暦学者で数学者の何承天は、分数による一種の内挿法である「調日法(中国語版)」を考案した。未知の実数をそれより大きい分数(強率)と小さい分数(弱率)で挟む。強率および弱率の分母どうし・分子どうしをそれぞれ足して新しい分数を作り、強率もしくは弱率と置き換える。この計算を繰り返すことで、未知数の近似値を求める方法である[11]。調日法で求めることができる[12]。ガウスの消去法に似た連立一次方程式の解法が述べられている[13]。ウィキソース.(訳)上等の稲が3束、中等の稲が2束、下等の稲が1束あり、これらの実を合わせると39斗になる。それぞれ2束、3束、1束であれば34斗となり、1束、2束、3束であれば26斗となる。それぞれの稲1束当たりの実は何斗か?代数的にはこの問題は三元連立方程式で表される。{\begin{aligned}3x+2y+z&=39\\2x+3y+z&=34\\x+2y+3z&=26\\\end{aligned}}}『九章算術』では、算盤上に4×3行列のような形式で並べた棒を数えることでこの問題を解いている[3]:143-151。アルゴリズムは以下の通りである。右列の一番上の値を中列にかける。上の値が0になるまで、中列から右列を繰り返し引く。手順により、右列を用いて左列を縮約する。された中列を用いて、左列をさらに縮約する。その結果三角行列のような配置が得られる。斗の値を得るのは容易である。Labbanによる開平法。ウィキソース.この計算アルゴリズムを以下に示す。(1)算盤の2段目(実(實))に数234567を作る。(2)平方根の1桁までを400と見積もり、1段目(商)の100の位に4を置く。(4)方法の4を2倍にして、1桁ぶん右に動かす(縦式を横式に変える)。(5)平方根の2桁目を8と見積もり、商の10の位に8を置く。(6)方法第1桁の「8」に第2桁の「8」をかけ、その積を実の「74」から差し引く。(7)次に、方法第2桁の「8」を自乗したものを、実の「105」から差し引く。(8)方法88の最終桁「8」を2倍して、最終桁を除いた「80」に加える。(9)方法を右に1桁ぶん移す。(10)平方根の3桁目を4と見積もり、商に記す。(11)方法の第1桁の9に第3桁の4をかけて、その積を実の「41」から差し引く。(12)続いて、方法の第2桁の6に第3桁の4をかけて、その積を実の「56」から差し引く。(13)さらに、方法の第3桁の4を自乗したものを実の「27」から差し引く。北宋の数学者賈憲(中国語版)は、開平計算の途中で「方法」を2倍する代わりに、効果は変わらないが「商」の1桁を「方法」に加えるアルゴリズムを発展させた。ウィキソース.(訳)問19:体積が1860867立方尺の立方体がある。現代の表記法では、この問題は以下のように書かれる。{\sqrt[{3}]{1860867}}=123}賈憲はホーナー法を単純化した開立法を発明した。右のアニメーションは賈憲のアルゴリズムで上の問題を解く手順を示したものである。代数方程式[編集]ホーナー法に類似した秦九韶の計算法。賈憲は以下の形式を持つ単純な4次方程式をホーナー法によって解く方法を考案した。x^{4}=a}南宋の数学者秦九韶は賈憲のホーナー法を発展させ、10次までの代数方程式を解いた。{1298025}{2362256}}}を求めるアルゴリズムを右のアニメーションに示す。この方程式は、算盤上に以下の表のように置かれた算木の配置から構成したものである。負係数)天元術[編集]天元術が用いられている李冶の『益古演段(zh)』。高次方程式の解法である天元術は12世紀ごろに生まれたと考えられている。このころ未知数の記号は用いられていなかったため、次数の順に並べた各項の係数を算木数字の列とすることで方程式を表現していた[6]:159。元代の数学者李冶は天元術の表記を洗練させた[7]。-x^{2}-680x+96000=0}は天元術では以下のように表される。それぞれの段の数字が未知数各次の係数を表す。1次の段には「元」の字を記す[7]。四元術[編集]元の数学者朱世傑は天元術をさらに発展させ、二元から四元までの代数方程式を扱う方法を考案した[7]。朱が著した『四元玉鑑(中国語版)』では四元はそれぞれ天、地、人、物と呼ばれていた。表し、いくつかの数式を例として算木式で表記する[1]:90。青版59〉、1974年。4004160596。11、平凡社、2005年、改定新版。楽しむ本』言視社、2016年。486565044X。第4巻』思索社、1991年、新版。4-7835-0193-9。