再帰関係式)は、各項がそれ以前の項の函数として定まるという意味で数列を再帰的に定める等式である。「差分方程式」という言葉を単に「漸化式」と同義なものとして扱うことも多い。x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}が挙げられる。このような単純な形の漸化式が、しばしば非常に複雑な(カオス的な)挙動を示すことがあり、このような現象についての研究は非線型解析学などと呼ばれる分野を形成している。関する非再帰的な函数として、一般項を表す閉じた形(英語版)の式を得ることをいう。いった無限個の式と同じである。二つの根を用いた閉じた式(英語版)が得られる。{t}{1-t-t^{2}}}}という有理式である。ついて定数となるものである。d-個の幾何数列の和として表される。例外は、それらの幾何数列の公比を与える方程式の根が重根を持つ場合である[1]。いう[2](ただし「ビネーの公式」という名称は、フィボナッチ数列の一般項を二つの冪数列の和として表す式の意味で用いられることのほうが多い)。持ち、それら初期値に対して一意に決定される。個の根が漸化式を満たす数列を求め、理解するのにきわめて重要な役割を果たす。有理母函数[編集]線型再帰列は、その母函数が有理函数となるような数列として特徴付けられる。母函数の分母は(適当な変換をうける違いを除いて)特性多項式であり、分子は初期値から決まる。\end{aligned}}}として表される。以降の係数を消去することができる。-c_{d}x^{d}}}}という母函数の有理式表示を得る。特性多項式を変換したもの(あるいは同じことだが、係数の順番を逆順にしたもの)である。なるように正規化してある。^{2}(a_{n}):=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}}で与えられる。^{k-1}(a_{n})}で帰納的に定義される。その各階の階差数列との間に成り立つ等式のことをいう。広い意味では「差分方程式」を「漸化式」と同義に用いる(たとえば有理差分方程式および線型差分方程式を参照)。線型漸化式は狭い意味での差分方程式であり、逆もいえる。それはこれらが単純かつ共通した形の再帰性をもつからであり、文献によっては両者を逆に呼んでいるものもある。3a_{n+2}=4a_{n+1}-8a_{n}}と同値である。よって、多くの漸化式は差分方程式として読み替えて解くことができるし、差分方程式ならば常微分方程式の解法と類似の手法で解くことができる。アッカーマン数などは差分方程式に直すことが非常に困難であり、微分方程式の観点から得られるものは少ない。このような微分方程式に対する微分方程式論の一意化については時間スケール微分積分学を参照せよ。微分方程式に対をなすように積分方程式が考えられるのと同様、差分方程式の対となる和分方程式が考えられる。上で定義される函数としての)数列について記述するものである。上で定まる概念であると理解することができる。考えることができる[3]。漸化式の解法[編集]一般的な方法[編集]一階の漸化式については特段の理論を要しない。与えられることに注意。特性多項式の根となるような漸化式の解となるという事実を用いて、機械的に求めることができる。方法としては直接、あるいは母函数(形式冪級数)、行列などを用いる。a_{n}=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}}という形の漸化式を考えよう。同じ形の解の一般形をもつのはどのようなときだろうか。ついて成り立たなければならないことがわかる。簡約することができる。これがこの漸化式の特性方程式である。これらの根は、特性方程式あるいは漸化式の特性根あるいは固有値として知られるものである。_{2}^{n}}が得られる。^{n}}が一般解を与える。選び方に依存して一意に決まり、これにより解がひとつに特定される。複素数値となるが)、三角函数を用いた形に書けば、複素数を使用しない形にすることができる。)}の形に書きなおせることが示せる[4]:576-585。{F}{G}}\end{aligned}}}で与えられるものである。δ)は初期条件から決まる実定数である。小さいこと、となることである。同値であることが示せる[5]。上記の例は定数項の無い斉次の場合であった。b_{n}=Ab_{n-1}+Bb_{n-2}+K\,}を考えよう。これは次のようにして斉次の場合に帰着することができる。{K}{1-A-B}}}と求められる。[b_{n}-b^{*}]=A[b_{n-1}-b^{*}]+B[b_{n-2}-b^{*}]}なる形の斉次漸化式に書き直すことができる(これは上述のように解くことができる)。n-階でもやはり有効であることに注意。小さい絶対値を持つことである。\\a_{d-1}\end{pmatrix}}}が成り立つ。_{d}^{n}b_{d}v_{d}}となることがわかる。行列を用いたこの記述は、本質的には既に述べた一般的方法となんらかわるものではないが、より簡潔である。{\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-b_{n-1}\\b_{n}=2a_{n-1}+b_{n-1}\end{cases}}}のような連立漸化式に対してもなお有効である。z-変換を用いて解くことができる。z-変換は積分変換の一種で代数的操作がしやすく、解がより容易に求まる。解が直接には、まったくというわけではないが不可能な場合でも、積分変換をうまく選べば容易に解けることもある。与えられた漸化式をおのおの満たす。亘って考えたものは、与えられた漸化式の任意の解を生成する。次の手順に従って解くことができる。根とその重複度を求める。これがもとの漸化式の一般解を与えるものとなる。