本の連立一次方程式が得られる。ついてもとの漸化式からえられる値に一致する)ことを確かめる。これは偶然の一致ではない。おける値であることがわかる。与えられた微分方程式は、この級数の係数の間に成り立つ線型漸化式を導く。この同値性は線型微分方程式の冪級数解の係数に対する漸化式を直ちに解くために利用できる。n(n-1)(n-m+1)f(n+k-m)}で与えられる。n(n-1)f(n+1)+3nf(n+2)-4f(n+3)-3nf(n+1)-f(n+2)+2f(n)=0}で与えられる。-4f(n+3)+2nf(n+2)+n(n-4)f(n+1)+2f(n)=0}となる。この例は非常に簡単に解くことができるふつうのクラスの微分方程式でも、冪級数解を用いた解法ではなんとも扱いづらいものとなってしまうことがあることを示すものとなっている。af(n+2)+bf(n+1)+cf(n)=0}となる。あることをみるのは易しい。非斉次漸化式の解法[編集]漸化式が非斉次の場合、特殊解は未定係数法で求めることができて、一般の解は対応する斉次漸化式の一般解と先ほど得た特殊解の和として得られる。a_{n+1}=a_{n}+1}を考える。これは非斉次の漸化式である。a_{n+2}=a_{n+1}+1}を得る。a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}}が得られる。これは斉次の漸化式であるから、既に述べた方法によって解くことができる。回適用することにより、この非斉次漸化式を斉次漸化式に帰着することができる。一般化超幾何級数(英語版)を使って解くことができる。その特殊な場合として、差分方程式から直交多項式系や特殊函数が解として現れてくる。M_{n}=M(n,b;z)}によって解ける。{aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}というような形をしている。非線型変換として書くことで解くことができる。関する線型差分方程式を解くのに、標準的な方法が使える。^{0}=0}を持つ。小さい絶対値を持つことである。x_{n}=f(x_{n-1})}を考える。|f'(x^{*})|<1}が成り立つことである。非線型漸化式は複数の不動点を持つことができ、ある不動点は局所安定だが別の不動点は局所安定でないということも起こりうることに注意。連続なら隣接するふたつの不動点がともに局所安定となることはできない。周期とするサイクルをもつこともありうる。|g'(x^{*})|<1}に従って局所安定となることである。ある有界領域に留まるが不動点にも吸引的サイクルにも収束しない。そのような方程式において任意の不動点やサイクルは不安定である。ロジスティック写像、二進変換(英語版)、テント写像なども参照。微分方程式との関連性[編集]常微分方程式を数値的に解く際には、典型的に漸化式が生じる。離散化の項に示されるような方法を用いて完全に解析的に離散化することができる。他分野での応用[編集]生物学[編集]最もよく知られた差分方程式のいくつかは、集団動態モデルの研究に起源を持つ。フィボナッチ数はうさぎの個体数の増加モデルとして使われたことがある。ロジスティック写像は人口増加モデルに直接使われたり、より詳しいモデルの雛形として使われたりする。この文脈でいくつかの差分方程式はしばしば、二者あるいはもっと多くの人口の相互作用モデルとして用いられる。N_{t}e^{-aP_{t}}\\P_{t+1}=N_{t}(1-e^{-aP_{t}})\end{cases}}}で与えられる。積分差分方程式は空間的な生態学の重要な漸化式を形成する。このような、あるいはもっと他の差分方程式は一化性動態のモデリンクに特に適している。デジタル信号処理[編集]デジタル信号処理では、漸化式はある時点の出力が新たな時点の入力となるシステムのフィードバックをモデル化することができる。デジタルフィルターなどを考えることができる。y_{t-T}}となる。どの程度の遅延信号を出力へフィードバックするかを制御するものである。^{2}y_{t-2T}}などが挙げられる。経済学[編集]漸化式、とくに線型漸化式は、理論経済学と実証経済学の双方にわたって広く用いられている[6]。)のモデルが展開されている。したがって、このモデルは、外生変数や遅延外生変数を使って(金利や実質GDPなどの)鍵となる変数の現在値に関して解かれる必要がある。時系列分析も参照されたい。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。