{V}}}の条件を満たす。F'(x)=f(x)}を満たす。y=f(x)}が成り立つ。見られる標準的な方法に従ったものである。あることを示せば十分である。任意にとって固定する。ここで、差を次のように書き直す。(f-g)^{*}(x)}で絶対値が上から抑えられる。連続性より極限をとると消える。上回らなければならない。任意だったので、この右辺はいくらでも小さくすることができる。これで定理が示された。証明に関して編集ハーディ=リトルウッドの極大函数についての評価式を示すのに用いられるという点で、ヴィタリの被覆定理(英語版)は本定理の証明の要になる。いくらでも近いものがとれるような集合族を用いてもそのまま成り立つ。このように取り換えてもヴィタリの被覆定理が同様に成り立つからである。議論編集この定理は微分積分学の基本定理の相似物ないし一般化である。微分積分学の基本定理は、リーマン積分可能な関数は、そのリーマン(不定)積分の導関数と同一である(equate)ことを主張する。この逆を示すこともできる。任意の微分可能な関数は、その導関数の「積分」と同一である。任意の導関数の積分可能性を保証するためにヘンストック=クルツヴァイル積分を考える必要がある。ルベーグの微分定理の特別な場合がルベーグの密度定理であり、これはルベーグ可測集合の指示関数に対し微分定理を適用したものである。