[整数の性質]マサルさんとトモエさんが次のような会話をしています。マサル:「何か好きな3ケタの整数を思い浮かべてごらん。」トモエ:「ん〜、OK、決まったよ」マサル:「じゃあ、それらの数の、各ケタを入れかえてできる5種類の整数を全部たしてごらん。」トモエ:「ん〜、電卓使って良い?(笑)ん〜と、1688ね。DOLPHINさん、ふきゅさん、まおさん、あまれっとさん、中川幸一さん、有無相生さん、M.Hossieさん、高橋道広さん、みーちゃんぶちゅうさん、DrKさん、チョコとプラスアルスァさん、他)求める整数を、n=a×100+b×10+cとおきます。各ケタを入れかえてできる5種類の整数は、a×100+c×10+bb×100+a×10+cb×100+c×10+ac×100+a×10+bc×100+b×10+aとなります。題意より、0<a,b,c<10。・・・(1)よって、n+134は222の倍数となります。m=a+b+c-7とおくと、(1)より、m×222=n+134<1000+134=1134従って、m+7<1134/222=5.1よって、m≦3。従って、n=532が求める整数と分かります。解答例2(AЯOTさん、長野美光さん、N.Nishiさん、TEGさん、なみはやさん、他)求める整数を、n=a×100+b×10+cとおきます。各ケタを入れかえてできる5種類の整数の、百位の数字を加えたものをA、十位の数字を加えたものをB、一位の数字を加えたものをCとします。・・・(3)が成り立ちます。A-B=b-a、B-C=c-b、C-A=a-cより、A、B、Cの2個ずつの差は、9-1=8以内となります。従って、入れ替えた整数の合計が1688となるには、繰り上がりを考慮すると、A=15、B=17、C=18以外には題意に適するものがありません。・・・(3)'となります。・・・(4)(4)−(1)'より、a=20-15=5、(4)−(2)'より、b=20-17=3、(4)−(3)'より、c=20-18=2を得ます。従って、求める整数は532となります。ハラギャーテイさん、他)求める整数を、n=a×100+b×10+cとおきます。・・・(1)となります。・・・(2)となります。・・・(3)となります。1≦a、b、c≦9より、-4≦p≦20、249=221+28≦a×99+b+141≦1113=221×5+8。よって、(3)より、1≦p≦5の範囲に絞られます。・・・(5)が得られます。従って、p×5-6は9の倍数となり、(4)から-1≦p×5-6≦19、よって、p×5-6=0、9、18のいずれかとなります。これより、pが整数となるのは、p×5-6=9、p=3のときのみです。・・・(7)を得ます。-6≦3-b≦2なので、この範囲で11の倍数は0のみ。従って、a-5=0、3-b=0、よって、a=5、b=3となります。(6)より、a+b+c-7=3、従って、c=10-(a+b)=10-(5+3)=2となります。以上から、求める整数は532と分かります。