domain)という。零環とは、1=0である環R、即ちR={0}のことである。例:整数環、多項式環が整域である。可換環の定義と整域の定義を組み合わせると次がすぐ言える。†[定義]既約元、素元R:整域a(∈R):可逆元(単元)でも0でもない元とする。element)という。a|c」という条件を満足するとき、aをRの素元という。[定義]同伴R:整域a,b∈Rとする。互いに同伴な元は整除に関する振る舞いを共にする。†[定理]素元は既約元である。ここで、a|bとする。cが単元であるので、aは既約元。†[定理]整域Rでは消去律が成り立つ。「a・c=b・c∧c≠0」⇒「a=b」[証明]仮定のa・c=b・cより、(a-b)・c=0が成り立つ。ここでRは整域であるから、0と異なる零因子はない。c≠0より、a-b=0になるほかない。□[定理]整域Rが次の性質を満たせば一意分解整域である。(i)0でも単元でもない元は既約分解を持つ。(ii)既約元は素元である。可換環Rの標数(characteristic)とは、n・1=1+...+1=0を満たす最小の自然数のことである。そのようなnが存在しないとき、標数は0と定義する。Rの標数の記号をchar(R)で表す。例1:char(Z)=0Zは循環していないから。例2:char(Zp)=p[定理]char(R)=n(>0)とする。このとき、「m・1=0」⇔「mはnの倍数」。0≦b<n仮定より、0=na+bとなり、na=-bが成り立つ。n|bしかし、0≦b<nとn|bは矛盾。よって、b=0となり、m=na。n|m[2]←を示す仮定よりn|mこのとき、m・1≠0と仮定して矛盾を導く。n)矛盾□[定理]整域Rの標数は0か素数である。[証明]char(R)=n(>0)とし、nを合成数n=n'n’’(n'>1,n''>1)と仮定する。(∵Rは整域)これはnが標数であることに矛盾する。†[定理]可換体は整域である。[証明]体F∋a,bに対して、ab=0とする。要するにab=0∧a≠0ならば、必ずb=0になってしまい、a,bは零因子にならない。□この定理の逆は必ずしも成り立たない。例1:整数Zは整域であるが、体ではない。Zは加法と乗法が定義されている。Zは加法に関して群になっている。乗法に関する結合律と分配法則は成立し、1(∈Z)が乗法の単位元である。乗法は可換であるから、Zは可換環になる。任意の整数m,n(∈Z)について、「m≠0∧n≠0⇒mn≠0」である。n=0」である(Zは0と異なる零因子を持たない)。よって、Zは整域である。例2:Q,R,Cは整域であり、体でもある。よって、a・a-1=1より、Qの0以外の元は可逆元である。よって、Qは体である。R,Cについても同様である。可換環であり、nが素数のとき整域にもなる[1]。[1]n=4のときは可換環であるが、2・2=0より、2は零因子となる。[2]n=5のときは整域であり、さらに体にもなっている。乗法に関して群になるからである。次のように元の個数に制限がある場合は、逆が成り立つ。[定理]有限個の元からなる整域は可換体である。一意分解整域(4978d)。