問題[平面図形]左図のような、正方形ABCDがあります。いま、CBの延長上に点Pを、辺CD上に点Qを、BP=DQとなるようにとったところ、PQ=10cmとなりました。PQとABの交点をRとすると、△PBRの面積は1cm2となったそうです。このとき、四角形ARQDの面積を求めてください。他多数APとAQを結んで△APQに着目してみましょう。△APBと△AQDについて、PB=QD、AB=AD、∠ABP=∠ADQ=90°より、二辺挟角が等しいので合同。よって、AP=AD、∠PAB=∠QAD。従って、∠QAP=∠PAR+∠PAB=∠PAR+∠QAD=∠BAD=90°。よって、△APQは直角二等辺三角形となります。△APQ=5×5=25cm2。四角形ARQD=△ARQ+△AQD=△ARQ+△APB=△ARQ+△APR+△PBR=△APQ+△PBR=25+1=26cm2と求まります。問題の図形を90度ずつ回転しながら4個くっつけてみます。PB=QDより、P1とQ、P2とQ1、P3とQ2、およびP4とPはそれぞれ一致します。よって、R1、R2、R3は、それぞれQQ1とDA、Q1Q2とD1A、およびQ2PとD2Aの交点と一致します。従って、四角形PQQ1Q2=四角形ARQR1×4となります。四角形PQQ1Q2は正方形と分かります。よって、正方形PQQ1Q2=102=100cm2。四角形ARQD=四角形ARQR1+△QDR1=正方形PQQ1Q2×1/4+△PBR==100×1/4+1=26cm2と求まります。解答例3信三さん、M.Hossieさん、あささん、他x=PB、y=BCとします。題意より、DQ=x、QC=DC−DQ=y-xとなります。△QPCは直角三角形だからピタゴラスの定理より、PQ2=PC2+QC2よって、102=(x+y)2+(y−x)2従って、x2+y2=50となります。四角形ARQD=正方形ABCD−四角形RBCQ=正方形ABCD−(△QPC−△PBR)=y2−1/2×(x+y)(y−x)+1=1/2×(x2+y2)+1=1/2×50+1=26cm2と求まります。他x2+y2=50、1/2×(y2-x2)・{x/(x+y)}2=1より、(y,x)=(5.47,4.48),(6.82,1.88)を得ます。