数学において、対象とする数理や図形が存在する舞台として、現実世界は必要としない。対象を頭に思い浮かべる主体としての、われわれ人間すら必要としない。円周率が3.14なにがしであるのは、宇宙が存在しようとするまいと、われわれが存在しようとするまいと、そうなのである。数学の舞台は、純粋理性によって、ものごとの合理性を明快に判断することのできる、抽象的な、絶対世界である。純粋理性とは、人間に備わった属性なのではなく、人間の存在を必要とせず、人間界から超越して切り離され、それ自体で独立してある、絶対論理を取り扱う機能である。ちなみに、短いスカートの裾とニーハイソックスのトップとの間に露出した脚を「絶対領域」と言い、これもまたひとつの理想様式である。ものごとを「それはなぜ?」「それはなぜ?」と問い詰めていくと、もうこれ以上「なぜ?」と問う必要もないくらい自明なことがらに行き当たる。相異なる二つの点が任意に与えられたとき、それらを通る直線を一本引くことができ、一本だけに限られる。いうのは、証明なしに正しいと認めちゃったところで、そうそう間違ってはいないだろうと思えるくらい、自明なことである。いうのを「公理」と呼ぶ。公理セットを出発点として、論理的な操作のみを用いて、正しい定理を次々に導出していく。正しいと分かっている命題から、論理を用いて、別の正しい命題を導出することを「演繹する」という。数学でとりうる方法論は演繹法である。数学の目的とするところは、公理セットから出発して、論理的操作によって、定理を次々に導出していき、数理体系を築き上げることにある。物理学とは、住んでいる世界がだいぶん異なるのである。●数学の強みのひとつは無限の場合を内包している点にある三角形の例をひとつ挙げてみよ、と言われる。理想の三角形はイデア界にしかないにせよ、現実界において、それっぽいものをひとつ紙の上に鉛筆で描いてみることはできる。正三角形を挙げたとしよう。3つの頂角のすべてが60°である。最初の三角形と異なる三角形をひとつ挙げてみよ、と言われる。最初に描いたやつと、頂角のひとつが1°だけ異なるものを描いてみればよい。3つの頂角は、それぞれ59°、61°、60°。今まで描いた三角形のどれとも異なる三角形を挙げてみよ、と言われる。最初のやつから2°ずらして、58°、62°、60°。ひとつ挙げよ、と言われる。ひとつ挙げよ、と言われる。...この作業は、永久に終わらない。整数の角度が尽きたところで、60.5°とか、60.001°とか、半端な角度はいくらでも作れる。すべての三角形を列挙し尽くすことは、できない相談である。数学には次のような定理がある。「任意の三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる」。一般的には、直線が3本あったら、交点は3つできる。これらが一致して、1点で交わっているというのは、非常に特別なことである。上記の定理は、すべての三角形について成立すると言っているのである。これは、ちゃんと証明できる。その道筋を実際に追うのは省略しますけど。ひとつひとつ例を挙げていくことで、しらみつぶしに確認しようとすれば、その例が無限にあるために永久に終わらないようなことであっても、論理の力を用いれば、包括的に扱うことができ、法則化することができる。これは、数学的にものごとを扱うことによって生じる強みのひとつなんじゃないかと思う。数学の定理は、無限の場合を内包していることがほとんどである。●しかしわれわれ自身の側に限界があるわれわれの脳神経細胞は、十億個だか、百億個だか、とにかくいっぱいあるにはあるけど、そうは言ってもしょせんは有限個にすぎないわけで、無限に多くのものごとを記憶し尽くすことはできない。われわれの生きている時間にも限りがあるので、無限にあるものを、ひとつひとつ、しらみつぶしに調べていく作業をしようとしても、志かなわず死んでしまう。空間的にも時間的にも限られた存在たるわれわれであるからして、無限に続く列の先の先の先が実際にどうなっているのかを、ちゃんと把握することはできないのである。数学は、われわれの知ることのできる限界以上のことについて、何が正しいのかを論理の力をもって述べようとしていることになる。これって、ほんとうに安全にできるのだろうか?イデア界の出来事について、いったいどういうふうになっているのか、人知の及ばないようなことで疑問が生じた場合、いったい誰に聞けば正解を教えてもらえるのか。ここにおいて、数学における魑魅魍魎が、チラっと顔を出したな、と直感できて、ゾクゾクっとされた方は、たいへん勘がいい。●変な話・その1、無限に続くマッチ棒の列は、全部燃えるのかマッチ棒を100本、用意する。