いうのは、実質的に異なるとみなせるベクトル(線形独立なベクトル)が何個入っているかを表していると言えます。なるかというととなります。線形従属なら、実質的には1個しかベクトルが無いのと同じだよね!ということです。この調子で行けばみたいな式があったら、それは線形独立なベクトルは3つしか無いということです。残りの2つは、どれかと同じ方向を向いていて、カウントするに値しないというわけです。シンプルな例を見ておきましょう。線形独立なベクトルが1個と考えます。ここまでの流れを見れば当たり前に見えるかもしれません。決まっている!」というふうに感じるわけです。してしまったほうが良いのです。いう点にしかならないからです。表記を使えば、が平面を表す式になるわけです。いう3つのベクトルで基底を構築してきました。これはと表記できます。基底の選び方なんて本来自由なはずです。考えると基底を変更すれば、本来は同じ場所を指定していたとしても、成分が変わるのはなんとなく想像がつくでしょうか。東に2km、南に3kmという場所を指定するために、南東に●kmと南西に×kmという表現ができると思います。これは東西南北という基底を、45度時計回りに変更してしまったわけです。することで、kmの成分の方は変更を受けています。空間を定めるにはまず基底を決めてあげなければなりません。話をしていたのは、基底となる資格を有するかどうかを調べるためだったんです。基底が同じ方向ばかり向いていたら意味がないですよね。基底と言うのは必ず線形独立でなければならないのです。余談ですが、実は、「線形変換というのは基底を変換する」ことによって定義されます。その具体的な計算は行列によって得られます。基底の話をしたところで、私達は、部分空間を記述する術を獲得しました。3次元空間上に含まれている2次元の空間(要するに平面)を取り出したければ、とすれば良いのです。どのような方向に取るかで、平面の方向は変わるのがなんとなく分かるでしょうか。間の角度が違うだけで、表現できる平面は同じであるとか)。よって原点を平行移動することができます。基底を構築するというわけです。線形独立でなければなりませんが、直交していなくてもいいです。線形独立でありさえすれば平面を表現できます。角度が違う場合には下記の式においての方がうまく調整すれば良いのです(例えば東と南の基底の代わりに、南東と北北西という中途半端な基底を考えてもいいというわけ)。結局のところ、3次元空間というのはみたいに自由に調整できる係数(成分)が3つあって、2次元空間というのはみたいに自由に調整できる係数が2つしかないわけです。通る平面を表すことになるわけです。これを3次元空間に対する2次元の線形部分空間と言います。「線形部分空間をいかにして定めることで重要な情報を取り出すのか」という話になります。はとなっているわけです。個の別の基底(方向も変わっている)を準備してとしてやりたいというのが狙いになります。基底の取り方を変えれば、当然、成分の表示も変わるわけで、その成分が上手いこと良い特徴になっていれば最高ということです。いうわけです(まあ、だいたいここらへんの成分と基底は同じように見て、基底を主成分という場合もある)。名づけて取り出していき特徴量とします。あとはそんな基底をどうやって獲得するんですか?って話なんですけど、それはここでは話しません。最小二乗法の拡張としても解けますし、同様ですが最尤推定としても解けます。基底を意識するならば、ブラインド信号源分離としての解法が最もビシッと来ます。した場合はどうなるでしょうか。空間3次元空間上にある2次元の線形部分空間はで表されました。いくら動いたところで線形空間のみしか表すことができません(基底が真っ直ぐだから!)。今、この線形空間の最後の式を改めて以下のように書いてみましょう。位置が決まります」と書いてありますが、その中身を謎に包んでしまいました。これは基底が何かも宣言していませんし、そもそも基底が真っ直ぐなのかも明記していません。何も決めていないのです。曲がった空間:多様体とはまず、線形部分空間のことを思い出してください。こいつは3次元空間上に浮かんでいる平面です。本質的には2次元です。いま基底を取り違っているために、3次元になってしまっているだけなのです。このことを忘れないためにも成分表記をしておきましょう。同じですが行列の表現にもしておきましょう。上の式で出てきた行列の事になります。これは3次元空間上に浮かんでいる曲面になっていそうです(そうであることを今から見る)。こちらも成分表示で表しておきましょう。