}\)の混合ナッシュ均衡であるための必要十分条件である。ナッシュ均衡と不動点の関係について復習するここまでが復習です。\)が角谷の不動点定理が要求する条件をすべて満たすのであれば、角谷の不動点定理を適用することにより、ナッシュの定理を証明したことになります。上半連続性を満たすことを示すことに成功すれば目標を達成したことになります。以下ではこれらを順番に証明します。有限な戦略型ゲームの混合拡張において、任意のプレイヤーは少なくとも1つの混合戦略を持ちます。有限なゲームにおいて任意のプレイヤーは有限個の純戦略を持ちますが、純戦略は特別な混合戦略でもあることから、この主張の正しさは自明です。\)は非空集合である。証明を見る(プレミアム会員限定)一般に、非空集合どうしの直積もまた非空集合です。したがって、上の命題から以下が導かれます。\)は非空集合である。すべてのプレイヤーが有限個の純戦略を持っている場合には、すべてのプレイヤーは少なくとも1つの混合戦略を持っていることになるため、すべてのプレイヤーの混合戦略の組が少なくとも1つ存在するということです。有限な戦略型ゲームの混合拡張において、任意のプレイヤーの混合戦略集合はユークリッド空間上のコンパクト集合になります。\)はコンパクト集合である。証明を見る(プレミアム会員限定)一般に、コンパクト集合どうしの直積もまたコンパクト集合です。したがって、上の命題から以下が導かれます。\)はコンパクト集合である。続いて、プレイヤーの混合戦略集合がユークリッド空間上の凸集合になることを示しますが、その前にこの性質の意味を確認します。X\end{equation*}が成り立つことを意味します。つの点を任意に選んだとき、それらを任意の割合で混ぜて得られる新たな点もまた\(X\)の点になるということです。凸集合の定義を踏まえた上で、混合戦略集合が凸集合であることの意味について考えましょう。つの純戦略を持つ場合を想定します。1\right\}\end{equation*}と定義されます。