切片の分散(学校間分散)がとても小さいため推定がうまくできていません。学校間の違いはほとんどないことを表しています。ランダム化切片モデル分析を進めていきます。先ほど学校間でテストの平均点に差があることが分かりましたので、仮説を少し変えて以下の疑問に答えていきましょう。勉強時間の影響を除いた上で、学校間で平均点数に違いがあるか個人レベルでも勉強時間と点数に関連はあるのかまずは、勉強時間の影響を除いた上で学校間で平均点に差があるかどうかを明らかにしていきます。いうことかというと、テストの点数だけではなく、勉強時間にも学校間で差があることが考えられるため、仮に勉強時間が同じ生徒を比べた時にも、学校間で差があるかどうかを検証します。イメージは以下のようになります。この切片分散が0でなければ勉強時間の影響を除いた後でも、学校ごとに点数に違いがあることになります。ここでは傾きが学校間で一緒であるという前提のもとに解析するため、共分散分析のイメージに近いですね。式で書いてみるとこれを求めてみると、となりました。ここから、学校間分散が0ではないため勉強時間の影響を除いても学校間には183点(33510の平方根)ぐらいの差があると言えそうです。級内相関は33510/(33510+16318)=0.67(67%)となり、少し小さくなりました。学校内分散の減少率よりも学校間分散の減少率が大きい、つまり勉強時間は学校レベルの違いに大きく影響したことが分かります。effectsのみ記載しました。説明変数の中心化さて、次の疑問である個人レベルでも勉強時間と点数に関連はあるのかに答えるために、中心化の概念を説明しておきます。中心化とは説明変数のバラツキを個人レベルと集団レベルに分離して解析するための手法です。先ほどのモデルの傾きb0を確認してみると16となっていて、これは勉強時間が1時間長いと点数が16点高くなることを示しています。勉強時間には学校レベルと個人レベルの影響が混在しているため、個人の関係を表しているのか、そもそも勉強時間が平均的に長い学校の点数が高いのか分かりません。そのため、各個人の勉強時間から学校ごとの平均勉強時間を引くことで、学校による勉強時間の違いを除くことができます。Cluster:CWC)と呼びます。以下はCWCを行う前とCWCを行った後の勉強と点数の関係を表したグラフです。下のグラフでは、勉強時間の平均値が0になっており、学校による勉強時間の違いが排除されていることがわかります。このCWCを行った後の勉強時間を説明変数とすることで、純粋な個人レベルの勉強時間と点数の関係を推定することができます。mean:CGM)という手法もあります。これは、各個人の勉強時間から全体の勉強時間平均を引く手法です。説明変数にCWC(集団平均中心化)を行った勉強時間をモデルに加えても傾きが有意であれば、個人レベルで勉強時間と点数に関係があると言えそうです。式で表すととなります。これを求めてみると、となりました。ここから傾き12、標準誤差1.39なので、個人レベルでも勉強時間と点数に関係があることが分かりました!説明変数を中心化したため、切片平均はそれぞれの学校で勉強時間が学校平均の人の点数の平均を表し、学校間分散はそのバラツキ具合となります。effectsの(intercept)とX_CWCが切片と傾きになります。---2月14日追記---学校レベルの影響を追加さて、中心化を行うと学校レベルの影響が排除されることが分かりました。するとこのモデルでは、学校間での比較をすることができなくなります。そこで、マルチレベル分析において集団平均中心化を用いた際は、その集団平均を集団レベルの変数に加えることが推奨されています。平均的に勉強時間が長い学校は点数が高いのかどうか、という学校レベルでの議論できるようになります。集団レベルの変数を投入する際には全体平均中心化(CGM)をすることで、今後の解析が行いやすくなります。単行本この商品を含むブログを見る以上を式で表すとここでは個人レベルの切片に関わるパラメーターにはaをつけておきます。ややこしですが、これを求めてみるととなります。個人レベルでの傾きは12点と変化していません。学校レベルでの平均勉強時間の傾きが推定されていて25となっています。勉強時間が全体平均よりも長い学校にいる生徒は点数が高くなるということが分かります。学校種(公立、私立)も変数に加えてみましょう。ここでは、学校種によって点数に差があるかどうかを検討できます。これを求めるととなりました。学校種の勉強時間の影響は、公立(0)に比べて私立(1)になると83点高くなります。言いたいところですが標準誤差が非常に大きく傾きが有意ではないため、学校種によって点数に違いがあるとは言えなさそうです。これは学校種をモデルに加えても、学校間分散や学校内分散に大きな変化がみられなかったことからも推測できます。-0.910まとめ今回はマルチレベル分析の必要性とその基本であるランダム化切片モデルをまとめました。マルチレベル分析は、説明変数の中心化や結果の解釈などが少し複雑ですが、適切な解析をするには必須の分析法になると思います。今回は扱わなかった、傾きにもランダム性を仮定したランダム切片傾きモデルや、複数のモデルから適切なモデルを選択する方法などもあるので、次回まとめていきます!www.medi-08-data-06.work※本記事は筆者が個人的に学んだことをまとめた記事なります。数学の記法や詳細な理論、筆者の勘違い等で誤りがあった際はご指摘頂けると幸いです。参考こちらの内容を参考にしました。マルチレベル分析の基礎から具体的な使い方がまとめてあり、とても分かりやすい内容になってます。単行本この商品を含むブログを見るこちらも同じくマルチレベル分析の方法について書かれていますが、今回扱った線形混合モデルに加え構造方程式モデルなども解説されていて、心理学、社会学をテーマにした内容になっています。はてなブログPro大学院で疫学統計を学んでいます。初心者目線から統計学、機械学習など学んだことをまとめていきます。medi_data0826スターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。