問題[空間図形(整数の性質)]一辺の長さが1cmの白い立方体Aがたくさんあります。この立方体を積み上げて、一辺の長さがアcmの立方体Bを作ります。立方体Bの6つの面のうち、イ面だけをペンキで赤く塗ってからバラバラにしたところ、ペンキが塗られていない立方体Aは全部で1200個あったそうです。立方体Bの1辺の長さをncmとします。X、Y、Z方向にそれぞれ2面ずつありますが、そのうちx、y、z面にペンキを塗るものとします。(0≦x、y、z≦2)このとき、ペンキが塗られないで残るのは、辺の長さが(n-x)、(n-y)および(n-z)cmの直方体となり、この中には立方体Aが(n-x)(n-y)(n-z)個だけ含まれています。(1)でなければなりません。1200=12×10×10だから、(1)を満たすものとして、n=12、(x、y、z)=(0、2、2)が考えられます。このとき、ペンキを塗った面は、x+y+z=4面となります。これ以外に条件(1)を満たすものがあるでしょうか?n1=n-x、n2=n-y、n3=n-zとおいて考えてみましょう。(2)と書き換えることができます。ところが、113=1331>1200>103=1000なので、(3)を満たすのは、n=12、またはn=11に限られます。(�T)n=12のとき(2)より、12≧n1≧n2≧n3≧10となりますが、11は1200の約数ではないので、n1、n2、n3は12または10となります。n1=n2=n3=10とすると、n1×n2×n3=103=1000となり不適、よって、いずれか1個は12でなければなりません。従って、3個のうち最大のn1が12と決まります。よって、n2×n3=1200÷12=100となり、n2=n3=10と決まります。従って、1200>103=1000≧n1×n2×n3となり不適です。以上から、題意を満たすものは、n=12、n1=12、n2=n3=10に限ることが分かります。解答例1で(n-x)(n-y)(n-z)の組み合わせは、x、y、zの3個について、0、1、2から重複を許して選ぶ重複組み合わせ3H3=3+3-1C3=10通りあります。解答例1同様、n=12、またはn=11に限られることが分かるので、それぞれについて10組の積の値を計算してみます。12×10×10のみであることが分かります。解答例3DrKさん、ほげさん、小学名探偵さん、他ここでは、一般的に与えられた整数Nが、因数間の差が2以下の3つの整数の積で表されるとき、その表し方は一通りしかないことを背理法で証明してみましょう。N=n1×n2×n3=M=m1×m2×m3(ただし、n1≧n2≧n3、n1−n3≦2、m1≧m2≧m3、m1−m3≦2、およびn1≧m1)と2通りに表されたとします。解答例2の図2で、n≧3のとき、常にN1>N2>N3>・・・>N10となることを確認します。各因数の大小関係より明らか(�T)n1≧m1+2のときn1>m1、n2、n3≧n1−2≧m1≧m2、m3より、N=n1×n2×n3>m1×m2×m3=Mとなり、不適。(�U)n1=m1のときn=n1=m1とすると、N、Mは図2のN1〜N10のいずれかとなるが、(**)よりN=Mならば、(n1、n2、n3)=(m1、m2、m3)となって、不適。(�V)n1=m1+1のときNはN1、N2、N3、N4、N6、N8のいずれか、MはM1、M2、M3、M4、M6、M8のいずれかになります。ところが、M1=N5、M2=N7、M3=N9なので、N=Mとはなりません。