theorem)は、全ての自然数が高々四個の平方数の和で表されることを主張する定理である[1]。これはフェルマーの多角数定理の四角数の場合に当たり、ウェアリングの問題の二次の場合に当たる。-)は自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数を与える定理である。{\begin{aligned}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=&(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4})^{2}\\+&(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\+&(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}\\+&(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{1})^{2}\end{aligned}}}により、各々高々四個の平方数の和に表される二数の積は高々四個の平方数の和に表される。従って、全ての素数に関して高々四個の四角数の和に表されることを証明すれば、全ての合成数も高々四個の四角数の和に表されることになる。2=1^{2}+1^{2}}より明らかである。p}について証明する。s_{1}}が存在する。k+1}が平方非剰余となるものが存在する。(-1)(k+1)}は二個の平方非剰余の積であるから平方剰余である。s_{1},s_{2}}が存在する。s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}+s_{4}^{2}=fp}は解を持つ。f=1}であることを証明する。f>1}を逆に仮定して背理法を用いる。f}を選んだという仮定に背く。{\;}}f^{2})}である。{s_{1}t_{4}+s_{2}t_{3}-s_{3}t_{2}-s_{4}t_{1}}{f}}\right)^{2}=ep}を得る。f}を選んだという仮定に背く。f=1}でなければならない。以上により、全ての奇素数が高々四個の平方数の和で表されることが証明された。全ての自然数は高々四個の正の平方数の和で表される。「高々」を外すと、四個の正の平方数で和で表されない自然数が無数に存在する。{\begin{aligned}&2^{2n+1}=(2x)^{2}+(2y)^{2}+(2z)^{2}+(2w)^{2}\\&2^{2n-1}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\\\end{aligned}}}であり、最終的に2=x2+y2+z2+w2となる正の整数x,y,z,wが存在することになる。それは明らかに不可能である。従って、22n+1は四個の正の平方数の和で表されない。同様に22n+13と22n+17も四個の正の平方数の和で表されない。この他に1,3,5,9,11,17,29,41も四個の正の平方数の和で表されない[2]。34以上の全ての自然数は五個の正の平方数の和で表される。34以上169未満の整数が五個の正の平方数の和で表されることは個別に確かめられる。{\begin{aligned}169&=13^{2}\\&=5^{2}+12^{2}\\&=3^{2}+4^{2}+12^{2}\\&=1^{2}+2^{2}+8^{2}+10^{2}\\&=1^{2}+2^{2}+2^{2}+4^{2}+12^{2}\\\end{aligned}}}であるから、N-169がk個の平方数の和で表されるときに169を5-k個の平方数の和の和で表すとすれば、Nが五個の正の平方数の和で表されることになる。}N}d}によって与えられる。シグマ記号は4で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。3)^{2}\\\end{aligned}}}であり、符号と順序を区別すれば96個になる。1971年10月15日、第2版、71-74頁。978-4-320-01001-7。訳、丸善出版〈シュプリンガー数学クラシックス9〉、2001年7月1日、38-40頁。978-4-621-06247-0。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。