項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく数列をコーシー列と呼びます。コーシー列の概念を厳密に定義した上で、コーシー列と収束列の関係を議論します。数列がコーシー列であるための判定条件について解説します。sequence)などと呼びます。コーシー列とは項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく数列です。したがって、数直線上にコーシー列の各項を描画していくとそのうち動かなくなり、ほとんど重なっていきます。そのようなこともありコーシー列はいかにも収束しそうですが、実際のところはどうでしょうか。後ほどコーシー列と収束列の関係を議論します。例(コーシー列)一般項が\(x_{n}=\frac{1}{2^{n}}\)で与えられる数式\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であることを示します。\end{equation}を示すことです。\)の結論の式を変形してみます。\frac{1}{2^{N-1}}\tag{2}\end{equation}となります。\)が成り立つことが示されました。例(コーシー列)一般項が\(x_{n}=\frac{1}{n^{2}}\)で与えられる数式\(\{x_{n}\}\)がコーシー列であることを示します。\end{equation}を示すことです。\)の結論の式を変形してみます。\frac{2}{N}\tag{2}\end{equation}となります。\)が成り立つことが示されました。\right)\end{equation*}が成り立つことを意味します。つの項\(x_{m},x_{n}\)が存在するということです。例(コーシー列)一般項が\(x_{n}=n\)で与えられる数式\(\{x_{n}\}\)について考えます。\)と\(1\)ずつ増えていくため、番号\(n\)がいくら大きくなっても隣り合う項の差は\(1\)のままで一定です。したがって、この数列\(\{x_{n}\}\)はコーシー列ではないことが予想されますが、そのことを厳密に証明します。\mathbb{N}\)を選び、さらに\(m=N+1\)かつ\(n=N+2\)とします。=1\end{eqnarray*}となるため、やはり\(\{x_{n}\}\)はコーシー列ではありません。^{n}\)で与えられる数式\(\{x_{n}\}\)について考えます。\)と振動し、番号\(n\)がいくら大きくなっても隣り合う項の差は\(2\)のままで一定です。したがって、この数列\(\{x_{n}\}\)はコーシー列ではないことが予想されますが、そのことを厳密に証明します。N\)を満たす偶数\(m\)と奇数\(n=N+1\)をそれぞれ選びます。=1\end{eqnarray*}となるため、やはり\(\{x_{n}\}\)はコーシー列ではありません。コーシー列であることの判定条件コーシー列の定義に照らし合わせて数列がコーシー列であることを示すのはやや面倒です。扱いやすい判定条件はないでしょうか。\tag{1}\end{equation}を満たすものとします。<1\)を満たす実数です。\end{equation}が成り立ちます。\end{equation}が成り立つことを示します。=0\)で明らかに成り立つため、以降では\(m\not=n\)の場合について考えます。\(m>n\)としても一般性は失われません。\)の結論の式を変形してみます。x_{2}-x_{1}\right\vert\tag{4}\end{equation}となります。\)が成り立つことが示されました。\left\vertx_{n+1}-x_{n}\right\vert\end{equation*}を満たすものとする。<1\)を満たす実数である。このとき、\(\{x_{n}\}\)はコーシー列である。証明を見る(プレミアム会員限定)例(コーシー列であることの判定条件)数列\(\{x_{n}\}\)が以下の条件をともに満たすものとします。\tag{1}\end{eqnarray}となります。\tag{2}\end{eqnarray}が成り立ちます。\left(2\right)\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題よりこの数列\(\{x_{n}\}\)はコーシー列です。次回はコーシー列の有界性について解説します。>コーシー列と有界性ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。