部分集合族を商集合と呼びます。任意の要素は何らかの同値類に属するとともに、異なる複数の同値類に属することはありません。X\)を構成できます。2)\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。このように定義された\(R\)は\(\mathbb{Z}\)上の同値関係です。\}\end{eqnarray*}が存在します。\right\}\end{equation*}となります。x\text{は}y\text{と同じ学年}\end{equation*}を満たすものとして\(R\)を定義します。このように定義された\(R\)は\(X\)上の同値関係です。x\text{は6年生}\}\end{eqnarray*}が存在します。\)は\(i\)年生の学生からなる集合です。R=\{X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{6}\}\end{equation*}となります。\right)\end{eqnarray*}をともに満たすとき、\(\mathfrak{A}\)を\(X\)の分割(partition)と呼びます。\)は、\(X\)の部分集合族\(\mathfrak{A}\)に属するすべての集合の和集合をとると、それは\(X\)と一致することを意味します。\(X\)の任意の要素は\(X\)の何らかの部分集合に属するという条件です。\)は、\(\mathfrak{A}\)に属する集合は互いに交わらないことを意味します。\(X\)の任意の要素は、\(X\)の異なる部分集合に属することはないという条件です。\right\}\end{equation*}となります。=\mathbb{Z}\end{equation*}を満たします。=\phi\end{equation*}が成り立ちます。R\)は\(\mathbb{Z}\)の分割です。\)の両方に属することはありません。x\text{は}y\text{と同じ学年}\end{equation*}を満たすものとして定義される\(R\)は\(X\)上の同値関係です。R=\{X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},X_{6}\}\end{equation*}となります。R=\bigcup_{i=1}^{6}X_{i}=X\end{equation*}を満たします。X_{j}=\phi\end{equation*}が成り立ちます。R\)は\(X\)の分割です。問題としている小学校の任意の生徒は何らかの学年に必ず属するとともに、複数の異なる学年に属することはありません。\)が\(X\)の分割になっていますが、このような性質はあらゆる商集合に関して成立します。これを示すためには、同値類に関して以前示した以下の命題を利用します。\)が与えられたとき、以下が成り立つ。\)が与えられているものとします。X}\)の\(X\)の空でない部分集合からなる部分集合族です。\text{の定義}\end{align*}が成り立つため、\(X\)の任意の要素は何らかの同値類に属します。B=\phi\end{align*}が成り立つため、\(X\)の任意の要素は、異なる複数の同値類に属することはありません。以上の結果を命題としてまとめておきましょう。\)は\(X\)の分割である。\right)\end{eqnarray*}がともに成り立つ。\)による類別(classification)と呼びます。\)を構成することができますが、逆に、集合\(X\)上の分割が与えられたとき、そこから\(X\)上の同値関係を生成することができます。次回はこのことについて解説します。前のページ同値類ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。