「アキレスと亀」はこの項目へ転送されています。(映画)」をご覧ください。この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(2015年10月)この記事には独自研究が含まれているおそれがあります。問題箇所を検証し出典を追加して、記事の改善にご協力ください。議論はノートを参照してください。論があったと伝えられているが、本人の書は失われ、断片が残るだけである[1]。アリストテレスが『自然学』の中で、ゼノンに対する反論として引用した議論が、比較的詳しいものであり、重要なものとして取り上げられてきた。そのなかで運動のパラドックスと呼ばれるものは、運動があるとするとこのような不合理が帰結すると論じられた。シンプリキウス(英語版)がアリストテレスを注釈しつつ他の議論に触れているものおよびその他の断片から、多(多数性plurality)の議論もいくつか残った。外部リンク多のパラドックス[編集]プラトンは、対話編でゼノンに次のように語らせている。「そこでわたしのこの書物は、それら存在の多を主張する人たちに対する反論の形をとることになる。かれらにも同じ難点、いや、もっと多くの難点があることを返礼として指摘してやるのです。かれらの考え方の前提となっている、もしも存在が多ならばということは、これにひとが充分な検討を加えるなら、存在を一であるとする前提(仮定)よりも、もっとおかしな事を許容しなければならなくなるだろう、ということを明らかにするのがこの書物のねらいなのです。以下は、多とその他の論考を、断片などから再現しパラドックス風に整形したものである。似て且つ似ていない存在が多であれば、果然それは似ていて似ていないということにならなければならない。[3]なぜなら、と続けるプラトンは、この説が受け入れられると「存在の多」が否定されると確認する。この説の前提を自説のイデアの分有論によって否定、と議論を続ける。そこには、ゼノンの立論そのものの解説はない。大であり且つ小であるもし多くの事物があるならば、それらは小さく且つ大きくなければならない、サイズがないほど小さく、制限されないほど大きく。[4]限定され且つ無限定であるもし多くの事物があるならば、それらはちょうどあるだけあるものでなければならない、多くでもなく少なくでもなく。ところが、事物の間には別の事物がなければならない。すべての事物についてそうなのだから、限界はない。粟(黍とも訳される)の一粒とその1万分の1の粒は落ちるとき音はしない。1万粒の粟の塊は落ちると音がする。あるなら、1万分の1の粒の1万倍である一粒も音がしなければならない。存在する物は、すべてある場所にある。それ故場所は存在する。あるなら、場所の場所も存在しなければならない。場所の場所の場所と、限界がない、故に場所は存在し得ない。[6]アリストテレスは「場所は、それのうちにあるものの質料でもなく形相でもなく、そのどちらとも異なるものであろう[7]」として、5章にわたって反論し、場所とは何かを論じている。運動のパラドックス[編集]アリストテレスが、自らの運動論の展開に利用し且つ対質しつつ伝えるゼノンの四つ議論[8]は、それぞれが、後世いろいろの解釈のもと論ぜられてきた。courseなどとも呼ばれるが、アリストテレスはもっとも力を入れ、繰り返し論じている。「アキレスと亀」は、もっとも遅い者の代表として、ウサギとカメのイソップ寓話の連想から古くから亀の名が登場している。二分法[編集]「まず第一の議論は、移動するものは、目的点へ達するよりも前に、その半分の点に達しなければならないがゆえに、運動しない、という論点にかんするものである」[8]。この文は二通りに解釈しうる。前進型解釈[編集]目的点の半分の点にまで到着したとしても更に残りの半分の半分にも、到着しなければならない。その残りの半分にも同様、と到着すべき地点が限りなく前に続く故に到着しない。運動はない、と見る解釈。後進型解釈[編集]目的点の半分の点まで到着するには、その前の半分の半分に着いていなければならない。その前の半分にも同様、と限りなく先に着いているべき点があり、一歩も進み出得ない。運動はない、と見る解釈。古代から後退型の解釈が優勢であったが、アリストテレスは、これはアキレスと亀と同じ論法であると述べていることからも、前進型と解していたと見られる[9]。