経済や数学など自分の興味ある分野について書いています。高次方程式を解く(1)このような虚数たちを気味悪がっているだけでは面白くありません。そこでこれをうまく利用して高次方程式を解くことができないだろうかと考え、まず3次方程式に取り組むことにしました。つぎのようなXの3次方程式の解はどうなるでしょうか。持つとするとき、上の式は下のようにも表され、その展開式は上の3次方程式に一致しなければなりません。それには各次数のXの係数および定数値が上の方程式の各係数(ここではすべて1)に等しくなる必要があります。して3元連立方程式が導かれます。3つの組合せがあることが分かりました。最初の3次方程式に一致するかどうかで確かめることができます。数の風景-79各虚数間の計算方法ここまで見てきた中で、1の累乗根連続4回で8種類の数が現れ、そのうち7種類が虚数です。それぞれに+と-があるので、合計16種類に別れ、そのうち14種類が虚数です。ここで、これら16種類の数の間での計算方法を整理します。四則演算をしてみます。加減算は文字の加減算と同じように、同じ虚数どうしで加減算をします。加減算1+i+2j+k-3j+5jk+ik-2ij+4i-2+ijk-3ik-2jk=-1+5i-j-2ij+k-2ik+3jk+ijk乗除算も基本的には文字式の計算と同じです。先に乗算どうしを計算し、つぎに除算を計算するほうが簡単な気がします。加減算と乗除算とを混合した式を計算してみます。計算順序は文字式の計算と同じく先に乗除算を行い、そのあと加減算を行います。して2jkで割る組み合わせ虚数記号の付いた数の平方根をとる場合は、それぞれの記号について虚数記号を付けることになります。以下のいろいろな虚数について、それを累乗していくことでどのように変化していくかを見てみます。それぞれの虚数は累乗していくことにより、別の数世界へ変位していくようです。その変位の様子について、正の整数1以下の各種類についてまとめてみました。場合、2乗で-1、3乗で-i、4乗で1になります。そこを四角の枠で囲んでいます。見てみると、8乗で1にたどり着き、その次からまた1巡していきます。16乗で1にたどり着きます。1を(1/16)乗したときにそれぞれ現れてきます。8乗したときに、kを16乗したときにそれぞれ現れてきます。多種類の虚数(2)前回、平方根をとり続けていくことにより、多くの虚数が現れてくる様子を見てきましたが、共役複素数をとることによっても多くの虚数記号が発生します。共役複素数の関係式を用いて、つぎのように上位の虚数を下位の虚数の積に分解することができます。この関係から、マイナスの数は実数に分類されていますが、符号“-”は虚数群の筆頭に位置する存在でもあることがわかります。この関係を用いて1をつぎのようにも表すことができます。この関係から、2をつぎのように共役複素数に分解することもできます。1の場合は上の関係式に各段階で2の-(1/2)乗が掛かってくるので、つぎのようになります。多種類の虚数(1)数の風景-10で、実数の平方根を複数回とるたびに別種の虚数記号が増えていき収拾がつかなくなるのではと考えました。その後いろいろ考えあぐねた末に、今ではそのような虚数の存在は無視できないのではないかと考えるに至りました。その下位の虚数へと連綿と続き、いろいろな虚数を組み合わせた虚数まで存在するのではないだろうかと推測しています。ここでは平方根をとり続けていく場合について考えます。平方根をとるたびに虚数が増えていきますが、この分類ではいくつかの虚数記号を組み合わせた虚数も存在します。11:15数の風景-76Tweet広告を非表示にするもっと読むコメントを書く2019-12-14数の風景-75閑話休題(3)今回はお休みです。宇宙についてのイメージトレーニングとして、いろいろな情報を自分なりに整理して「宇宙イメージ」を作ってみました。下の図は、宇宙の形や大きさを表しているものではなく、私たちがいる現在の宇宙と私たちが観測できる宇宙との関係を光速(単位:光年)による距離で表した関係図です。距離というより時間の関係図です。図では現在地の真下に1点だけ座標の中心を描いています。ここでビッグバンが発生し、138億年後の時空の最先端が破線の現在宇宙に当たるとします。私たちが存在している宇宙の現在点は球面(図では円)上に分布する時空の最先端にあり、球面上の各点には絶え間ない時間の流れが外から内側へ向かって流れ込んでいきます。現在宇宙の一点にいる私たちは、138億年前のビッグバン以後現在に至るまでの宇宙の情報を受信できます。それは図に桃の表面のような形をしている経路を通って届きます。これを観測宇宙と呼びましょう。図で見るかぎり、私たちに届く観測宇宙の情報は全宇宙情報ではなく、そのほんの一部です。図を観測者を中心として書き直せば、つぎのようになるでしょうか。現在宇宙の大きさは実際わかるはずもありませんが、少なくともビッグバン当時の宇宙は138億光年彼方の赤の破線になります。年あるいはそれ以上の遠い過去宇宙で発せられた光や電波を今キャッチしており、それはつぎの図のように私たちを中心に広がっています。宇宙には現在、過去、未来が渾然一体としてある。測宇宙の情報を受け取っている。われわれが見ることができない世界がすぐ隣につながっている。いうことも大いにありうるのではないでしょうか。ζ(ゼータ)関数についてこの関数は1以上の全ての自然数を決まった値sで累乗し、それぞれの逆数を足し合わせるものです。一般にsには複素数以下、全ての数が適用されているようです。定数γを加えた値になります。∞に発散してしまいます。場合は、バーゼル問題として収束値が求められていたのですが、オイラーによってその解が明らかにされました。詳しくは「オイラー入門」(W.ダンハム(著))の中で解説されています。ある」というものですね。「オイラーの積の公式」がこれを解く黄金の鍵となるようです。分数の和の形であるζ関数を、素数のみを使った積の形に変換できることをオイラーによって示されたものが「積の公式」で、公式導出の過程もその本の中で解かりやすく解説されています。この式からどうやって零点を求めることができるのか私には解からないので、ζ関数をそれとは別の式でシミュレーションして零点に迫ることができないか模索しているところです。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。