[場合の数]左図のように21個の点が等間隔に並んでいます。このうち、3個の点をとって正三角形となるような、3個の点の選び方は何通りあるでしょう。2.解答例1:対象性より、正三角形となるように3個の点を選べば、各点を辺上に持つような正三角形が1個存在します。下図は、外側の正三角形の辺の長さがL=3のときの例です。L=1、・・5について、このような正三角形が何種類あるか調べてみましょう。上図から、Lと同じ数だけの種類の正三角形があることが分かります。次に、各Lについて、外側の正三角形が全部で何個あるかを考えてみましょう。下図はL=3の場合です。頂点が何個あるかを数えればいいので、この場合は1+2+3=6通りあります。合計35通りあります。従って、求める3個の点の選び方は、15×1+10×2+6×3+3×4+1×5=70通りあることが分かります。一般に、元の正三角形の辺にある点がn個の時、求める正三角形を成す3点の選び方はan=n+2C4通りである。本問題の場合は、n=6の場合で、6+2C4=8×7×6×5/4×3×2×1=70通りである。正三角形Bの周上に3つの頂点をもつ正三角形(以下、正三角形Cと呼びます)を1つ決めるという選び方の場合数を求めます。「詳細」:正三角形Aの左辺からa回、下の辺からb回、右辺からc回、内側に向かって平行に狭めていくと、各辺に(n-a-b-c)点含まれる正三角形Bが1つ決まります。正三角形Bの下辺の1点を正三角形Cの1頂点に選べば他の辺上の頂点も自動的に決まり、正三角形Cが1個決まります。(下辺での選択可能な点は一番左端から(n-a-b-c-1)個とし、一番右の点は右辺から選ぶ点と決め、下辺での選択肢に入れません。)右側に行った点を正三角形Cの1頂点に決めると、正三角形Bの下辺で、正三角形Cの頂点より右に(n-a-b-c-d-2)点あります。