集合とは、何らかの要素を集めた塊のようなものです。食べ物という集合の中には米やパン、うどんなどの要素が入ります。通常は集合を大文字で、その要素を小文字で表現することが多いです。属していることを表します。ようなイメージを持てばいいでしょう。要素を書き下したい場合は、以下のような表記になります。ところで、うどんは食べ物の中でも「麺類」という集合にも属していると考えられます。麺類には他にそばやラーメンがありますが、麺類という集合を考えた時にはのように表記して、集合が他の集合に含まれていることを表現することも出来ます。なっている場合には、食べ物の要素の中に麺類の要素も完全に含まれているようなケースが、これに該当します。なっている場合に、これらに共通する要素を表す場合は両方の集合の要素を全て網羅する場合はなどの記号を使います。含まれる(真部分集合である)。含まれる(部分集合である)。和集合(全ての要素を網羅した集合)。積集合(共通する要素を選出した集合)。等しい(要素が完全に同じ)。含まれていない要素の集合(差集合)。他にもありますが、それほどたくさん覚えておく必要はないでしょう。写像は名前が仰々しいですが、集合から集合への変換のことを言います。変換する役割を担っている場合などと表現します。使ってみるとなどと年齢が表示されるイメージです。形で表記するならばとなります。集合から集合の写像を考えた時、基本的に要素の順番というのは順不同となります。左から右へ対応する要素が過不足無く含まれていれば問題ありません。いう表記があると考えればいいでしょう。集合と写像は非常に抽象的な概念で、ほとんど具体的な制限が掛かっていない論理体系です。従って、近代的な数学の基礎となっています。存在するでしょうか)。実をいうとこれはケースバイケースということになってきます。先ほど見た名前から年齢への写像に関しては、逆写像はありません。表記するというものです。場合は、下記の図のように写像が行われることになります。「23」と要素をただ1つ指定できますし、「健太」と言われても「23」とただ1つの要素を指定できます。これは問題ありません。のどの要素に移すかが直ちに決まらなければならないのです。要素に移ろうと思うと、ただ1つに直ちに決まらなくなります。図を見れば明らかでしょう。要素をただ1つ指定することは出来ません。「次郎」と「健太」が候補に挙がってしまいます。従って、なる写像は存在しないのです。どんなときに逆写像を考えることができるのでしょうか。要素の数が同じであって、要素が1対1に対応している時だけです。どちらか一方の要素が少ない場合は、少ない方から多い方へ線を結ぶときに必ず選択肢が1つに定まらなくなります。健太を除いた場合を考えれば、上手く逆写像が得られることになります。ここまで説明すると分かるかもしれませんが、「写像」というのは「集合」が準備されて初めて議論できるものです。「集合の上に写像が定義される」のです。以下の図のような写像です。要素が1つに定まります(写像の定義)。要素が決まった時に、被りが一切ありません。被りが無いことを意味しています。要素は、選ばれないこともあります。物の要素が出てきてしまうのです。結果的に逆写像は存在しません。要素に映ることが出来ない場合があるためです。以下の図のような写像です。要素が1つ決まります(写像の定義)。これは先程、人名から年齢への写像を見た例と同じです。要素が全て選ばれる機会を持っていることを表しています。先ほど見たように逆写像は存在しません。要素を1つ決めることが出来ないからです。以下の図のような写像です。要素全てに選ば得れる機会が存在します。要素の数が同じで、線が一対一に対応しているため、必ず逆写像も存在します(矢印を反転するだけ)。逆写像が存在するのは、全単射に限ります。全射でも単射でも無い写像も存在します。のどの要素に行けばいいかが決まります。被りもある上に、余り物も存在します。従って全射でも単射でもありませんが、写像としての資格は持っています。与え方で写像が定義されることがハッキリと理解できるでしょう。いう名前でありながら、これも写像の例だと捉えることが出来ます。要素のいずれかが発生します。いうものを準備しておいて、写像をして考えてしまうことが多いのではないでしょうか。確率変数は具体的な現実の事象を、予め準備しておいた数値の集合へ写像してくれるものだと考えることができます。使って話をすることのほうが多いので、意識されることはほとんどありません。書くことが多いでしょう。上記の話の続きとして、確率密度関数について述べます。「関数」は全て写像だと考えていいでしょう(というより分野が異なるだけで定義は同じ)。確率密度関数と言えば、最も馴染み深いのはこのガウス分布かもしれません。発生する確率だと捉えるわけです。]という集合を扱っていることになります。ベルヌーイ分布のパラメータ)。両方の確率分布(写像)に共通して言えることですが、これは単射でも全射でもない可能性があります。いうことは起こりえません。ありえますが、そのようなものを考えるメリットは1つも無いため、全射はありえないということになります。あるため、単射ではなくなります。ガウス分布の場合は、対称性から、同じ確率が出力される値が必ず存在するので単射はありえません。とり方で写像としての性質が変わってきます。あれば全単射になります。線形代数では写像という言葉は頻出です。行列と言うのは、端的に述べれば空間から空間への写像(の一種)であるからです。行列という写像は、空間上の点を要素に持つ集合の上に定義されています。空間上の点を要素にする集合というのは、言い換えればベクトルを要素に持つ集合ということです。要素になります(実際には書き下せるものではなく、要素が無限に存在しますが)。次元空間の点(あるいはベクトル)を要素に持つ集合と見るわけです。以下のような表記を見たことがあるのではないでしょうか。3次元であるということを意味しますが、細かく言えば「3次元空間という集合の要素である」ということです。