[空間図形]正四面体ABCDがあります。左図のように、ABの中点P、ADを1:3に分ける点R、BCを3:1に分ける点S、CD上の点Qをとります。次に、RとS、PとQを糸で一直線に結んだところ(糸は正四面体の内部を通ります)、PQとRSは点Tで交わったそうです。CQとQDの比を求めてください。PTとTQの比を求めてください。始点にして、空間ベクトルをb→=AB→、c→=AC→、d→=AD→の1次式で表現することにします。・・・(2)と表せます。sk=t/4が成り立ちます。よって、CQ:QD=1:9、PT:TQ=5:3となります。底面(BCD)をxy平面に置くように設定します。正四面体の一辺の長さを2とすると、A、B、C、D各点の座標は次のように与えられます。0)同様にして、P、R、S各点の座標値は以下のようになります。0)線分PQとRSとは点Tで交わるから、PQおよびRSは同一平面上に存在します。一般式このようにして求めた平面の方程式は下記の様になる。(1)この平面と線分CDの交わる点が点Q。(2)また、点Qのz座標は0であるから、残りのx座標とy座標を(1)、(2)より求めれば、x=19/10、y=√3/10を得ます。点Qの座標が求まったので、後はPQとRSをそれぞれxy平面に投影させて交点Tを求めます。(4)となるので、(3)、(4)より、x=11/8、y=√3/8を得ます。√3/8)と分ります。DOLPHINさん、高橋道広さん、ふじさきたつみさん、ノーザンビレッジさん、ヒデー王子さん、他多数)点P、Q、R、Sは同一平面上にあります。この平面と直線DBの交点をUとすると、直線RP、QSはともに点Uを通ります。△ABDと直線RUに関してメネラウスの定理より、(AP/PB)・(BU/UD)・(DR/RA)=1(1/1)・(BU/UD)・(3/1)=1BU/UD=1/3よって、DB:BU=2:1。△RUDと直線ABに関してメネラウスの定理より、(RP/PU)・(UB/BD)・(DA/AR)=1(RP/PU)・(1/2)・(4/1)=1RP/PU=1/2よって、RP:PU=1:2。△DBCと直線UQに関してメネラウスの定理より、(DU/UB)・(BS/SC)・(CQ/QD)=1(3/1)・(3/1)・(CQ/QD)=1CQ/QD=1/9よって、CQ:QD=1:9。△UQDと直線BCに関してメネラウスの定理より、(US/SQ)・(QC/CD)・(DB/BU)=1(US/SQ)・(1/10)・(2/1)=1US/SQ=5よって、US:SQ=5:1。△UQPと直線SRに関してメネラウスの定理より、(US/SQ)・(QT/TP)・(PR/RU)=1(5/1)・(QT/TP)・(1/3)=1QT/TP=3/5よって、PT:TQ=5:3。設問2の答5.解答例4(あやのりんさん、他)点Sと点Rが重なるようにしてSの方から見て、以下はこの方向に垂直な平面に投影した点について考えることにします。AR:RD=CS:SB=1:3、およびAD=BCより四角形ABDCは台形になります。すると、BP:PA=1:1、BU:UA=DS:SA=3:1より、BP:PU:UA=2:1:1。△ASC∽△SBDで相似比は1:3、よって、BD=12とおくとAC=BD×1/3=4となります。点Pを通ってBDと平行に引いた直線とCDの交点をP'、ADとの交点をP''点Sを通ってBDと平行に引いた直線とABの交点をU、CDとの交点をU'、および点Qを通ってBDと平行に引いた直線とABの交点をQ'とします。△APP''∽△ABD、AP:PB=1:1よりPP''=BD×1/2=6。△AUS'∽△ABD、AU:UB=1:3よりUS=BD×1/4=3。△DPP''∽△DAC、DP'':PC=1:1よりP''P'=AC×1/2=2。△DSU'∽△DAC、DS:SC=1:3よりSU'=AC×3/4=3。△QSU'∽△QPP'、SU':PP'=3:8より、PT:TQ=U'P':QU'=5:3。設問2の答U'P'=5とおくと、QU'=3。CU'=U'P'=5より、CQ=CU'−QU'=2。P'D=CP'=10。よって、CQ:QD=2:18=1:9。設問2の答6.解答例5(高橋道広さん、トトロ@Nさん、他)平面PSQRと直線ACの交点をWとします。AC上にBCとPUが平行となる点Uをとります。BC:PU=4:2より、SC:PU=1:2。よって、中点連結定理より、WC:CU=1:1。AP:PB=1:1より、AU:UC=1:1。従って、AC:CW=2:1次に、AD上にCVとQRが平行になる点Vをとります。AV:VR=AC:CW=2:1、ここで、VR=1とすると、AV=2、AR=3。AR:RD=1:3より、RD=9となるよって、CQ:QD=VR:RD=1:9。設問1の答また、PS:SW=UC:CW=1:1。ここで、QR=9とします。DR:RV=9:1より、VC=10。従って、WQ:QR=6:9=2:3。QXがSRに平行になるように、PW上に点Xを取ります。SX:XW=RQ:QW=3:2。ここで、SX=3とすると、XW=2、SW=5。PS:SW=1:1より、PS=5。従って、PT:TQ=PS:SX=5:3。設問2の答7.解答例6(高田修成さん、馬渕の算数星人さん、tub@saさん、まるケンさん、他)底面BCDを下に、頂点Aを上にして、真上から見た図を考えます。AB=AC=ADの長さを3とします。P、Q、R、Sは同一平面にあるので、RPとQS、およびDBを延長すると、同じ点(Uとします)で交わります。上図のように各点をとると、三角形の相似から、DE=EB=BU、よってEP=2、PG=1、MU=EG=3となります。MB=BG=GF=FS=SC(=1とおきます)となるので、GJ=3/2、FK=NC=3/4。よって、DK=6+3/4=27/4。△DKQ∽△CKNで、DK:CN=27/4:3/4=9:1。よって、CQ:QD=1:9。設問1の答また、FH=FC×1/10=9/5、SH=4/5。従って、OS=PJ×4/14=5/2×2/7=5/7、VK=PJ×9/14=5/2×9/14=45/28、VF=VK−FK=45/28−21/28=24/28=6/7。よって、AV=AF−VF=2−6/7=8/7、RV=RA+AV=1+8/7=15/7。従って、FW:WS=RV:OS=15/7:5/7=3:1、FW=3/4、WS=1/4。設問2の答8.解答例7(あんみつさん、他)ABが下に、CDが上になるように置き、真上から見ると、正方形のように見えます。ABの中点PとCDの中点が重なって見えます。AR:RD=CS:SB=1:3だから、RSとACは平行に見えます。