項が無限に続き、「常にいくらかずつ先んじて」いるかに見える。{L}{v}}}となる。(=各経過時間の積算の上限)となる。このように級数の収束の問題に還元される。vt=L+rvt}の解と一致している。飛んでいる矢は止まっている[編集]アリストテレスは、時間が「不可分割的な今から成るのではない」[19]としてゼノンを否定する一方、「今においては運動も静止もありえない」[20]として、疑似的な論議と見ている風もある。数学的に見れば、瞬間においては運動も静止もないと見ることも可能であるが、同時に、運動方程式は瞬間における速度を示し得るのであって、言葉の定義の問題に過ぎない。前者の否定は成り立たない。時間が瞬間より成るとしても、運動は否定され得ない。時間が連続体であれば、時間が瞬間=点よりなり、矢が瞬間=点においては静止しているとしたとしても、動くことは出来る。近代解析学においては、ゼノンの結論は否定されるが、アリストテレスの論議も否定される。哲学的解釈[編集]ゼノンの議論は、プラトンが伝えるように、当時から哲学者たちに注目されて来た。いかなる価値があると見るかは別として、歴史上そうそうたる顔ぶれによって取り上げられ、論じてられて来た。どの議論を取り上げるか、またそれが何を論じていると見るかなど、解釈の違い、関心の持ち方はさまざまではあったが、特に運動のパラドックスは、多様な論議が古代から現在まで続いている。アリストテレス[編集]アリストテレスは著書でゼノンの議論をいくつか取り上げているが、後世もっともよく論じられたのは運動のパラドックスに関するものである。アリストテレスは、運動の否定という結論は退けるが、連続に関わって、運動は時空間が無限分割可能であるとして捉えうるとの論証を支える一つとして、ゼノンの議論を持ち出している。否定されるのは運動ではない。パラドックス(飛ぶ矢)の成立は、不可分割的な長さ・時間という前提がある故であるから、その前提が否定される、としている。分割が無限に可能ならば、無限の問題を解かなければならない。「ゼノンの議論も、有限な時間において、無限なものども〔点〕を通過することができない、あるいは、無限なものどもと一つ一つ接触することができないという誤った仮定に立っているのである。...有限な時間においては、...分割にかんして無限なものどもと接触することはできる。[21]」と言い、無限分割される空間には無限分割される時間が対応する、とする。つづけて彼は、有限なものには有限な時間で通過できるとの論証を試みている[22]。人々は、或る距離の「全距離を通過したとすれば、無限な数を数えおえたことになるだろうが、これが不可能なことは広く承認されているところである、と考えるのである。[23]」と言い、これに答えて言う。一つの線分が二分割の集積として完全現実的にあるとする者は、分割点を始点と終点と二つに数えて、「運動を連続的ではないものとし、停止させることになるだろう。「それゆえ、時間においてにせよ、長さ〔距離〕においてにせよ、無限なものどもを通過することができるかどうかを質問する人にたいしては、或る意味ではできるが、他の意味ではできないと答えるべきである。無限なものどもが完全現実的にあるとすれば、それらを通過することは出来ないが、可能的にあるとすれば、通過することが出来る。いうのは、連続的に運動する人は、付帯的な意味で無限なものどもを通過し終えたのであって、無条件的な意味で通過し終えたのではないからである。いうのは、半分なものどもが無限にあるということは、線にとっては、付帯的なことに過ぎず、その実体すなわちそのあり方は、それとは異なっているからである。[24]」と、論じている。「以上述べた議論や何かそれに類した議論は、直線運動は連続的ではなく円運動のみが連続的でありうるというここでの論点を人が確信するための適切な議論であると言えよう。[25]」としている。近代まで[編集]この節の加筆が望まれています。レオナルド・ダ・ヴィンチは、「点とはありうるかぎりのものよりさらに小さいものであり、線はその点の運動によって作られる。次に面は線の運動から生れ、そしてその極限は線である。立体は(面積の)運動によって作られる。(そしてその極限は面である)(「手記」)」と語っている。スピノザは「持続が瞬間から成るとの主張は、悟性によって把握される不可分な無限の量、表象能力によって把握される可分的な有限の量の両者が区別されないことに基づく」と指摘している。ヘーゲルはゼノンの議論を認めた上で、そこから帰結するのは、運動が存在しないということでなく、運動は定有する矛盾である[26]ということであるとしている。バートランド・ラッセル[編集]数学上の問題が一段落したのち、新たな見解がいくつか提案された。