アキレスと亀[編集]「走ることの最も遅いものですら最も速いものによって決して追い着かれないであろう。追うものは、追い着く以前に、逃げるものが走りはじめた点に着かなければならず、したがって、より遅いものは常にいくらかずつ先んじていなければならないからである、という議論である」[8]。あるところにアキレスと亀がいて、2人は徒競走をすることとなった。アキレスの方が足が速いのは明らか[10]なので亀がハンディキャップをもらって、いくらか進んだ地点(地点Aとする)からスタートすることとなった。スタート後、アキレスが地点Aに達した時には、亀はアキレスがそこに達するまでの時間分だけ先に進んでいる(地点B)。アキレスが今度は地点Bに達したときには、亀はまたその時間分だけ先へ進む(地点C)。同様にアキレスが地点Cの時には、亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレスは亀に追いつけない。ゼノンのパラドックスの中でも最もよく知られたものの一つであり、多数の文献は彼の手に帰しているが、歴史家パボリノスの説によれば、この議論を創始したのはパルメニデスであるという[11]。その議論やキャラクターの面白さから、アキレスと亀という組み合わせは、この論自体とともに多くの作家に引用された。ルイス・キャロルの『亀がアキレスに言ったこと』や、ダグラス・ホフスタッターの啓蒙書『ゲーデル、エッシャー、バッハ』に主役として登場する。飛んでいる矢は止まっている[編集]「もしどんなものもそれ自身と等しいものに対応しているときには常に静止しており、移動するものは今において常にそれ自身と等しいものに対応しているならば、移動する矢は動かない、とかれは言うのである。[12]」アリストテレスは続けて、「この議論は、時間が今から成ると仮定することから生ずる」と述べている。この言から、ゼノンも「時間が瞬間より成る」を前提としていると解される。瞬間においては矢は静止している。どの瞬間においてもそうである。いう事は位置を変える瞬間はないのだから、矢は位置を変えることはなく、そこに静止したままである。ゼノンの意が単純にこうであったのかは確定的な事ではない。競技場[編集]第四の議論としてアリストテレスの伝えるところは、先の三つとは異なり、ゼノンの論として不明確なところがあって、解釈が分かれる。アリストテレスによる説明[編集]第四の議論は、競走場において、一列の等しい物塊の傍を、反対方向に、一方は競走場の終点から、他方はその折返し点から、等しい速さで運動する二列の等しい物塊にかんするものである。この議論では、ゼノンは、半分の時間がその二倍の時間に等しいという結論になると思っている。ところで、この論過は、等しい大きさのものが自分と等しい大きさのものの傍を等しい速さで移動するさいには、後者が運動していても、静止していても、要する時間は等しいと考えているところにある。これは偽りである[13]。「例えば」として、アリストテレスが以下に続ける文章は、解釈を加えたうえで、補わなければ意味が通らない[14]。「列ΑΑ」と2物塊(或いは線分)で説明されているが、ここでは3ブロックに変え、事態を表す[15]。A:競技場、B:右方向へ移動するブロック列RQP、Γ:左方向へ移動するブロック列XYZとして、初期状態は、ΒとΓの先頭PとXがΑの中間ブロックに並ぶ。B、Γそれぞれが移動を開始し、次のように、Βの先頭PがAの右端に、Γの先頭XがΑの左端に並んだとする。XYZこのとき、B、Γそれぞれは、Aに対しては1ブロック分しか移動していないが、互いには2ブロック分移動している。この事態をゼノンは次のように説明している、とアリストテレスは言う。ΓはBの傍らを2ブロック分移動したのに対し、BはAの傍らを1ブロック分しか移動していない。したがって、Bの要した時間は、Γの半分である。しかるに、BとΓは共にAの終端に達しているのだから、Bの要した時間は、Γの要した時間に等しいはずである。半分の時間はその二倍の時間に等しい、ということになる。諸種の解釈[編集]アリストテレスは、図式的に示すことで、相対的には倍速になることは自明であるとしている。ゼノンは相対速度を知らなかったのか。