[整数の性質]1番から2000番までの番号のついたランプがあります。押すたびごとに、ランプが点灯⇔消灯を繰り返します。現在、全てのランプが消えている状態で、これから、次のような作業を行います。1の倍数のスイッチを押す。2の倍数のスイッチを押す。3の倍数のスイッチを押す。4の倍数のスイッチを押す。・2000の倍数のスイッチを押す。)にあてはまる数を求めなさい。解答例(マサルさん)例えば、12番のランプについて考えます。このランプのスイッチが押されるのは、12の約数である1、2、3、4、6、12の各作業を行ったときです。いうことは、となって、結局最後には消えていることになります。このことから分かるのは、スイッチは、その番号の約数の作業のときに押される。約数が偶数個あるときには、消灯した状態で終わる。そこで、”約数の個数”について考えてみると、例えば12の約数は6個です。この数え方は、上図のようにすると漏れがありません。ある約数に対してかならず「掛けて12」となる相手を探してやるわけです。すると、全ての数は約数が偶数個であるかと思われますが、実は例外があるのです。6×6=36のようになる場合、当然約数は奇数個になります。同じ数を2回掛けてできた数の約数は奇数個であることがわかります。解答ですが、このような数が2000番までに何個あるかを調べればよいことになります。ここで、43×43=1849、44×44=1936、45×45=2025ですから、1×1〜44×44がこの条件にあてはまることになります。