これをみて、すでに吐き気がする方もひとつずつ順を追って説明していきますので、ご安心ください。誰が読んでも理解できることを目指していますので、分かりにくい、理解できない等ありましたら、お気軽にコメント頂けると幸いです。本記事は以下の書籍を参考にしています。単行本(ソフトカバー)平均を文字で表す平均と分散を考えるにあたり、よくあるテストの点数の例題を用いて考えてみます。これはある高校のAクラスのテストの点数一覧です。このAクラスの平均点を求めてみます。53,32])(48+53+66+48+53+32)/6>50.0#もしくはnp.mean(test)>50.0さて、ここで数式を文字で表すことに慣れていきましょう。このクラスは出席番号は1~6の6人とします。このクラスの人数をnとします。このnをみたら頭の中で6と置き換えてください。次に出席番号をiとします。i=4と書いてあれば、出席番号4番の生徒を表します。テストの点数はxとしましょう。みたら、出席番号4番の生徒のテストの点数を表すことになります。ここで、平均値を算出するための式を文字を使って書き直してみます。?先程の式と見比べて見ればそれほど難しくないと思います。新たな文字を使って式を書き直してみます。すべて足せ"という意味の数学記号です。しているので、平均値の式ですね。期待値ってなんだっけ?さて、次は平均がE(x)を表される由縁についてご説明しましょう。E(x)のEはExpectのE、つまり期待を表し、E(x)はxの期待値という意味です。ここで期待値について復習しておきます。期待値はおそらく中学校ぐらいで習うかと思いますが、例えばこんな問題があります。サイコロを振ってでた目が1か6であれば、500円、それ以外であれば100円が貰えるというゲームがあります。このゲームの参加費がいくらであれば、参加したいと思いますか?このゲームに参加するに当たり、平均的に貰えるであろう金額が期待値です。全ての金額で求め、それを足し合わせることで計算されます。すると貰える金額の期待値は、500*(2/6)+100*(4/6)>233.3333となります。このゲームでは平均的に233円貰えることが期待されるので、参加費が233円以下であればこのゲームに参加することで得をする可能性が高いことになります。ここでも期待値の式を文字に置き換えてみましょう。貰える金額をxとし、xが出る確率をProbabilityのPを取って、p(x)とします。貰える金額500円、100円に番号をつけ、それぞれ1、2とします。これらを使って、期待値の式を置き換えてみましょう。?先ほどまでのことを使えばそこまで難しくないと思います。平均から期待値へさて、平均値の話をしていて、なんで期待値が出てくるの?と思った方、実は平均値と期待値とはとても関係が深い、いや、平均値と期待値は同じ概念なのです。最初のテストの話に戻りましょう。このテストの平均値問題を、このテストで平均的に期待される点数は何点なのか?という問題に置き換えてみます。するとこのテストの点数の期待値は、と期待値の式を同じ形で表すことができます。実は、平均値とは出る値の期待値のことだったのです。表すことができるようになりました。平均値は期待値と同じであるという考え方は、今後、統計や機械学習を学ぶ上でとても重要になるので、しっかりおさえておきましょう!分散を文字で表すお次は分散についてご説明していきます。分散とはずばり、データのバラツキの平均値のことです。下の図をご覧ください。どちらも平均点が50点の集団を表していますが、各個人で見てみると上の集団では、ほとんどの人が平均点の周りに集まっているのに対して、下の集団では、0〜100点までの間で、散らばっています。この散らばり具合を表すのが、分散になります。分散は平均値だけでは分からないデータのバラツキ具合を表すのに最適な指標となっています。分散は平均値から遠いところにいる人が多いほど(つまり、バラツキが大きいほど)値が大きくなる指標ですので、まずは各個人の点数から平均値を引き算します。イメージは以下の図のような感じです。この矢印が長い人が多ければバラツキが大きいことを表すので、これを足し合わせれば良さそうですが、点数から平均値を引いているので、平均値より右側の0~50点の間にいる人はマイナスの値となり、単純に足し合わせてしまうとプラスとマイナスで値を打ち消しあってしまいます。そこで、値の2乗を足し合わせることにします。(絶対値でも良さそうですが、2乗にすることで何かと便利なことが多いので、数学のお作法だと思って勘弁しましょう。)せっかくですので、文字を使ってみましょう。(48-50)^2+(53-50)^2+(66-50)^2+(48-50)^2+(53-50)^2+(32-50)^2>606#もしくはsum((test-mean(test))^2)(48-50)^2+(53-50)^2+(66-50)^2+(48-50)^2+(53-50)^2+(32-50)^2>606#もしくはnp.sum((test-np.mean(test))**2)ちなみにこの2乗して足した値を平方和と呼びます。分散とはバラツキの平均値ですので、6で割って平均にします。分散は英語でVarianceなので、そのVを取って、点数xの分散をV(x)と表せば、と表すことができます。ここまでで、分散の基本的な理解は十分ですが、さらに踏み込んで、平均値は期待値と同義であることを先ほどご説明しました。期待値であるとも言えます。これを展開していくととなり、xの2乗の平均値から、平均値の2乗を引いた値が、分散になることを表しています。上記の展開は分かりにくいかもしれませんが、定数の期待値はその定数の値となる(例えば6の期待値E(6)は6となる。)ことを利用し、E(x)は定数ですので、E(E(x))=E(x)であることが理解できれば、そこまで難しくない式展開です。文字で数式を書くことに慣れていきましょう。mean(test^2)-mean(test)^2>101np.mean(test**2)-np.mean(test)**2>101となって、分散が上記の式で表されることが分かりました。まとめ今回は、数学を学ぶ上でまず第一のハードルとなるの数を文字で表すことについて書いていきました。統計学や機械学習では、数学は目的ではなく、手段となりますので、大まかな概略を理解したら次へ進んでいくというのがコツになります。次回は、関数と微分を扱っていきます。www.medi-08-data-06.work※本記事は筆者が個人的に学んだことをまとめた記事なります。所属する組織の意見・見解とは無関係です。数学の記法や詳細な理論、用語等で誤りがあった際はご指摘頂けると幸いです。参考データサイエンスで必要となる数学がほとんど網羅されています。方には、少し難易度が高いですが、数式の導出など丁寧にまとめてあり、脱初心者を目指す方にはとてもおすすめです。単行本データサイエンスを学び始めて右も左も分からなかったときこの本に出会い、”統計、機械学習を学ぶための数学を学ぶ本”というコンセプトがぴったりで感動した。今、読み直してみるとさらに理解が深まり、データサイエンス数学入門書としては間違いなくおすすめです。はてなブログPro大学院で疫学統計を学んでいます。初心者目線から統計学、機械学習など学んだことをまとめていきます。medi_data0826スターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。