確率質量関数の名前について最後にはじめに先日、機械学習を学ぶ上での線形代数に関して書きました。s0sem0y.hatenablog.comここでは線形代数が分かると、機械学習を記述している数式がかなり分かりやすくなるという話をしました。線形代数は多くの数学の分野で、非常に便利な言語の役割をしているという論調です。実際、本の読みやすさが必ず変わります。これは保証するところです。ところで、確率・統計はあとまわしても良いという言い方をしましたが、後回しにしていいということは「いつかはやった方がいい」ということでもあります。一方で機械学習の手法を基礎づけているのは確率・統計の理論でもあります。線形代数や微積分でいろいろ計算をしますが、それは実は統計的な推定を行っていることになるというケースが多々有るのです。数式を読めるようになり、計算が何をしているか分かるようになったとして、それが理論的に何を行っているものであるのかまで掘り下げたければ、確率・統計を学ぶしか無いのです(あるいは、ベイズ推論などをやりたい場合)。概念をここで抑えておきます。概念を抑えると、確率の計算自体は、線形代数や微積分の計算で済まされるため、それほど難しくは感じなくなるでしょう。本当に少数の公式さえ覚えていれば、ベイズ推論などはほとんど完結してしまいます(使う式は少ないが、たいてい計算自体は面倒だが)。簡単に言えばランダムに値を変える変数です。サイコロの出目出会ったり、天気であったりを確率変数で表現します。離散確率変数ここでは仮にサイコロの出目というものを扱いましょう。確率変数をなどと表現しておきます。確率変数は観測してみるまではどの結果を返してくるかは分かりません。ランダムにいくつかの選択肢の中からどれかの値を取るということになります。ここでいうランダムというのは、本当に何の意味もなくどれかが適当に出てくるというわけではありません。どれかが出やすくてどれかが出にくい。規則性があるが、その規則に従った結果、どれかがランダムに出るということです。確率質量関数ランダムに値を取る確率変数に対して、ある値の出やすさを数値化しなければなりません。それが確率と呼ばれるものになります。値を取る確率を表現します。6個考えることができます。書くことができますね。実現値であり、実現値を文字で置いておくことで、具体的な値を渡すのを後回しにして、サイコロの出目の確率を一般的に表しておくことができるようになります。定義するという意味)を確率質量関数と言います。とあるサイコロについて、もしかしたら製造ミスで重心がずれている可能性もあります。いう場合は、確率変数を何度か観測することで、確率質量関数を特定していく必要が出てきます(そもそも、本来、現実の確率変数の規則性を予め知っていることなんて殆ど無い)。いう具体的な確率を表しています。したがって確率質量関数を見れば、どの値が出やすく、どの値が出にくいのかの全ての情報が手に入ります。その確率だとか、あるいは確率質量関数だとか言ってしまうことも多いです。ココらへんは文脈で使い分けていきましょう。なければいけないためとなっています。具体的な値を入れた場合は、それ自体が確率変数がその具体的な値を取る確率を表しているためであることも重要です。値を取るケースを考えてきました。一方で、気温などは連続的な値を持っており、非常に細かく変動します(そして、その変動の範囲も基本的には定かではない)。このように連続的に値を取る確率変数を連続確率変数と言います。鋭い人の場合は、「気温」というのは確率的に決まっているんじゃなくて、物理的な現象によって決定論的に決まっているんだ!と思うかもしれないですね。しても、その物理的な詳細に立ち入らず、観測だけから規則を定量的に評価しようという場合には、その観測対象を確率変数として扱います(したがって、回路に流れる電流などを確率変数だと思っても良いんです。これはもはや人間側の姿勢の問題である)。確率密度関数の例をWikipediaから引っ張ってきて貼ります。値が高いところほど、出現確率が高いことを表すのは同じです。緑でと青では出現確率が高い値が全く違いますし、赤と青では、出現する値の散らばり具合が違う様子がわかります。ここまでは離散確率変数に対して確率質量関数を考えてみたのと同じ流れですが、確率質量関数と確率密度関数では大きな違いがあります。確率質量関数とは異なり、必ずしもとはなりません。ケースが有るということです。ここで勘違いしてならないのは、「確率が1を超えるなんておかしいじゃないか!?」という指摘は的はずれであるということです。具体的な値を入れたら、確率になるということは一言も言っていないからです(ここが確率質量関数との大きな違い)。中に収まる確率というものを考えることになります。なる確率というものを考えたりはしないのです。ある確率なんてものを考えても、あまり意味はありません。いう値は、もはや別のものであるため、ドンピシャの値になる確率は異常なほど小さくなってしまうからです。そこで、例えば、株価が1780円〜1785円の間に収まる確率は○○などと表現することになります。収まる確率は1になります(これの外に値を持つことなんてありえないですよね)。対して初めてと書かれることになります。連続確率変数に対する確率は、確率密度関数の面積を求めることで確率を表すこととなる。分は、きっとグラフの見えない違う場所にあるのであろう)。確率密度関数と確率質量関数の名前についてなぜ、こんなややこしい名前をつけているのかを一応説明しておきます。実は意味が分かるとこれほど明解な命名はありません。ある原点からの位置だとしましょう。