは連続確率の場合の定義式を示していますが,離散確率の場合は積分の∫が和をとる記号のΣに置き換わるのでしたね。それではこの定義式を使って,先ほどの正規分布の平均と分散を求めてみましょう。平均が0,分散が1という,とてもキリのよい分布だったのですね。この平均0,分散1の釣鐘型を平行移動&横に引き延ばしつつ,正規化定数を調整することで,与えられた平均と分散を持つ,より一般的な正規分布を考えることができます。ある正規分布の確率密度関数は以下のようになります。ここでの最大のポイントは,「⁠平均」と「分散」というたった2つの値が与えられるだけで,正規分布の全体が決まるということです。そのおかげで,全く未知の確率分布に対しても,とりあえず平均と分散だけでもわかっていれば,正規分布と仮定して試しに計算してみるということができます。これは機械学習を含む統計的分野では結構ポピュラーな手法となっています。それどころか,平均と分散すらわかっていないのに「とにかく正規分布だとしたら」と仮定して,平均と分散を推定する,という手法もあるくらいです。iVocaをサービス提供している。2019」を開催しました。DAY1・DAY2の様子を注目セッションとともにお伝えします。LINEのエンジニア3名がイベントに先駆けて見どころを紹介します。コードの安全性・安定性を高める開発サイクル~テスト管理の効率を上げ,脆弱性診断を自動で行う~本連載では,連載「業務を改善する情報共有の仕掛け」を受けつつ,安全性・安定性を加えた開発サイクルについて考えていきます。若者世代から圧倒的な人気を誇るライブ配信&動画投稿コミュニティアプリ「MixChannel」(ミクチャ)の裏側(レコメンドシステムやサーバサイド開発など)について解説していきます。その他の連載CSS3アニメーションでつくるインターフェイス表現CSS3によるアニメーション表現を紹介していきます。その中でも,幅広い読者に応用してもらえるだろうインターフェイスを主なお題とします。MySQL道普請便り本連載では,MySQLを使ったアプリ開発・運用に関するノウハウをご紹介していきます。RecipeUbuntuの強力なデスクトップ機能を活用するための,いろいろなレシピをお届けします。JavaScriptセキュリティの基礎知識JavaScriptに関するセキュリティ上の問題はどこで発生し,どうすれば防ぐことができるのか?について解説していきます。〜システムをきちんと運用するための基礎知識システムは「作って終わり」ではなく,運用の中でさまざまな問題が発生します。問題の発生に備えて事前にどのような対応をしておくべきなのか,問題発生時に何をしなければならないのか,ポイントを解説していきます。きたみりゅうじの聞かせて珍プレーソフトウェア開発の現場で体験したトホホな失敗,思わずうなる珍プレーをきたみりゅうじ氏が四コママンガで紹介。Linuxのメンテナンスの傍ら,Linuxやオープンソースソフトと日々を過ごす著者が,その魅力とつきあい方を,エッセイ風味でお届けします。PRESS特別編集部員,さわやか笑顔のスーパーハカーはまちちゃんとネット大好き14歳わかばちゃんが,毎号,読者の皆さんから寄せられたおたよりを紹介します。皆さんの日頃の悩みにも答えちゃいますよ。]メールでのお知らせメールで次の案内をお送りしております。メールの配信を希望する方は,利用したい項目をチェックしてメールアドレスを入力し,[登録]ボタンをクリックしてください。UPDATES[ほぼ週間に1回]新刊メールマガジン[ほぼ週間に1回]電脳会議の各号案内[ほぼ1ヵ月半に1回]※変更する場合や停止する場合は,登録情報変更ページをご覧ください。※登録いただいたメールアドレスには,そのお知らせ以外,配信いたしません。Ltd.ページ内容の全部あるいは一部を無断で利用することを禁止します。個別にライセンスが設定されている記事等はそのライセンスに従います。