ないブログに表示されています。新しい記事を書く事で広告が消えます。[趣味のゲーデル]前回、ゲーデルの「神の存在証明」はライプニッツの衣鉢を継ぎ、「神が存在することはありうる」ということ、および「神が存在することがありうれば、その存在は必然的である」ということの2ステップを踏むことを予告した。この稿ではまず「そも、証明とはなんぞや?」ということをかんたんに確認し、しかるのちゲーデルの証明(の「口語」ヴァージョン)の前半部分の前半部分、つまり証明全体の4分の1のところまでを見ることにしよう。「証明」とはいっぱんに、「ある前提(群)にある推論規則(群)を適用してある結論を導くこと」を言う。このように言われた証明について、そもそもの議論の出発点、つまり「証明抜き」でただしい、あるいは妥当であると認められるものを「公理」と言う。ない」という結論を導く)といったところが有名どころだろう。推論規則が適用される前提は、公理だけではなく、それまでに証明された結論も含むことに注意。「証明」というものがいっぱんに上で言われたものであるからして、ゲーデルも当然「証明抜きでただしい、あるいは妥当だと思われる前提」からその証明を始める。どちらか1つのみが、実在的である。ない」と言われる性質を、その性質の補性質と言う。あるとはどういうことか?」という疑問が浮かぶ。そもそも、上の註で出した性質「赤い」とその補性質「赤ではない」のように、どちらか一方だけを「実在的」と呼ぶのはいかにも無理があるように思える。最大限ゲーデルに好意的に解釈すれば、たとえば「赤い」という性質について考えれば、「赤い」には「赤さ」が「実在」し、「赤ではない」には「赤さ」は「実在」しない、ということなのかもしれない。最初の公理からして「証明抜きでただしい、あるいは妥当であると認められる」どころの話ではないが、このエントリでなしたいことは、ゲーデルの証明の「内実を検討すること」ではなく、あくまでその紹介にあるので、先に進もう。このような性質は、何かある実在的(あるいは非在的)性質に、それとはべつの性質が必然的に伴うとき、その伴う性質もまた実在的(あるいは非在的)であるとされる。それがつぎの「実在性の随伴公理」である。公理2ある実在的性質に必然的に伴う性質もまた実在的である。「赤い」という性質には「色がある」という性質が必然的に伴うが、そうした場合、この「色がある」という性質もまた(「赤い」という性質が実在的だとすれば)実在的である、とされる。これら2つの公理より、つぎの命題が証明される。持つ何かが存在しうる。持つ何かが存在することはありえない」ことを仮定しよう。持つものがないことは必然的である」ということである。ところで、「何かが存在しない」ということは、そういう「存在しないもの」を「存在する」と仮定すると何かおかしなことになる、ということである。入るのは何だっていい。要は、時間を考えないセッティングで、何かがそれ自身と等しくないのはおかしい、ということ)としよう。」ということである(時間を考えないセッティングのもと、何かがそれ自身と等しい)。」は、どういう状況下であれ成り立つ。」という言明はつねにただしい。持つものがある」を入れることにしよう。」とは両方とも実在的であるか、もしくは両方とも非在的であるか、のどちらかである。ある」ということである)、実在性の公理により、このようなことはありえない。持つ何かが存在することはありえない」ということはありえない。持つ何かが存在することはありうる。これが証明すべきことであった。いうわけで、ゲーデルの存在証明の、だいたい最初の4分の1程度を見てみた。次回は最初の山にして、じつは最大の問題含みなポイントである「神が存在することはありうる」という証明までを見てみよう。Comment(2)この記事にコメントするお名前メールアドレスURLコメントあえて神の存在証明についてのゲーデルについての記事ってのは、いいですね。一応(?)不完全性定理そのものの方は解説本がいろいろと出ているわけですし。この議論の流れからすると、性質Pもしくはその補性質(「補」ということばは逆って意味があるんですよね)のどちらともが神の性質であるということだから、少なくともどちらかが必ず実在し、神が存在することは具体化されうる、ってことなのでしょうか。しても、最初の実在性の公理で言われているのは「ある性質Pと補性質の両方が実在的ということはない」ということであって、「ある性質Pと補性質の必ずどちらかは実在する」ということではないのだから、それじゃぁなんらかの議論から実在性へと直接繋がらない。30分くらい考えてるんですけど、ぜんぜんわからないですねぇ。編集まあ、「あえて」ってわけでもないんですが、あるひとつの「実例」として取りあげた、という感じですかね。何にせよ、こういう一見「きわもの」とも思われかねない例を出したモチヴェーションについては、最終回(たぶん第5回目)で述べたい、と思っています。「補〜」についてなんですが、これはあれですよ、高校でならったはずの「補集合」を思いうかべてもらえればいいです。既知だとは思いますが、繰りかえせば、ある集合領域Uがあったとして、そこでの集合Aに関して、領域Uに相対的に集合Aの補集合が定義され、集合Aと集合Aの補集合の合併がUになる、というやつですね。領域Uに関して、集合Aの補集合は、集合Aを「補うもの」になっている、ということです。上の説明からの連想で分かるとおり、ここで考えられている集合領域、つまり性質の集合は無限であり、そうした無限領域において、何らかの「補」をどうとるか、それはそれで問題ではあります。あと、新しい稿でも注解しましたが、ここで言われている「実在」は、かならずしもただちに「じっさいに存在する(もの)」を意味しない、んですね。そこんとこ、ご注意ください。最新記事コメントがうまく書きこめないようになっていたようです。