\frac{11}{24},\frac{13}{24}\right)\end{equation*}となりますが、これは確率分布としての要件を満たしているため混合戦略です。つの混合戦略を任意に選び、それらを任意の割合で混ぜても同じ議論が成り立つことを意味します。有限な戦略型ゲームの混合拡張においてプレイヤーの混合戦略集合が凸集合になることは、プレイヤーが任意の有限個の純戦略を持つ場合にも上と同様の議論が成り立つことを意味します。任意に選び、それらを任意の割合で混ぜると、得られるものもまた混合戦略になるということです。証明を見る(プレミアム会員限定)一般に、非空な集合どうしの直積もまた凸集合になります。したがって、上の命題から以下が導かれます。\)が非空値をとることを示します。有限な戦略型ゲームにおいてプレイヤーたちが混合戦略を採用するとき、任意のプレイヤーは、他のプレイヤーたちの混合戦略の組に対する最適戦略を必ず持つということです。_{-i})\}\end{equation*}です。_{-i})\not=0\)となり、目標を達成したことになります。そこで以下の命題を利用します。\mathbb{R}\)は\(X\)において最大値をとる。_{i}\)に関する関数です。_{i}\)に関して連続であることを示せば最大値・最小値の原理が適用可能となります。\mathbb{R}\)をとる。\mathbb{R}\)は連続である。証明を見る(プレミアム会員限定)以上の諸命題より、それぞれのプレイヤーの混合最適反応が非空値をとることが示されました。一般に、非空集合どうしの直積もまた非空集合です。したがって、上の命題から以下が導かれます。\)が凸値をとることを示します。\)は凸集合になるという主張です。証明を見る(プレミアム会員限定)一般に、凸集合どうしの直積もまた凸集合です。したがって、上の命題から以下が導かれます。最後に、プレイヤーたちの混合最適反応対応の直積が上半連続であることを示します。\)は上半連続性を満たす。証明を見る(プレミアム会員限定)以上で角谷の不動点定理が要求するすべての条件が成り立つことが示されたため、ナッシュの定理の証明が完了しました。次回からはナッシュ均衡の性質や正当性などに関する議論を行います。>ナッシュ均衡は唯一の均衡概念ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するためにはログインが必要ですログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。