可算集合の部分集合が無限集合であるならば、それもまた可算集合です。したがって、高々可算集合の部分集合は高々可算集合です。\(X\)の真部分集合\(Y\)を任意に選びます。X\)かつ\(Y\not=X\)です。このとき、\(Y\)の要素の個数は\(X\)の要素の個数よりも少ないため、\(\#Y=\#X\)は成り立ちません。\(X\)が可算集合である場合にはどうでしょうか。可算集合\(X\)の真部分集合\(Y\)が有限集合である場合には、やはり\(\#Y=\#X\)は成り立ちません。可算集合\(X\)の真部分集合\(Y\)が無限集合である場合、有限集合の場合の延長線上で考えてしまうと\(\#Y\not=\#X\)となりそうですが、実際には、両者は等しい濃度を持ちます。有限集合においては起こり得ない不思議な現象です。可算集合\(X\)が与えられたとき、その部分集合\(Y\)を任意に選びます。\(Y\)は無限集合です。\\&&\vdots\end{eqnarray*}ということです。Y\)を構成すれば、これは全単射となります(演習問題にします)。したがって、\(Y\)もまた可算集合です。命題(可算集合の無限部分集合)可算集合\(X\)の部分集合\(Y\)を任意に選ぶ。このとき、\(Y\)が無限集合であるならば、\(Y\)もまた可算集合である。証明を見る(プレミアム会員限定)上の命題の活用例をいくつか紹介します。\mathbb{N}\}\end{equation*}が可算集合であることはすでに示した通りです。\)の無限部分集合であるため、上の命題からも\(E\)が可算集合であることを確認できます。\mathbb{N}\}\end{equation*}が可算集合であることはすでに示した通りです。\)の無限部分集合であるため、上の命題からも\(O\)が可算集合であることを確認できます。\mathbb{N}\right\}\end{equation*}は可算集合です。証明の方針は以下の通りです。_{++}\)と対等です。_{++}\)が成り立ちます。\mathbb{N}\)が成り立ちます。\mathbb{N}\)が成り立ちます。\mathbb{N}\right\}\end{equation*}は可算集合です。_{-}\)が成り立ちます。\mathbb{N}\)が成り立ちます。復習になりますが、有限集合と可算集合を総称して高々可算集合と呼びます。可算集合\(X\)の部分集合\(Y\)は有限集合と無限集合のどちらか一方です。\(Y\)が有限集合である場合には、\(Y\)は高々可算集合であると言えます。\(Y\)が無限集合である場合には、上の命題より、\(Y\)は可算集合です。したがって以下の命題が成り立ちます。系(可算集合の部分集合)可算集合\(X\)の部分集合\(Y\)を任意に選ぶ。このとき、\(Y\)は高々可算集合である。上の命題と、有限集合の部分集合が有限集合であることを踏まえると、以下の命題を得ます。系(高々可算集合の部分集合)高々可算集合\(X\)の部分集合\(Y\)を任意に選ぶ。このとき、\(Y\)は高々可算集合である。次回は可算集合の和集合について学びます。>可算集合の和集合ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。