時代、とあるクラス仲間が熱心に部分分数分解していた。積しか登場しなかったはずではある。つの積バージョンの一例を計算していたのだが、次の式がターゲットだった。これは興味深いとその結果を持ち帰り、検算してみたところ、彼の計算ミスを発見するわけだが、結果として面白い規則性を発見することになる。なんということだろうか、二項係数の交代和のような何かが出てくるのだ。そこで、全貌を見るがためにこれの一般化を試みた。調和数列の項の積の部分分数分解を試みようという話である。証明まで一気にやってしまったのは覚えている。Wikipedia結果を先に書くと、より一般的な形として次のようになることが証明できた。これを変形することで一般性を失うことなく簡潔な表記ができることが今回わかった。ついて、次の等式が成り立つ。前者のパターンを証明したが、後者の公式を改めて数学的帰納法で証明するが、先にいくつかの道具を用意しておくことにしよう。とき、左辺について、また、右辺について、であるから、成り立つ。ときに成り立つと仮定すると、である。すると、左辺について、である。右辺について順を追って変形していく。ついて成立することが示された。今回示した公式の左辺は上昇階乗冪の逆数として書けて、である。Wikipediaここまでは当時の記述を書き直したものだ。今思えばこれが数学趣味の原点となった数式いじりなのだ。グーグル先生によると、背景として次のものが存在するらしい。でっち上げることを二項変換と呼ぶらしい。ついて、次の等式が成り立つらしい。