可算個の事象からなる事象列が単調増加列もしくは単調減少列である場合には、その和事象や積事象の確率に関して、連続性と呼ばれる性質が成り立ちます。\)-加法性を満たします。}P\left(A_{i}\right)\end{equation*}を満たします。}S_{n}\)のことです。確率論の公理について復習する上の公理は互いに排反な可算個の事象に関するものですが、互いに排反とは限らない事象の和事象についてはどのようなことが言えるでしょうか。}P\left(A_{i}\right)\end{equation*}が成り立ちます。σ-劣加法性について復習する以降では、可算個の事象が一定の条件を満たす場合には、それらの和事象や積事象の確率についてもう少し踏み込んだことが言えることを示します。\mathbb{N}}\)、もしくはよりシンプルに\(\{A_{n}\}\)と表記します。sequence)と呼びます。sequence)と呼びます。以下の例が示唆するように、同じ実験を繰り返し行うタイプの試行に関連して、事象の単調列は頻出します。\)のような\(0,1\)から構成される無限列として表されます。\)と定式化されます。}\)ですが、以前示したように、これは非可算集合です。事象列\(\{A_{n}\}\)を、\begin{equation*}A_{n}=n\text{回目以降は}1\text{だけが出続ける}\end{equation*}と定義します。_{i}=1\)を満たします。_{i}\)は\(0\)と\(1\)のどちらでもかまいません。\(n\)回目以降は\(1\)だけが出続けるならば、\(n+1\)回目以降は\(1\)だけが出続けます。A_{n+1}\)を満たすため、この事象列\(\{A_{n}\}\)は単調増加列です。例(事象の単調列)事象列\(\{A_{n}\}\)が任意に与えられたとき、新たな事象列\(\{B_{n}\}\)を、\begin{equation*}B_{n}=\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\end{equation*}と定義します。\bigcup_{i=1}^{n+1}A_{i}=B_{n+1}\end{equation*}が成り立つため、\(\{B_{n}\}\)は単調増加列になります。して、任意の事象列\(\{A_{n}\}\)から単調増加列を生成することができます。例(事象の単調列)事象列\(\{A_{n}\}\)が任意に与えられたとき、新たな事象列\(\{B_{n}\}\)を、\begin{equation*}B_{n}=\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}\end{equation*}と定義します。\bigcap_{i=1}^{n+1}A_{i}=B_{n+1}\end{equation*}が成り立つため、\(\{B_{n}\}\)は単調減少列になります。して、任意の事象列\(\{A_{n}\}\)から単調減少列を生成することができます。\cdots\end{equation*}を満たす単調増加数列です。}A_{i}\)の確率と一致します。これは連続性(continuity)と呼ばれる性質です。A_{n}\right)\end{equation*}が成り立つ。証明を見る(プレミアム会員限定)事象の単調減少列に関しても同様の命題が成立します。\cdots\end{equation*}を満たす単調減少数列です。}A_{i}\)の確率と一致します。A_{n}\right)\end{equation*}が成り立つ。証明を見る(プレミアム会員限定)この命題の活用例を提示します。\)のような\(1\)から\(6\)までの整数から構成される無限列として表されます。\)と定式化されます。}\)ですが、これは非可算集合です。事象列\(\{A_{nm}\}\)を、\begin{equation*}A_{nm}=n\text{回目から}n+m\text{回目まで}1\text{が一回も出ない}\end{equation*}と定義します。_{i}\not=1\)を満たします。_{i}\)の値は任意です。\tag{1}\end{equation}が成り立ちます。\}\)とみなします。\(n\)回目から\(n+m\)回目まで\(1\)が一回も出ない場合には、\(n\)回目から\(n+m-1\)回目まで\(1\)は一回も出ません。したがって、それぞれの\(n\)について、事象列\(\{A_{nm}\}\)は\(m\)に関する単調減少列です。}A_{nm}=n\text{回目以降に}1\text{が一回も出ない}\end{equation*}と定義します。\\&=&0\end{eqnarray*}となります。\tag{2}\end{equation}が成り立つことが示されました。次回はボレル・カンテリの補題と呼ばれる命題について解説します。>条件付き確率ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。