問題[平面図形]左図のように、△ABCの辺ACを一辺とし、QA=QCである直角二等辺三角形QACと、辺ABを一辺とし、PA=PBである直角二等辺三角形PABを△ABCの外側に作りました。辺BCの中点をMとし、QとMを結んだところ、QM=10cmとなりました。このとき、五角形APBCQ(△ABC+△PAB+△QAC)の面積を求めてください。解答例1あ〜く@ぴかぴかの(略さん、hiroさん、消しゴムパトロールさん、小西孝一さん、きょろ文さん、uchinyanさん、他Pを中心に△PBMを反時計回りに90度回転(頂点BがAに移動)したものを△PAM’、Qを中心に△QCMを90度回転(頂点CがAに移動)したものを△QAM’’とします。従って、辺M’Aと辺M’’Aは重なることが分かります。∠M’’QM=∠M’’QA+∠AQM=∠MQC+∠APM=90°よって、△M’PMと△M’’QMは、それぞれ直角二等辺三角形になり、かつ斜辺M’Mが共通なので、これらは合同となります。従って、四角形M’PMQは1辺が10cmの正方形となります。五角形APBCQ=四角形APMQ+△PBM+△QCM=四角形APMQ+△PAM’+△QAM’=正方形M’PMQ=10×10=100cm2と求まります。解答例2arijuneさん、他AQに関するCの対称点をD、APに関するBの対称点をEとします。△ABMをAがE、BがAと一致するように移動したものを△EAM’、および、△ACMをAがD、CがAと一致するように移動したものを△DAM’’とします。従って、辺M’Aと辺M’’Aは重なることが分かります。M’A=BM=CM=M’’Aとなることから、M’とM’’は一致することになります。BM=CM、DQ=CQだから、中点連結定理により、BDとMQは平行で、BD=MQ×2=20cmとなります。△BADと△EACについて、BA=EA、AD=AC、∠BAD=90°+∠EAD=∠EACより、2辺と挟角が等しいので合同となります。2つの三角形はBAがEAになることから90°回転したことになるので、BD=EC=20cmで、BDとECは直交することが分かります。五角形APBCQ=1/2×四角形EBCD=100cm2と求まります。五角形APBCQを180°回転したものをA’P’CBQ’とします。すると、PQとQ’P’は、平行かつ長さが等しいので、四角形PQ’P’Qは平行四辺形となります。PMP’とQMQ’は、それぞれ一直線となるので、平行四辺形PQ’P’Qの対角線になります。△PAQと△P’CQについて、PA=PB=P’C、QA=QC、∠PAQ=270°−∠BAC=90°+∠ABC+∠ACB=∠P’CQとなり、2辺と挟角が等しいので合同となります。同様に、△PBQと△P’A’Q’も合同となり、これら4つの三角形はすべて合同となります。従って、平行四辺形PQ’P’Qは菱形になります。∠PQP’=∠PQA+∠AQP’=∠P’QC+∠AQP’=90°、よって、菱形PQ’P’Qは、1辺が10cmの正方形と分かります。五角形APBCQ=1/2×200cm2=100cm2と求まります。解答例4水田Xさん、他ABの中点をD、ACの中点をEとします。△PABは直角二等辺三角形だから、PD=BD=ADで、PDとABは直交します。同様に、△QACは直角二等辺三角形だから、QE=AE=ACで、QEとACは直交します。中点連結定理より、DMはACと平行で、DM=1/2×AC=QE、およびEMはABと平行で、EM=1/2×AB=PDとなります。よって、四角形ADMEは平行四辺形となります。∠PDM=90°+∠ADM=90°+∠AEM=∠QEMよって、△PDMと△MEQは、2辺と挟角が等しいので合同と分かります。∠PMQ=180°−(∠DMB+∠PMD+∠QME+∠EMC)=180°−(∠DMB+∠PMD+∠MPD+∠DBM)=∠DPB+∠DBP=90°よって、△PMQは直角二等辺三角形と分かります。∠PAQ=270°−∠BAC=90°+∠ABC+∠ACB=90°+∠DBM+∠DMB=90°+∠ADM=∠PDMよって、△PAQは、△PDMおよび△MEQと相似で、相似比は√2:1従って、△PAQ=△PDM+△MEQとなります。五角形APBCQ=2×△PMQ=2×(1/2×10×10)=100cm2と求まります。uchinyanさん。