見るかで、解釈は分かれる。(1)アリストテレスの言そのままに、相対的な速度を知らず、一事象に二つの時間がある矛盾、との説をゼノンのものであると解する。その説は、時間を等しいとするならば、BがAの傍らを通過する距離が、BがΓの傍らを通過する距離に等しい、すなわち距離1=距離2という矛盾になる、とも受け止めうる。(2)アリストテレスは伝えていないが、2分割と同様の議論を含めていたとの見方もある[16]。以上とは異なり、原子論的見解に対する論難であるとする解釈も多くなされる。ゼノンが上記の説明図を基に論じたとして、時間・空間が不可分割な単位を持つとする見解は、次の様なパラドックスをもたらす、と解する。(3)1ブロック分の移動に1最小単位時間を要するとするなら、Bは、Aに対し1単位時間、Γに対し2単位時間を要することになり、1単位時間=2単位時間という矛盾である。時間を等しいとすると、Aに対する距離(ブロック数1)とΓに対する距離(ブロック数2)とが等しいことになる。上図に現れない次の第三図のケースを問題としていたとする解釈もある[17]。下図の位置に関して、論理的には二種の解釈がありうる。(4)時間が、不可分な最小単位時間から成るとし、第一図から第二図へが1最小単位時間の移動であるとするなら、第三図に於けるPとYあるいはQとXが並ぶ瞬間▽は存在しない、ということになる(相対運動に於ける時間の不連続性を容認)。在るとするなら、最小単位時間に挟まれる瞬間▽がなければならず、不可分の最小単位時間と矛盾する。(5)距離(延長)が、不可分な最小単位から成るとし、第一図から第二図へが1最小単位距離の移動であるとするなら、第三図に於けるPとYあるいはQとXが並ぶ地点▽が存在しない、ということになる(相対運動に於ける空間の不連続性を容認)。在るとするなら、分割点▽が存在しなければならず、不可分な最小単位距離と矛盾する。Z運動のパラドックスの数学的解説[編集]ゼノンの指摘は運動を位置関係で捉えているが、後世の数学はそれらを時間と距離との関係として捉え返す。以下は、1次元実数空間上の運動であると仮定する。二分法[編集]異なる二点に中点が存在することだけで、目的点に着かないと論ぜられている。数学的にみるなら、運動としての条件が不足している。入れ、運動速度を勘案すると、二種類の事例がみられる。目的点に着かない例、減速運動で、半分の点に着くと速度も半分になるとする。次の半分の半分の点に着くと更に速度も半分と、次々と減速していく運動であるとする。各々の過程は直前の半分の距離を半分の速度で運動するのだから、各過程の経過時間は同一になる。したがってその積算は、無限大に発散する。よって、決して静止しないにも拘わらず、到着には無限の時間が必要となる。アリストテレスは、「有限な線距離を無限な時間において運動することは不可能である、」[18]と断定しており、この事例には考えが及ばず、それはアキレスの件の考察にも関わる。目的点に着く例、運動が等速度とするならば、半分、更に残りの半分の半分と進行していく各過程の経過時間の積算は、コーシー列となる。よって積算は上限を持ち、到着すると言いうる。アキレスと亀[編集]二つの条件(亀がアキレスの前からスタートする、亀はアキレスより遅い)の下において、追付くか否かが問題とされている。純粋に数学的に見れば、この条件下では、それは定まらない。ゼノン式に捉えたとしてもそれは同じである。従って、ゼノンの誤りは、何れとも決せられないことであるのに、一方を断じていることである。そのことは、アリストテレスを始めとする、ゼノン式の捉え方そのものが問題を孕むのだとする論議は、追付かないケースもある事を見ていない限りにおいて、何処かに問題を孕んでいる可能性があることを示唆している。追付かない事例は、亀がアキレスより遅い事を維持しつつ、両者の速度差が急速に縮まる設定にすれば、亀に追いつくまでのゼノン式捉え方での時間の積算が発散する事例を作ることが出来る。この事例は、古代ギリシャ時代の数学では困難であったかも知れない。追付く事例も無数に作りうる。両者がそれぞれ等速度で動くと仮定すると、亀に追いつくまでの時間のゼノン式捉え方での各過程の経過時間の積算はコーシー列となる。よって上限を持ち、追付くと言いうる。この仮定の下での計算例を、以下参考に示す。