対戦競技におけるプレイヤーの実力を表す指標をレーティングと呼びます。対戦競技には相手がいるため、レーティングは実際の対戦結果から決定すべきです。イロ・レーティングシステムは1対1の対戦競技におけるレーティング決定ルールであり、チェスや将棋、囲碁、アメフト、サッカー、テニスなどの様々な対戦競技において採用されています。>ビュッフォンの針:床に針を繰り返し落として円周率を求めるレーティング対戦競技におけるプレイヤーの実力を表す指標をレーティング(rating)と呼びます。対戦競技には相手がいるため、プレイヤーの実力は絶対的なものではなく、他のプレイヤーとの比較の中で決まります。したがって、対戦競技におけるプレイヤーのレーティングは、他のプレイヤーとの対戦結果から決定するのがもっともらしいと言えます。強い相手に勝てば多くのスコアを獲得できるが、それほど強くない相手に勝ってもそれほどスコアを稼げない、そのような基準にもとづいてレーティングを決定するということです。イロ・レーティングはもともとチェスの実力を表すために考案されたものですが、現在では将棋や囲碁、アメフトやサッカー、テニスなどの様々な対戦競技において採用されています。イロ・レーティングについて解説する前に、まずは私たちにとってなじみ深い勝率の概念について復習しましょう。score)と呼びます。プレイヤー\(1\)がプレイヤー\(2\)と対戦したときの期待勝率を\(e_{12}\)で表すことにします。引き分けのない競技においてプレイヤー\(1,2\)が対戦したとき、プレイヤー\(1\)が\(75\%\)の確率で勝ち、\(25\%\)の確率で負けるならば、このことを、\begin{equation*}e_{12}=0.75\end{equation*}で表すということです。同じことをプレイヤー\(2\)の立場から考えると、\begin{equation*}e_{21}=0.25\end{equation*}となり、両者の間には、\begin{equation*}e_{12}+e_{21}=1\end{equation*}という関係が成り立ちます。あるプレイヤーが他のプレイヤーと対戦した時に、自分の期待勝率が相手の期待勝率の何倍であるかを表す指標をオッズ(odds)と呼びます。上の例では、プレイヤー\(1\)が勝利するオッズは、\begin{equation*}o_{12}=\frac{e_{12}}{e_{21}}=3\end{equation*}となります。プレイヤー\(1\)の期待勝率はプレイヤー\(2\)の期待勝率の\(3\)倍であるとうことです。o_{21}=1\end{equation*}という関係が成り立ちます。引き分けが起こり得る競技の場合には、引き分けになる確率の半分をプレイヤーの期待勝率に加算することとします。引き分けは勝ちの半分とみなすということです。このルールのもとでは、プレイヤー\(1,2\)が対戦したときにプレイヤー\(1\)が\(50\%\)の確率で勝ち、\(20\%\)の確率で負け、\(30\%\)の確率で引き分けになることを、\begin{equation*}e_{12}=0.5+\frac{0.3}{2}=0.65\end{equation*}で表します。同じことをプレイヤー\(2\)の立場から考えると、\begin{equation*}e_{21}=0.2+\frac{0.3}{2}=0.35\end{equation*}となり、両者の間には、\begin{equation*}e_{12}+e_{21}=1\end{equation*}という関係が成り立ちます。この場合にもオッズを先ほどと同様に定義します。人を任意に選び、彼らをそれぞれ\(1,2,3\)と呼ぶこととします。\tag{1}\end{equation}という関係が成り立つものとします。プレイヤー\(1\)のプレイヤー\(2\)に対する期待勝率は、プレイヤー\(2\)のプレイヤー\(1\)に対する期待勝率の\(10\)倍であるということです。\tag{2}\end{equation}という関係が成り立つものとします。プレイヤー\(2\)のプレイヤー\(3\)に対する期待勝率は、プレイヤー\(3\)のプレイヤー\(2\)に対する期待勝率の\(10\)倍であるということです。残された組み合わせであるプレイヤー\(1\)とプレイヤー\(3\)が対戦する場合にはどうなるでしょうか。図1:期待勝率に関する仮定つまり、プレイヤー\(1,2,3\)について、\(1\)の\(2\)に対するオッズが\(10\)(\(1\)の\(2\)に対する勝率は\(2\)の\(1\)に対する勝率の\(10\)倍)で、\(2\)の\(3\)に対するオッズが\(10\)(\(2\)の\(3\)に対する勝率は\(3\)の\(2\)に対する勝率の\(10\)倍)であるとき、\(1\)の\(3\)に対するオッズを両者の積に相当する\(100\)(\(1\)の\(3\)に対する勝率は\(3\)の\(1\)に対する勝率の\(100\)倍)と定めるということです。現実にはプレイヤーの相性があるためこのような綺麗な関係は成立するとは限りませんが、イロ・レーティングシステムにおいては便宜的にこのような関係を仮定します。人のプレイヤー\(i,j\)を任意に選んだとき、期待勝率\(e_{ij}\)やオッズ\(o_{ij}\)を通じて両者の実力関係を常に把握することができます。