基本公式を見てきたが、実際に数値積分を行う際には基本公式をそのまま使うことはなく、さまざまな工夫を加えたものが実用ルーチンとして使用される。以下、いくつかの話題について掘り下げてみる。1/2)にすると誤差はおおよそ1/4になった。(Euler-Maclaurinの公式)。1/2になると誤差は1/4になる。微分不可能な特異点があったりするとこれが成り立たなくなることは基本公式の例題で見た。π/2]での積分を求めてみる。01372図からもわかるように、これは周期関数である。種々の公式で計算し、誤差をプロットすると次のようになった。意外にも台形則が最も速く収束した。下表のように桁違い(1/4と比較すると)に収束が速くなっている。0.0これは、周期性のある関数はその両端で微分係数が一致し、誤差を表す式(Euler-Maclaurinの公式)が0に近くなるためである。上の例では積分範囲が半周期であるが対称性があるためこの条件にあてはまる。このような場合には台形則が有効であることが知られている。ひとつ、無限積分の例を見てみる。15500関数形は次のとおりである。関数値は、x=8で-14乗のオーダー、x=10で-22乗のオーダーになっている。8]として計算してみると、次のようになった。ここでも台形則が一番速く収束し、N=12で最高精度に達した。減衰が速い関数では端ですぐに微分係数が0に近づくため、上の誤差を表す式が速く0に近づくと考えられる。このような無限積分に対しては、台形則が他の公式よりも精度が良いことが知られている。周期性のある関数の積分や減衰の速い無限積分に対して有効であることがわかったが、実際には台形則がそのまま使われることはない。台形則のこの特長は以下に示す変数変換による積分公式に応用されている。一般の積分を台形則が有効な積分になるように変数変換し、それに台形則を適用すれば性能の良い積分公式となることが期待できる。積分変数を変換する公式は次のとおりである。これにより、積分値が不変のまま被積分関数を変えることができる。適切なφ(t)を見つけることができれば効果的な公式を作ることができる。