「したがって、ゼノンの議論は空間と時間とが点と瞬間で構成されているという見解に向けられているのであって、空間と時間の有限のひろがりは、有限の数の点と瞬間からなっているという意見に対する反論と同じように、ゼノンの論証は詭弁ではなく、まったく正しいのである、と私たちは結論することが出来る。逃れる道は、(1)空間と時間は点と瞬間で構成されているが、有限の空間的あるいは時間的区間に含まれる点や瞬間の数は無限であると主張するか、(2)空間と時間が点と瞬間で構成されていることを否定するか、(3)空間と時間の実在性を全面的に否定するか、といういずれかの方法に依らなければならない。時間の系列から見ると、アキレスと亀は1対1に対応する。アキレスが亀に追いついたなら、亀の通過した場所とアキレスの場所が1対1に対応する。異なる距離が1対1に対応するということになる。[27]このパラドックスは、集合論に於ける無限の定義によって、初めて厳密に解消された、と。ここでラッセルの言う無限とは、基数としてであって、単なる「限りが無いこと」ではない。「私たちは、矢が飛んでいる時には次の瞬間に矢が占める次の位置があるという想定を避けることは難しいと考えるのであるが、実際は、次の位置も次の瞬間も存在しないのである。[27]」ゼノンの指摘の通り、矢はある時刻にある位置にいる。いって動かないのではなく、「運動とは、時間と場所とに相関があって、異なった時点において異なった位置を占めること[28]」に過ぎない、とラッセルは言う。アンリ・ベルクソン[編集]この節の加筆が望まれています。ラッセルの言う(2)の見地から論じた者としては、ベルクソンが第一に挙げられる。ギルバート・ライル[編集]ライルは、「アキレスと亀」に関して、追いつく事例においてゼノンの論が如何にして追いつかない様に見せているかを論じ、一つの解決を示した、とする。ケーキカットを例にとって、彼は説明する。常に一切れ残るように切れという指示であれば、キリがないと見えるが、それは残り一切れを足すとケーキ全体ができあがる点を見逃している。ゼノンの議論からすると、アキレスは亀との相対速度を知らず、常に前に居ると思わされている。「私たちはアキレスの眼を通してレースを見るように誘導されることによって、その知識〔ゴールまでの一部が残るだけであること〕を冷凍冷蔵庫に入れるように仕向けられたのである。」ゼノンの言う決して追いつかないと、数列の和が決して収束値に達しないとはまったく異なった意味である。[29]大森荘蔵[編集]大森は、「運動の時間的連続性がある限りゼノンの論法を避けることはできない。[30]」と論じ、続けて、「点運動とは矛盾を含んでいる」、「幾何図形の運動とは矛盾概念なのである。従って、点運動にもとづくゼノンの論法は、この矛盾として解消される。物理学・工学がこの矛盾から逃れているのは、それらが運動をではなく、静止図を扱っている限りであるに過ぎない、と言う。その点運動の逆理とは、点Xが動くということは、同一の点Xが始めは点Aと同一で、終わりには点Bと同一である、と言うことである。この逆理は、点時刻概念によってもたらされる[32]。それは、線形時間の刻み目として考えられたもので、経験的実用時間の「基準となるように考えられた理論的時間なのである。」「一言で言えば、この理論的時間は基本的自然法則を成り立たせるように思考された時間である。...それ故に科学理論の中では飛ぶ矢の逆理は生きているはずである。」「科学に飛ぶ矢の逆理から激しい症状が起きる可能性は常にある。スーパータスク論[編集]級数による「解決」或いはラッセルの言う無限数の導入によるという数学的な捉え方に対して、いくつかの疑問が提出される。マックス・ブラック(英語版)[34]等は、スーパータスク・無限作業の問題を提出する。トムソンのランプなど、無限の作業が完了したとすると説明の付かない事態が出来する。二分法に於いて、前進型で目的点に到着するケースにあたる無限数列Z={0,1/2,3/4,7/8,...}は、上限が1である。Zの各数に順にオンオフを対応させるとすると、上限1において到着するというならば、その時それはオンなのかオフなのか。どちらでもあり得ない、とジェームズ・F・トムソン(英語版)は言う。この例が、スーパータスクの自己矛盾性を証明しているか否かは、見解が分かれる。ポール・ベナセラフは、スーパータスク自己矛盾論者を、現代のエレア派と名付ける。「無限作業の完了」が、何を指しているかというところに難点があるとする。無限数列Zの各項に規定された関係が、上限においても規定されるとは論理的には言えない。従って、自己矛盾であるとの証明はなされていないと、彼はスーパータスク論を批判する。[35]野矢茂樹は、「時間・空間はそれ自身が語られる対象ではなく、何ごとかを語り出す形式にほかならない。」