フーリエ変換対の関係フーリエ変換対とはフーリエ変換対という言葉について抑えておきます。フーリエ変換対とは、フーリエ変換と逆変換で相互に変換される変数のペアです。信号解析では時間と周波数がフーリエ変換対になります。フーリエ変換対には様々な関係(制約)が存在しており、例えば不確定性関係などは最たる例です。今回はFFTを抑える上で更に重要な関係性に言及します。一方が周期的ならば、他方は離散的4つのフーリエ逆変換(フーリエ級数展開を含む)たちを見て、周期時間信号を変換した場合、周波数が離散的になっていることに気づいたでしょうか。これは単純に解釈すると、周期的な時間信号を線形和で表現しようとした場合、ある周波数の整数倍の周波数の信号だけで表現できるということです。綺麗だから、少ない種類で表現できるというわけです。上記のことを単純に入れ替えただけに過ぎません。これはとても重要なことです。時間が離散的ならば、周波数は周期的になります。時間も周波数も離散的に取り扱います。時間も周波数も周期的になっているということです。言い換えると、離散フーリエ変換をしようとしたときには、その信号が周期的であるということを仮定し、(しかも時間は離散的であるため)フーリエ変換の結果得られる周波数に関しても周期的な特性を持っている(かのように表示される)ことになります。FFTは離散フーリエ変換を高速に動作させるアルゴリズムです。従って離散フーリエ変換の仮定を十分に考慮しなければなりません。解析する信号は本当に周期的かFFTを用いようという場合には、暗に解析対象が周期的であることを仮定しています。ない信号をFFTで解析したところで、何かしらの計算結果は得られるものの意味のあるデータであるかには注意が必要となります。何かデタラメに見える波形をFFTで解析したとしても、その波形は解析区間の外でも同じような形の波形を繰り返しているという前提のもとで計算結果が得られているのです。その計算結果は解析区間の外で同じような波形を繰り返している場合においてのみ正しいものであるということになります。以下の形ならFFTを用いても良さそうです(時間信号が周期的である)。一方で以下の形はFFTを用いて良いのかを迷わなければなりません(周期的に見えるが、果たして本当が怪しい)。上記で示した信号を長時間観測すると周期性が見えてきました。実は低周波成分(ゆっくりとした波)が紛れ込んでいたため、短い時間の計測では周期性が怪しかっただけで、実はちゃんと周期性を持っていそうです。仮に無限に長い時間、信号を観測したのであればFFTを適用することは可能です。周期性が無い信号だったとしても、無限に長い時間観測していれば、周期性の無い信号(=周期が無限大の周期信号)を捉えられたことになるからです。これは不可能で、理屈の上での話です。信号をハイパスフィルタなどに掛けてしまえばいいでしょう。低周波成分を落としてしまうことで、実は着目している高周波成分に関しては、しっかりと周期性を見出だせている可能性があります。FFTを用いた場合、ハイパスフィルタで落とされた低周波成分を検知することはできません。以下の信号は周期性を見出だせてはいるものの、これをそのままFFTで解析というわけには行きません。FFTに突っ込んだ信号自体が周期的であるという仮定で計算がなされるためです。FFTから見た時、この信号の続きは以下のように見えています。分かりますでしょうか。解析に突っ込んだ波形が、そのまま次も続いているという仮定で計算がなされるのです。これが正しいならば構いません。本来のデータはきっと以下の波形であるはずです。似ていますが、少し違うという感じでしょうか。周期的な波形をしっかり周期の区切れで入れてあげなければならないということです。実際この程度なら知りたい情報と遠くかけ離れるということは無いかもしれません。次は周期的な波形を周期の区切れで入れてあげなかった場合に、どんなことが起こるのかを極端な例で示します。以下は誰がどう見ても周期信号です。この信号を素直にFFTに与えると、FFTにとっては信号の続きは以下のように見えています。信号が周期的である(=始まりと終わりが同じ場所にある)と仮定があるため、これを無理に達成しようとした結果、変な波形の接続を行ってしまうのです。このように無理やり波形を接続する場合、急な変動を要することになります。FFTからはその急な変動があたかも波形に本来含まれるべき成分であるかのように見えています。結果、FFTによって、信号に非常に高い周波数成分が含まれていると解析がなされてしまうのです。高周波成分は大抵の場合、解析の結果を大きく狂わせます。解析結果から高周波成分をなかったことにすれば良いという単純な話ではありません。信号をデジタル信号(離散時間)として解析する場合には、対象の信号に含まれる最大周波数の2倍以上のサンプリング周波数が必要(標本化定理という)となります。これを満たしていない場合は、FFTの結果が(ある法則に基づいて)大きく汚されることになるので、低周波成分にも悪い影響を及ぼしてしまうのです。ちなみに本来の信号は以下の形をしているはずです。最後にまだ課題はたくさんある今までは都合の良い話だけをしてきました。今回は目視で周期性を見いだせるケースで具体例を見てきましたが、実際の解析ではそんなケースは非常にまれです。そもそも解析しようとしている信号に関する全容を知っていることのほうが少ないわけですから当然のことと言えます。そのような場合に、対象の信号が本当に周期的であるかという疑問や、そうであったとして周期的な区切りを見いだせるかというのは難しい問題です。通常はこれを諦めます。なるような窓関数を用いて無理矢理連続にします(そうすれば不連続の問題はなくなるが、本来の波形からゆがんでしまう)。いかなる窓関数を用いるべきかは難しく、多くの窓関数が提案されています。波形自体が定常であるかの問題もあります(FFTの結果自体が刻一刻と変化する)。これはまた別種の問題であり、時間周波数解析の発展へとつながります。何らかのデータに対してFFTを行いたいという場合、理解しておかなければならないのは離散フーリエ変換です。その前にフーリエ変換がどのようなものであるかを理解しなければなりません。フーリエ変換はフーリエ級数展開から始まり、それが連続へ拡張されていったという経緯がありますので、まずはフーリエ級数について抑えましょう。www.hellocybernetics.techフーリエ級数展開が、周期信号を三角関数の線型結合によって近似したものであると分かれば、あとは周期信号以外を同様に近似する目的で導出されたフーリエ変換(と逆変換)に関しても理解できます。フーリエ変換を応用したフーリエ解析の狙いを知れば、ますますフーリエ変換の意義も含めて理解が深まるはずです。www.hellocybernetics.tech非定常な波形に対する解析には時間周波数解析が必要となります。www.hellocybernetics.techディジタル信号処理に関する参考ページあまりにも有名ですが、やはりわかりやすいです(わかる人は本を呼んだほうが早いですが)。www.ic.is.tohoku.ac.jp私が勉強に使った本すごく古い本。大学講義の指定教科書だと勘違いして購入してしまった本。この時代からディジタル信号処理を意識して、アナログとの関連を踏まえて解説しています。いまではディジタル信号処理が当たり前ですが、発展していく時期だったからこそ力を入れられている印象です。この本がおすすめと言えるほど信号処理に精通していませんが、とりあえずお世話になった本です(多分他にいい本たくさんあると思います)。単行本この商品を含むブログを見るまた以下の本も信号処理周りの数学について非常にわかりやすく具体例を含めて解説してくれる良書だと思っています。»プロフィール自分が勉強していく上で学んだことなどをまとめていきたいと思います。ML_deepスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。