はじめにベイズBPM計測器は、曲に合わせて手動でスペースキーを押すとBPMを測定してくれるツールです。今日は、スペースキーが押された時刻から、ベイズの定理を用いてBPMを推定する方法について考えたいと思います。観測データまず、スペースキーが入力された時刻を(ミリ秒)とし、スペースキーが入力された時刻の間隔をと定義します。割る、という方法があります。この方法では、最初のキー入力と最後のキー入力以外の時刻が計算結果に影響していません。これは得られた情報を最大限に利用してBPM推定するアルゴリズムとは考えづらいと予想できます。拍目の時刻はとなります。事前分布として一様分布を取る場合を考えます。120の曲が与えられる確率がどれも等しいということを意味します。これは、ある程度妥当な仮定だと考えられます。回目のキーが入力される確率は次のように表されます。固定して考えてみましょう。この場合、0、1、2、3拍目の時刻はそれぞれとなります。0、1、2、3回目のキーが入力される確率はそれぞれ次のように表されます。実際に観測されたキー入力の時刻は、次のように表されます。用いて次のように表すことができます。値が与えられた場合にこの実現値が観測される確率密度関数はと表すことができます。一様な値を取る分布とすると、このことは次のような式で表すことが出来ます。観測される確率は、次のように計算できます。関して期待値を取れば、1拍の長さの推定値が得られることになります。期待値を計算すると、次のようになります。計算していきましょう。積ですが、前者はとなるので、ゴリゴリと計算すると次のようになります。(一部で途中式を省略しています)ただしCは定数となります。ここではまだCは計算しません。上の計算とほぼ一緒なので簡単です。近づけると次のようになります。ここで分子は正規分布の期待値なので、簡単に求められます。分母はガウス関数の積分公式より次のようになります。従って、これらを代入するととなります。仮定しましたので、求める1拍の長さの期待値はこの2倍となります。これは、1拍目と2拍目の間隔と、2拍目と3拍目の間隔と、3拍目と4拍目の間隔を、3:4:3で混合した値となっていることがわかります。Nの値が一般の場合Nの値が一般の場合は、同様に計算すると、次のようになります。同値ですが、次のように表すこともできます。係数の具体的な値は次のようになります。6完成品できたものはこちらに置いてあります。https://t.co/81EDvpWgik記事を投稿しました。A(X)について」です。