0である真空順位との接続点で、エッジモード(1D)が発現するエッジに流れる電流は通常の電流とは異なり、後方散乱が禁止された非散逸な電流で、一方通行にしか流れない。上は二次元系の例だが、バルクが三次元系であればエッジモードは物質の表面になるし、一次元系であれば点になる。トポロジーが発現する代表例の一つだ。フォトニック結晶とトポロジーさて、固体物理におけるトポロジーの議論はまだまだあるのだが、今回は古典系でのトポロジーがテーマなので、早速紹介していきたいと思う。フォトニック結晶とはフォトニック結晶は、屈折率の異なる物質で作った人工的な周期構造で、複雑な過程で光学材料を積み上げたり、あるいはスパッタで製造されたりしている。上:1,2,3次元フォトニック結晶。異なる屈折率を持つ光学材料の周期構造になっている。下:フォトニック結晶におけるバンドギャップ。フォトニック結晶でも、固体中の電子の状態の議論を光の状態に関してアナロジーさせることができる。鏡は特定の周波数帯の光を反射し、そのその周波数体の光は内部を透過できないわけだが、フォトニック結晶では、これを”周波数ギャップ”とする。上の1Dフォトニック結晶の図で示されるように、フォトニック結晶の周期構造が入射光の波長程度であり、入射光の周波数がバンドギャップ内にある場合は、各ユニットで反射された光は強めあい、光は透過できない。その一方、入射光の周波数がバンドギャップ内にない場合は、各ユニットで反射された光は打ち消しあい定在波をうむため、結果として光は結晶内を透過する。このような考え方で、フォトニック結晶においても、固体と同様にバンド計算が適応されてきた。古典電磁気学のマクスウェル方程式を周期構造の記述方式であるブロッホ状態の標識を用いて書き直すことで、フォトニック結晶にトポロジーの概念を持ち込んだ[3]。当初の論文では磁気光学結晶をモデルとして、誘電率・透磁率テンソルが時間反転に対し非対称であることを利用している。最初にフォトニック結晶においてエッジモードが観測された研究では、鉄のロッドを用いた周期構造にて非散逸な光の伝導が報告されている[4]。その後磁気光学結晶でなくてもトポロジーが定義されることが発表され、二種類の副格子を持った変調共振器で、変調の位相がゲージ場のようなはたらきをすることが報告されている[5]。導入した研究もある[6]。電気回路におけるトポロジー2018年、LC回路でトポロジカル絶縁体を再現できるという研究が発表され[11]、界隈を賑わせている。アイデアの起源このアイデアの元になっているのは、ダイポールがベリー位相(トポロジカルナンバーの導出で重要になる数学的概念)で記述できるという、分極の現代理論である。Scienceに掲載された論文で、分極の現代理論を応用して四分極子を記述することで、Higher-orderのトポロジカル絶縁体が記述できることが発表された[10]。図のγとλで表現されている、二種類の結合定数の比を変えていくことで状態が変化することがわかった。γがλより大きいときは、物体内部は絶縁体で、エッジにだけ電荷が現れる。一方で、γがλより大きくなると、四隅にあった電荷は消え、ただの絶縁体になってしまうのだ。計算によると、後者の場合はただの絶縁体であるのに対して、前者の場合はトポロジカルナンバーが有限の値になり、系は”Higher-order”なトポロジカル絶縁体になる(バルクが二次元であるのに対して、一次元の線ではなく零次元の点としてのエッジモードが現れる)。回路でのモデルの再現このモデルをそのまま回路に落とし込んだという研究では、実際エッジにて局在した周波数モードが観測されている[11]。(INIC)というオペアンプ(簡単に言うと、実行的に+Rと-Rの抵抗を並べ、ネガティプ・ポジティブフィードバックをかけるような素子)を用いて、時間反転対称性を破ることができるという提唱がされている[12]。最近の理論の研究では、トポロジカル超伝導状態や量子演算回路までも作れるなどといった大胆な提唱もある[16-17]。mechanics以前から、ポリアセチレン(炭素結合した単純な周期構造を持つ分子)がソリトン(電子の特殊な局在状態)を持つ系であるという議論は知られてきた[8]。lattice”に分類される。マクスウェル関係式と呼ばれる結晶の単位構造での安定性を表す関係式を満たす構造のことで、二次元では正方格子やカゴメ格子、三次元ではパイロクロア構造などが該当する[7]。各サイトでの結合が安定と不安定の境界になっていて、少しの変形で系の特性が大きくかわったりする。モードと、拘束のないゼロモードが同数存在する、というルールがある[7]。ポリアセチレンの例で考えると、例えば下のように周期構造を変形し、電子が動けないような場所を作ることで、両端にゼロモードが現れる[9]。トポロジーの力学への応用として、こうしたエッジモードをベリー位相の概念で記述し直すという取り組みがある。いう流体の公式を書き直すことでトポロジーの概念の導入が試みられている。実験系としては、適切な周期構造・対称性を持ったノードを配置するという考え方は同様で、それらを粘性の異なる流体で満たし、右回転・左回転の流れを導入することで対称性を再現している[13]。した系を設計することで、音が決まった方向にしか伝わらない、という実験なされている。様々な古典系に応用できることがわかってきている。数学的概念を、様々な系に対しどのようにマップするかということが、こういった新たな発見の要であると思う。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。Searchブログランキング参加中です。