レーティングの発想は、それぞれのプレイヤー\(i\)に固有の数値\(r_{i}\)を割り当てた上で、この数値の大小によってプレイヤー間の実力関係を把握する、というものです。期待勝率やオッズからレーティングを導出するためにはどうすればよいでしょうか。イロ・レーティングシステムでは以下のルールを採用します。ルール(イロ・レーティング)任意のプレイヤー\(i,j\)について、\(i\)の\(j\)に対するオッズ\(o_{ij}\)が\(10\)であることと、\(i\)のレーティング\(r_{i}\)と\(j\)のレーティング\(r_{j}\)の差が\(400\)であることを同義と定める。r_{i}-r_{j}=400\end{equation*}という関係が成り立つものとする。\tag{2}\end{eqnarray}が成り立つものとします。\tag{3}\end{equation}が成り立つのでした。2\right)\end{equation*}となります。\)だけ加算されています。\)だけ加算されています。強いプレイヤーについて同様に考えることで導かれる結論は、一般的に、期待勝率が\(10^{x}\)倍になるとレーティングは\(400x\)だけ加算されるということです。したがって、基準となるプレイヤーのレーティングを決めれば、あとは期待勝率もしくはオッズからすべてのプレイヤーのレーティングを導くことができます。レーティングから期待勝率ないしオッズを予測する前節では期待勝率もしくはオッズからレーティングを導出する方法を解説しましたが、逆に、レーティングから期待勝率もしくはオッズを予想することもできます。繰り返しになりますが、一般に、期待勝率が\(10^{x}\)倍になるとレーティングは\(400x\)だけ加算されます。任意のプレイヤー\(i,j\)について、\(i\)の\(j\)に対する期待勝率\(e_{ij}\)が\(j\)の\(i\)に対する期待勝率\(e_{ji}\)の\(10^{x}\)倍であることは、\(i\)のレーティング\(r_{i}\)と\(j\)のレーティング\(r_{j}\)の差が\(400x\)であることと同義です。r_{i}-r_{j}=400x\end{equation*}という関係が成り立つということです。ここから、\begin{equation*}\frac{e_{ij}}{e_{ji}}=10^{\frac{r_{i}-r_{j}}{400}}\end{equation*}を得ます。e_{ij}=10^{\frac{r_{i}-r_{j}}{400}}\end{equation*}となります。\\&=&\frac{1}{1+10^{\frac{r_{j}-r_{i}}{400}}}\end{eqnarray*}を得ます。したがって、プレイヤー\(i,j\)のレーティング\(r_{i},r_{j}\)から上の関係を通じて期待勝率\(e_{ij}\)を予想することができます。ちなみに、プレイヤー\(i,j\)のレーティングが等しい場合には、すなわち、\(r_{i}=r_{j}\)が成り立つ場合には、上の関係より、\begin{equation*}e_{ij}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\end{equation*}となります。レーティングが等しいプレイヤーどうしが対戦すると勝率は五分五分になります。これはもっともらしい予測です。前節ではレーティングから期待勝率を予測する方法を解説しましたが、その際にプレイヤーのレーティングは与えられているという仮定のもとで話を進めました。そもそもレーティングをどのように求めればよいのでしょうか。対戦競技におけるレーティングは実際の対戦結果を反映する形で決定すべきですが、実際にプレイヤーたちが対戦を行う中で、レーティングをどのように決めていけばよいのでしょうか。レーティングシステムを導入した直後にはデータがないため、それぞれのプレイヤー\(i\)のレーティング\(r_{i}\)を適当に決めることになります。そこから、先に解説した方法により、任意の対戦相手\(j\)に対する期待勝率\(e_{ij}\)を求めることができます。i\text{が負けた場合}\end{array}\right.\end{equation*}で表します。g_{ij}-e_{ij}\right)\end{equation*}に更新します。\(K\)は定数です。\)だけ増やし、負けた場合(\(g_{ij}=0\))には\(-Ke_{ij}\)だけ減らします。\)だけ変化させます。プレイヤー\(i\)の期待勝率\(e_{ij}\)は相手プレイヤー\(j\)が強いほど小さくなるため、強い相手に勝てばレーティングは大きく増える一方で、強い相手に負けてもレーティングはそれほど減りません。逆に、弱い相手に勝ってもレーティングはそれほど増えませんが、弱い相手に負ければレーティングは大きく減少します。定数\(K\)の値が大きいほどレーティングの変動は大きくなり、逆に\(K\)の値が小さいほどレーティングの変動は小さくなります。>ビュッフォンの針:床に針を繰り返し落として円周率を求めるワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。