と言い、「点的な語り方では運動は語れない」とする一方、この無限作業の不可能性から次のように結論する。ゼノンが要求するのは、運動の記述として不可能なものであり、運動そのものは別様の表現が可能なのである。ゼノンの議論に従うなら、つまり無限分割の語りに従うならば、自然数を数え尽くすか、あるいは追い抜けないことになるかのどちらか、と見えるのは、その語り方の欠陥であるに過ぎない。「それはいささかも運動の不可能性を証明しはしないのである。」「運動と運動の語りを区別する観点」から、運動に対するゼノン式の記述の不可能性が示されたことを以て「アキレスと亀」はケリが付いた、[36]と。青山拓央は、しかし、野矢やライルは追いつくケースしか見ていない。論点先取の議論である、[37]と評する。経験・観測の問題として[編集]ウィリアム・ジェームズは言う。「ゼノンやカントの論理的矛盾は、定義によって、無限な項の系列が終点に到達しうるまでのあいだ継続的に数えられねばならない場合には常に真理である。」「ラッセルの説は真の困難をたくみにそらしているように思われる。」ラッセルは競争が終わったところから問題を見ているが、真の困難は「通過せねばならない間隔が永久に再生産され続けて進路を阻んでいる場合に、目標点に到達すること」に他ならない。連続量の持つ無限という問題を避ける手っ取り早い方法は、そうした概念を捨てること。「現実の変化の過程を連続的過程として扱うのでなく、有限な、無限小ではない段階によって起こるものとして扱えばよい。中村秀吉は、ジェームズに同意し、「自然はある意味で、無限の分割を嫌う。」「われわれは『自然は飛躍せず』のモットーを運動に具体化することによって、無限の操作を現実に必要とするような事態を経験的世界から放逐することができる。してゼノンの分割とアキレスと亀のパラドックスは成立しなくなるのである。」というのも、無限数列Zの各項にオンオフを対応させる無限に振動する連続関数はある。それは、上限において連続であっても、導関数は上限において連続にならず、実在の運動ではないと言える。Miller)は言う。時空間を、超準解析の定式化の一種である内的集合論(英語版)の中でモデル化することで、ゼノンの論駁から逃れる運動論を展開できる、とする。認識論的原理として次のものが置かれる[40]:物体が位置することのできる時空間の各点は実数値の座標によって記述される。我々は内的集合論の中でモデル化しているから、実数の中には無限小や無限大といった超準的な実数も含まれている。物体が超準的な座標を持つ点に位置するとき、その対象の位置は確証できない。点に位置すると我々は誤解するかもしれない。物体の運動は区別可能な2点に位置することによって確証される。正の無限小に変化するとしても、その物体が運動していることは確証されない。変化するならば、その物体が運動していると確証できる。この原則に基づけば、「私たちが観察できない状況に対しては説明する責任がない」、「チェックポイントの列の外にある微小世界での運動に関する仮説が成り立つ余地があり、...運動という考えを追放する理由はない。[41]」と主張する。山川偉也は、しかし、このような議論では、「ゼノンを論駁できないと思います[42]」と評する。問題でもあるとして、あるいは多のパラドックスと関係づけて、意味のあるものとして捉えようとする論考は、他にもいくつか提出されている。アドルフ・グリュンバウム(英語版)[43]、とかウェスリー・サモン(英語版)[44]らを挙げることができる。その他[編集]量子力学において、ある確率で放射性崩壊を起こすはずの不安定な原子核が、完全に連続した観測の下では崩壊を起こさないことを(ゼノンの議論と直接の関係はないものの)量子ゼノンパラドックスと呼んでいる。実際に、非常に短いスパンで観測を行うと、原子核が本来予測されるよりも低い確率で崩壊することが実験で確かめられている。これは量子ゼノン効果と呼ばれる。山川偉也『ゼノン4つの逆理』第3章p89より。前進型・後退型も同書による。4-00-336633-6。スタンフォード哲学百科事典「ゼノンのパラドックス」の項目。何の日(2月28日)劉邦が皇帝に即位。漢が建国(紀元前202年)スコットランドでチャールズ1世の教会政策に反発して国民盟約が結成(1638年)イングランド国教会の司祭ジョン・ウェスレーがメソジスト運動を開始(1784年)米で共和党結成(1854年)マダガスカルを占領したフランス軍が、メリナ王国最後の国王ラナヴァルナ3世(英語版)をレユニオン島に流し退位させる(1897年)イギリスがエジプトの独立を承認(1922年)ウォーレス・カロザースがナイロン6,6(ナイロン)を開発(1935年)台湾:二・二八事件(1947年)吉田茂首相が衆議院予算委員会で「バカヤロー」と発言、バカヤロー解散のきっかけとなる。