出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。order)は、推移的、反対称かつ完全な二項関係を言う。何れかが必ず成り立つ;が満足される。あるような不確定な状態は排除される[1]。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係で比較可能(英語版)であることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である[2]。出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は(完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で)全順序よりも弱い条件である。与えられた半順序を拡張して全順序をえることは、半順序の線型拡張(英語版)と呼ばれる。これは次の互いに同値な二種類の仕方で定義することができる。補関係(英語版)の逆関係であることを意味するものである。何れか一つのみが成立する。恒等性を付随する同値関係とする狭義弱順序(英語版)である。どれからでも他の三種類を導出することができるから、集合が全順序付けられることをいうのにいずれの関係を用いて定義・記述してもよい(特に広義か狭義かは記号で区別できる)。)は文字列全体の成す集合を全順序付ける。全順序集合の任意の部分集合は、もとの全体集合の順序をその部分集合に制限することで、全順序付けられる。順序数からなる任意の集合、あるいは基数からなる任意の集合。これらは単に全順序集合であるばかりでなく、さらに強く整列集合になる。上の全順序を誘導する。適当な順序数で添字付けられた全順序集合族のデカルト積は、その上に辞書式順序を入れることにより、それ自身全順序集合になる。アルファベット順に並べた任意の語の集合が全順序付けられることは、(スペースの記号をどの文字よりも小さいものとして加えた)アルファベットの集合の可算個のコピーからなる集合族のデカルト積に辞書式順序を入れることで理解できる。よって全順序付けられる。部分集合が存在することをいう)。上界を持たない最小の全順序集合である。上界も下界も持たない最小の全順序集合である。中で稠密となる最小の全順序集合である。順序位相(後述)に関して連結となる最小の非有界全順序集合である。順序体は定義により全順序である。chain)は、また適当な半順序集合の全順序部分集合に対しても用いられる。後者の意味での鎖はツォルンの補題で極めて重要な役割を果たす。この順序に関する鎖、すなわち包含関係に関する全順序部分集合になる。束[編集]全順序集合を特定の種類の束として定義することもできる。これにより、全順序集合は分配束になる。有限全順序[編集]単に要素の数を勘定する(英語版)ことにより、任意の空でない有限全順序集合が(従ってその任意の空でない部分集合が)最小元を持つことが確定する。任意の有限全順序は整列順序である。何れかの始片(英語版)に順序同型なることは、直接証明することもできるし、任意の整列順序が何れかの順序数に順序同型なることを見てもわかる。個からなる全順序から誘導される。始まるかは問わず)で付番するのが普通である。f(b))を射として、全順序集合の全体は半順序集合の圏の充満部分圏になる。このとき、二つの全順序集合の間の全単射な射はこの圏における同型射になる。Xなどと定義することができる。これらの開区間を用いて任意の順序集合上に位相を定義することができる(順序位相(英語版)の項を参照)。一つの集合上に複数の順序が定義されているとき、そのそれぞれから誘導される順序位相について考えることができる。順序位相も考えられる(今の場合は両者は一致するが、一般には必ずしも一致しない)。全順序の誘導する順序位相は、遺伝的正規であることが示せる。あるとは、空でなく上界を持つ任意の部分集合が上限を持つことをいう。完備となるような順序位相の性質についての結果はいくつもある。存在しないことをいう)。完備となる必要十分条件は、その順序位相に関する任意の閉有界集合がコンパクトとなることである。完備束を成す全順序集合はその順序位相に関してコンパクトである。)や、拡大実数直線はそういった例である。この二つの例の間には順序を保つ同相がある。