distribution」って言葉を間違えて使うよね,とは思うわけだけれど。正規分布≠「優が2割,良が....」ぢゃない,という点は当たり前。成績割合の配分なんて,別に正規分布でなくても,一様分布でも何でも,single-modalでもmulti-modalでも,作れる。「優が2割,,...」というのは,むしろ平均と分散をどう調整するかの話であって,分布の形の話ではない。はずなのに,そこを誤解している人が既に結構いるのは,どーしたもんか,と思ってしまう(うちにもいる)。分布の形の話については,いとうブログで引用されている先のところに書いてあるんだけど,この説明がびみょーに間違ってる気がしないでもない。(Identical)が落ちてるためだと思うんだけど。dependenceがあるのは確かだけれども,まぁさほど本質的ぢゃない)。試験問題の一問一問の回答相互間のdependenceはあっても全く問題ない。distributionを考えてみればすぐ分かる。特定の生徒の20個の設問の正答率には相互に相関があるけれど,でもこの場合には当然CLTは成立する。それじゃあ今度は,この正答率pがidenticalではなくて,生徒一人一人の能力が違うとしよう。すると,CLTが成り立たないことが分かる。p[i])}densityplot(grade)この結果を見て分かるように,出てきた成績は,元の正答率pの分布とよく似ていて,端をちょこっと丸めた感じになってることが分かる。すると,引用先のブログにある「もし全ての問題の正誤が100%相関するなら、その平均は単一の問題の得点分布に等しくなり、部分点が無ければ0点と100点に二本のスパイクが立つ分布になります」という部分は,問題間の正答率の相関が原因じゃなくて,そもそも生徒の能力が2種類しかない,という仮定に決定的に依存していることが分かる。これだけでは,何でmulti-modal(というか,よく見かけるのはbi-modal)な分布を現実によく見かけるんだろう?という点への説明にはなってない。ここのところはおそらく,問題の数の少なさ(もうちょっと言うと,難易度の段階の数)によるんじゃないかと思う。極端な例として,問題は2つしかなくて,その難易度が全然違うとしよう。distributionになるとしても,それを足しあわせた総合成績は,2つのnormalのmixtureになって,bimodalな分布になってしまう。bm1[i]+bm2[i]}densityplot(bm)こうしてみると,だいぶbimodalな分布に近くなってきた(今のところは,p~uniformにしているけれど,これをp~normalとかにしたら,もうちょっとbimodalなことがよく見えるはず)。distributionになってるんだよねぇ。processに複数の次元があることについて,混乱があるんじゃないかと。問題数という少なくとも3つの次元があって,a)については確かにasymptoteに逃げ込めるだけれど,b)とc)があるので,multi-modalに見えることが多いと。仮にb)についてnormalityを仮定できても,僕たち個人の教員が作る問題だと,どうしても設問数(より正確には難易度差は)限定されてしまうので(だって採点が大変だ),asymptoteの世界に行けない。逆に,設問が多くて難易度のvariationが豊富な場合だと,割とnormalityを使えるんぢゃないだろーか。