同型写像であるということが上の定理を使って示すことができる。次にiiiが成り立っているとするときにiが成り立つことを示す。共役空間なのでそのノルムは次のように書くことができる。よってよってこれはiの条件である。よってiiiが成り立つときはiが成り立つ。以上からi,ii,iiiは互いに等しい命題であることがわかる。それぞれHirbert空間とする。それぞれ次のような有界双線形関数であるとする。次の制約条件の下で解くこのような制約条件つきの変分問題の代表的な解法としてLagrange未定乗数法が挙げられる。Lagrange未定乗数法を使うとこの問題は次のような関数の極値問題に対応づけることができる。解である場合に次の関係を満たす(実際は最初の不等号は等号である)これがこのタイプの問題が鞍点型と呼ばれる所以である。極値であるということは以下を満たすことに等しい。上の方程式の解が一意に存在して安定であることを調べてみる。有界)になるためには以下のiとiiが必要十分条件である。