次1の180乗根...の他の累巡回拡大を探す固定する元が共通で巡回する写像を探す1の180乗根...を累巡回拡大で表すでは書籍Iに従って、中間体としてQ(ζ5)とQ(ζ45)を考えました。他拡大体で中間体として累巡回拡大を考えることができるでしょうか。固定する(自分自身に写像する)ことを言っています。6個あるとまとめたものが下表です。139となっていますね。この数をクリックすると、σ数を生成元としたときの巡回群が下部の表に入って、上の表の相当する数字の背景色が変わります。この拡大体のガロア群の元はζ30を固定します。面倒なことに、ζ2を固定するものもζ30を固定しますから、これも元になります。それが[追加固定要素]欄の+ζ2です。Q(ζ)に作用するQ(ζ30)の元を不変にする同型写像が、すべて自己同型写像になるとき、この自己同型写像群がガロア群です。これが今は巡回することを確認します。7の欄をクリックすると、<σ7>が表示され、相当する欄の背景色が変わります。これで固定する元全部を巡回していれば一番外側の拡大体の巡回する自己同型写像群の候補が見つかったということになります。[全体を巡回するか]の欄で軽く評価しています。クリックの結果と比較して確認してみてください。自己同型写像群の位数がどれだけかということですが、すでに経験のあるQ(ζ)/Q(ζ5)では4でした。これはQ(ζ)/Qが48で、Q(ζ5)/Qが12だったことから、48÷12=4ということだとわかります。Qを元にした拡大次数はφ(m)で出せますから、48/φ(m)で計算した値を表に加えておきました。「1の180乗根...を累巡回拡大で表す」にある「各拡大のガロア群の積がQ(ζ)/Qのガロア群を作ることの確認」でやったように、これを3段階にして、いろいろ組み合わせるようにしてみます。巡回群の組み合わせ固定するζの指数を選択すると対応する写像の一覧がでます。中のひとつを生成元に選択すると、生成される写像が一覧になります。固定する指数と生成元の組を3つまで選択できます。σku................................................3つの写像を掛け合わせて合成される写像。添字をmod180で見る)で出てきた元(添字だけ表示)の背景色が緑色になり、合成される写像の数が示されます。48個全部に緑色がついて、数が48になると成功です。背景色がつかない写像がある場合は、合成される写像の数が48であっても、Q(ζ)/Qの拡大で存在するはずの自己同型写像が全部出てこないということです。全部色がついても紫色になる場合は、合成される写像の数が48より多くなっているはずで、同じ変換が複数出てきたということになります。説明と考察Q(ζ)/Qの表示が、固定するζの指数を選択すると変化します。上で5を選択するとQ(ζ)/Q(ζ5)となります。次に2段目で45を選択すると、Q(ζ5)/Q(ζ45)となるように、当初は考えていたのですが、計算ででてくるものはもともとQ(ζ)/Q(ζ45)で考えたものであって、Q(ζ5)/Q(ζ45)ではありません。逆に最初に45を選択して、2段目で5を選択しても、その解釈は面倒になりますが、積は同じものになってしまいます。σの積は順序によりませんし、体の拡大も拡大の順序によりません。Qにζ45を加えてから、ζ5を加えるのは意味がありますが、逆にζ5のあとにζ45を加えるのは意味がありません。ζ45は(ζ5)5で表現できるからですが、にもかかわらず最終的にできるものがQ(ζ5)という点では同じだ、という所に手がかりがあるのかもしれません。いうことで、このプログラムではガロア拡大の表示は、全部Q(ζ)/Q(ζn)というようにしました。clearすると、Q(ζ)/Qに戻り、生成元の選択にはQ(ζ)/Qの全部の自己同型写像が表示されます。この写像のどれかから始めて全部が巡回群としてでてくれば、2段階目以降が必要ないわけです。なるように設計されています。3段全部を使う必要はありません。逆に4段という回答例もあるかもしれませんが、3段で累巡回拡大になっている例がわかっているので、3段までで止めました。自動で探せないかな結局いくつかの巡回群の積で全部の自己同型写像が1つずつ出せるならそれでよいということなので、プログラムを使って力技で見つけ出せそうですね。順一2018-09-23http://dabiyone.com/。