[空間図形、規則性]マサル商店が開発した新製品は、「くっついているボールの数を表示する」という性質を持った不思議なボールです。図1のように2個のボールをくっつけると、どちらも「1」と表示されます。図2のように3個のボールを一列に並べてくっつけると、両端のボールは「1」、真ん中のボールは「2」と表示するわけです。いま、このボールを図3のように1段目には1個のボールを置き、2段目は1辺がボール2個でできた正三角形状に並べて置き、3段目は一辺がボール3個でできた正三角形状に置き、・・・・・というようにボールを重ねていきます。(※)(図3には4段目までのとき)このとき、各ボールはそれぞれにくっついているボールの数を表示しています。いま、ある段数まで重ねたところ、全てのボールに表示されている数の合計が1008になりました。並べる際に、各ボールがくっつくようにします。(図3の内部にもボールは詰まっています)2.解答例1(ふぇるまーさん、AЯOTさん、まるケンさん、M.Hossieさん、井合宗太郎さん、他多数)段数をnとし、ボールの個数をカウントします。1辺にある個数は、段数nが増えるたびに1、2、3、・・・、と1個ずつ増えていくので、n段でn個。足していくと1、3、6、・・・、となり、一般式ではn(n+1)/2個。足していくと1、4、10、・・・、となり、一般式ではn(n+1)(n+2)/6個と表される。n3-(n-1)3=3n2-3n+1Σk3-Σ(k-1)3=3Σk2-3Σk+Σ1n3-03=3Σk2-3n(n+1)/2+nよって、Σk2={n3+3n(n+1)/2-n}/3=n(n+1)(2n+1)/6s(n)=Σk(k+1)=Σk2+Σk=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6ここまでは、各解答例で共通です。次にボールが頂点、辺上(頂点を除く)、面上(返上を除く)、中空部分の各部分にあるとき、数字は3、6、9、12となることが分かります。数字の和=4×3+(n-2)×36+(n-3)(n-2)/2×36+(n-4)(n-3)(n-2)/6×12=2(n-1)n(n+1)よって、段数は8と分かるので、このときボールの数は120個となります。以上3.解答例2(マサルさん、他)求める数字の和は、隣り合うボールの中心を結ぶ線分の個数を求めれば、その2倍となります。ここで線分の向きは正四面体の辺の数の6通りあります。全体としては1段少ない立体のボール数に等しい。672n=8のとき、84×12=1008よって、段数は8、ボールの数は120個となる。数式で表すと、n段のときのボール数をN(n)=n(n+1)(n+2)/6。S(n−1)×12=(n-1)n(n+1)/6×12=2(n-1)n(n+1)となります。以下同様4.解答例3(げんさん、ありっちさん、たなかさん、noetherさん、ταροさん、有無相生さん、他)解答例2同様線分の数の2倍で求めます。n段のときの線分の数をg(n)とします。(g(0)=0とする)よって、求める数字の和は、2g(n)=(n-1)n(n+1)。