上の可積分函数全体の成す函数空間は畳み込みを積として多元環を成す。(y)}で定義される。畳み込みのもとで結合可換多元環を成す。群環として見ることができる。これはバナッハ環を成す。f}を満たすものが存在する。フーリエ変換は畳み込みを通常の積に移す。)}が一意的に対応付けられる。プランシュレルの定理とフーリエ反転定理[編集]すでに述べたように、局所コンパクト可換群の双対群はそれ自身局所コンパクト可換群であり、したがってハール測度を(もっとはっきり言えば互いに正数倍の関係にあるハール測度の全体からなる族を)持つ。上のコンパクト台連続函数の集合への制限が等距線型写像となるようにすることができる。{G}})}に一意的に拡張することができる。双対群上のハール測度である。含まないことに注意が必要である。したがって、そのような稠密集合への制限にはいくつかの技術的な手法を用いなければならない。ハール測度の組が互いに対応(随伴、同伴)するということを、それらの測度に関する積分の下フーリエ反転公式が成立するということによって定める。上のコンパクト台付き複素数値連続函数に対して成立することを含意している。このフーリエ変換のユニタリ拡張を自乗可積分函数の空間上のフーリエ変換と考えることができる。双対群もそれ自身の逆フーリエ変換を持ち、それはフーリエ変換の逆変換(あるいはユニタリ性があるから随伴)として特徴付けられる。フーリエ反転公式の内容は次のように述べられる。}^{2}(G)}である。測度は対応するものをとる。measure}}}と置くことにより得られる。周期函数のフーリエ級数の係数の計算に特殊化される。有限群ならば離散フーリエ変換が得られる。この場合は直接証明するほうが簡単である。ボーアコンパクト化と概周期性[編集]ポントリャーギン双対性の重要な応用にコンパクト可換位相群の次のような特徴づけがある。離散群となることに同値である。対してボーアコンパクト化が定義される。コンパクトアーベル群と離散アーベル群の間のポントリャーギン双対性を用いて、任意の局所コンパクト可換位相群のボーアコンパクト化を特徴付けることができる。{H}}}はコンパクト群への射で、これが必要な普遍性を満たすことは簡単に示せる。圏論的考察[編集]双対群を函手性の観点からみることは有効である。局所コンパクト可換群が連続群準同型に関して成す圏を表す。上の恒等変換に自然同型である。この同型は、有限次元ベクトル空間(特別な場合として実または複素ベクトル空間)の二重双対と比べることができる。この双対性は離散群の成す部分圏とコンパクト群の成す部分圏を互いに入れ替える。