旅人算(出会い算・追いつき算)を詳しく解説します速度の文章問題の解き方の解説はじめに私は算数の専門家でも何でもありませんが、息子に算数を教えたり、質問サイトで回答者をやっていたり、もしくは趣味で問題を解いたりしていて、相当数の問題を解いています。そんな中で身に付けている知識を以下に記します。何回かに分けて「速度の文章問題の解き方」を解説している内の(「速度の文章問題の解き方の解説」というカテゴリー)、今回は2回目となります。旅人算(出会い算・追いつき算)に関して詳しく解説します。速度に関する基本的な計算に関しては深く理解出来ている前提となります。その部分の解説に関しては第1回記事(コチラ)に記しています。算数の領域では「速度」ではなく「速さ」と言うのかも知れませんが(詳しくは分かりません)、普段は使わない言葉なので、普段から使用している「速度」という文言を使用しています。例題.家から学校まで900mあります。兄は家から学校へ向けて、弟は学校から家へ向けて同時に出発しました。兄は分速90mで、弟は分速60mで歩きます。2人が出会うのは出発してから何分後ですか。線分図を書くと以下の通りです。兄--→←-弟2人は900m離れていて、同じ時間内に兄のほうが弟よりも多く歩き、かつ2人の歩いた距離の合計が900mであることを表しています。従って2人の合計は分速90m×□分+分速60m×□分カッコでくくって書き直すと(分速90m+分速60m)×□分となります。最後の式は「2人合わせた速度の和×時間」という風に最初から考えていきなりこの式を立てても構いません。(答え)と算出されます。慣れてくると最後に答えを算出している式のみを書くようになると思います。難度の高い文章問題へ向けては次に述べるような思考方法は必須であると感じています。進む距離は速度に比例しますので、2人が進んだ距離の比は兄:弟=90:60=3:2と分かります。(答え)と分かり、これが答えとなります。(答え)と同じ答えが導かれます。このような思考方法が難度の高い文章問題に向けては必須である点に関しては、後半で述べたいと思います。以上が「出会い算」の基本となります。例題.弟が家を出てから5分後に兄が家を出発し追いかけました。弟は分速60mで、兄は分速90mで歩きます。兄が弟に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか。線分図を書くと以下の通りです。弟が「-→」の部分だけ先に歩き、その後に兄が出発して、トータルでは2人とも同じ距離を歩いたことを表しています。家から追いついた地点までに2人が歩く距離は等しくなります。弟が先に1人で歩いた「-→」の部分の距離は分速60m×5分=300mなので、兄はこの距離を2人の速度の差で詰めることになります。(答え)に2人の差はゼロになり、すなわち兄が弟に追い付くと分かります。出会い算の時と同様に、比を使った解き方も記します。弟の「---→」の距離の比は速度比より兄:弟=90:60=3:2と分かります。従って先に弟だけ歩いていた「-→」の部分はこの比の数値で言えば3-2=1と分かります。これが先述の計算より300mである訳ですから、兄が歩いた距離は300m×3倍=900mと分かります。(答え)と同じ答えが出ます。分速60m×(先行5分+同時10分)=900mとなり、兄の歩いた距離と一致しています。以上が「追いつき算」の基本となります。難度の高めの問題を実際に解いてみるあまりに難しいものはやめますが、「公式に当てはめる」とか「パターンを丸覚え」などでは到底太刀打ち出来ないような問題をいくつか実際に解いてみます。自分で問題を作って自分で解いても自作自演のようで意味が無いので、質問サイトの過去ログから問題を引用して解いていきたいと思います。上で解説した内容は理解されているという前提で、線分図などは適度に端折って解答を記しています。例題1池を一周するのにAは8分、Bは7分かかります。同じ所から反対の向きに歩き始めました。二人が出会うのは何分何秒後ですか。子供(小6)の宿題ですが割合を使って解くそうです。解答(解説)さっそくですが、この問題は距離も速度も登場しない問題となります。・従って歩く時間はA=8分×7/15=56/15分=3と11/15分=3分44秒(答え)B=7分×8/15=56/15分=3と11/15分=3分44秒(答え)※最後の答えはA、Bどちらか1つで構わなくて、もう片方は検算となります。例題220分おきに電車が走っている線路に平行した道路で、自転車が時速12kmで走っています。この自転車は反対方向から16分おきに電車とすれちがっています。電車の速さは時速何kmですか。解答(解説)引用元の回答はいずれも方程式を使用していますが、ここではあくまで「算数」として解きます。・仮に自転車の人が立ち止まっていれば電車とは20分おきにすれ違う。・しかし実際には16分おきにすれ違うということは、電車の速度に自転車の速度である時速12kmを加えると、速度が20/16=5/4倍となると分かる。同じ方向にまわると30分後にAがBをちょうど一周追い抜く。A、B二人の歩く速さは、それぞれ毎時何kmか。解答(解説)記述をすっきりさせる為にそれぞれの速度をA、Bという文字で記しますが、方程式(式の変形や値の代入など)は使用しておらず、あくまで「算数」の範疇の解き方となります。O.K.おわりに今回は本シリーズの第2回でしたが、暫くは引き続き本シリーズを更新する予定です。(1)はてなブログをはじめよう!t-kazu-tさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。