†[定義]数といくつかの文字(不定元)との積で表された式を単項式という。そのうち数の部分を係数といい、掛け合わされている文字の総数をその次数という。次数は、そのうちの特定の文字についてのみ考えることもある。次数がnの時、n次式という。数字だけで文字のない-10という式もその値が0でない限り、0次の単項式と考える。そのとき、その数自体が係数である。0の次元は定義しないが、あらゆる数より小さい-∞の次元(-∞次元)と約束すると便利なことが多い。例:10x3は係数10、次数3の単項式である。[定義]単項式の式として表される式を多項式という。その中のひとつひとつの単項式をその項といい、定数のみの項を定数項という。その項の次元の最大をその多項式の次数という。その際、多項式pの次数をdeg(p)で表す。[定義]多項式の項のうちで、文字の部分(特定の文字のみについて考えることもある)が同一の項を同類項という。多項式において同類項をまとめてその係数を加算すること、係数が0の項を除くこと、さらに必要に応じて項を定められた順序に並び替えることを、多項式を整理する(または標準化する)という。多項式のおいては最高次数の項が重要な場面が多い。[定義]その最高次数を主項という。1変数のとき、あるいは特定の主変数にていて整理したときの主項の係数を主係数という。ちなみに、主係数が1(体における乗法の単位元)である多項式をモニック(端的)という。[定義](1)F[x]=「F上の全ての多項式の集合」={P(x);P(x)はF上の多項式}(2)Fn[x]=「ゼロ多項式と次数n以下の全ての多項式の集合」={P(x)∈F[x];deg(P(x))≦nまたはP(x)=0}[補足]F[x]は整数環Zとほぼ同じ性質を持つ環になる。†[定理]P(x)とQ(x)をF上の多項式とし、P(x)≠0,Q(x)≠0とする。このとき、次のことが成り立つ。体K上の多項式環K[x1,...,xn]が一意分解整域であることを証明することを目標にする。†[定理]体K上の多項式上の多項式環K[x]は素元である。[証明]既約元f(x)∈K[x]を取り、f|ghと仮定する。gはfで割り切れないとすると、fとgは互いに素なので、次が成り立つ。†[定理]体K上の多項式環K[x]は、一意分解整域である。[証明]整域と一意分解整域の関係と体上の多項式環は素元より、既約分解の存在を示せば十分。多項式f(x)∈K[x]が0でも単元でもないとすれば、fは定数ではない。fが既約であれば、f自身が既約分解である。fが既約でなければ、f=ghと分解し、g,hは定数でない多項式である。こんとき、g,hの次数はfの次数より低い。g,hが既約なら、f=ghは既約分解。g,hのどちらかが既約でなければ、再び次数の低い多項式の積に分解する。このような操作は有限回で終了し、既約分解に到達する。†[定義]一意分解整域R上の多項式f(x)=a0+a1x+...+anxn∈R[x]の係数の最大公約数GCD(a0,...,an)をfの内容といい、c(f)で表す。polynomial)であるという。原始多項式の積は、原始多項式である。g(x)=b0+b1x+...+bnxn(bi∈R)とする。Rの任意の素元をpとする。f(x)は原始多項式だから、p≠GCD(a0,...,an)よって、a0,...,anの少なくともひとつはpで割り切れない。そこで、初めてpで割れない係数をarとする。同様に、g(x)についても初めてpで割り切れない係数をbsとする。このとき、f(x)g(x)のxr+sの係数は、次の通り。arbsはpで割り切れないから、このxr+sの係数はpで割り切れない。pは任意なので、積f(x)g(x)のxr+sの係数はどんな素元pをとっても割り切れない。数学講座(2370d)。