そのうちの一本を使い、水平な面の上で、頭を上にして垂直に立てて、接着剤かなんかで固定する。地面からキノコが生えてるみたいな感じ。次に、別の一本を使い、最初のマッチから1mmだけ間隔を置いた右側に、同様に立てて固定する。3本目のマッチ棒は2本目のマッチから1mmだけ間隔を置いて右側に立てる。n本のマッチ棒がすでに立てられているとき、(n+1)本目のマッチ棒は、n本目のマッチ棒から1mmだけ間隔を置いて右側に立てる。これを続けていくと、最後には100本のマッチ棒全部が、1mmずつ間隔を置いて一列に整列して立てられている状態になる。左のに、火をつけてみよう。隣接しあうマッチ棒どうし、間隔が狭いので、すぐ右隣のに燃え移るであろう。したら、そのすぐ右隣のに燃え移り、次々々々と燃えていくであろう。ピタゴラスイッチみたいなアレ。この設定において、次の2つの条件が仮定できる(仮定1)一番左の端にあるマッチ棒が燃える(仮定2)任意のマッチ棒が燃えるとき、それのすぐ右隣のマッチ棒が燃えるこのとき、100本のマッチ棒は、すべて燃えるであろう。(結論)すべてのマッチ棒が燃える。上記2つの仮定が満たされていると、上記の結論が言えることになる。この論法を「数学的帰納法」という。「演繹法」の一種である。マッチ棒の本数が100本ではなく、千本だったり一万本だったりしたとしても、話は変わらないであろう。無限に続いていたら、どうか。左端のマッチ棒はあるけれど、右の方へはマッチ棒の列が無限の彼方まで続いているものとする。数学の記述のしかただと、「右端の最後の一本というのはない」と言うけれど感覚的には「無限の彼方に最後の一本がある」という感じもする。このとき、すべてのマッチ棒が燃えると言えるだろうか。次のことは、確実に言える。「nがたとえどんなに大きな自然数だったとしても、有限の値である任意の自然数nに対しては、第n番目のマッチ棒は、待っていれば必ず燃える」。無限の彼方にあるのかないのかよく分からない最後の一本まで含めて、「結局、すべてのマッチ棒が燃える」と言えるのか、言えないのか。ひとつ隣りへ燃え移るのに1秒かかるとしよう。100本あれば、99秒で全部が燃える。1,000本あれば999秒で全部が燃える。「無限の時間が経ったのちには、すべてが燃えている」と「いつまで経ってもすべてが燃えることはない」は、同じことを言っているようにも感じられる。「燃える」のと「燃えない」のとでは、ぜんぜん違うことのような気もする。BGMは天馬ルミ子『教えてください、神様』。なんか、イヤ〜な感じが漂ってこないだろうか。近づいてくる悪魔の足音、みたいな。試しに、燃え移る速度をちょいと加速してみたらどうだろう。1本目から2本目へは、1秒で燃え移る。2本目から3本目へは、その半分の1/2秒で燃え移る。3本目から4本目へは、その半分の1/4秒で燃え移る。4本目から5本目へは、その半分の1/8秒で燃え移る。この調子でいくと、マッチ棒が無限にあっても2秒ですべてが燃える。これでいいのだろうか。●変な話・その2、1÷3×3は元に戻るか数学の専門家に対して、一般の方々からよく寄せられる苦情のひとつに、「1を3で割って3倍したら元に戻りません」というのがある。将棋における「下手の棒銀、上手が困る」じゃないけど、聞かれると、けっこう困る。1を3で割ると、0.333...になる。0.333...そいつを3倍すると、0.999...になる。戻らないじゃないか、ってわけである。下記のことは、確実に正しい。・1と0.9とは等しくない。その差は0.1である・1と0.99とは等しくない。その差は0.01である・1と0.999とは等しくない。・1と0.999...999(9がn個続く)とは等しくない。その差は0.000...0001(小数点以下に0が(n-1)個続く)であるが言える。0.999...における、9の並びをいくら長くしたところで、1には決して到達できない、ということが証明されちゃったわけである。受けた苦情を肯定してしまった格好になる。0.999...における9の並びの個数nは、有限の値に限る、という条件がつく。9の並びがどんなに長くなったとしても、それが有限個で終わっている限り、ちょうど1までは到達していない、と言っていることになる。これなら、アタリマエダ、と納得がいく。有限の値nが無限個あるっちゅうのも、なんか変な感じがするんだけど。そこは、まあ、置いといて。nが有限でない場合、つまり、ほんとうに限りなく9が続いている場合、その値はぴったり1に到達していると考えていいのか?われわれの感覚では、無限の彼方なんて、とうてい想像がつかないんだけど、数学の様式では、それでいいことになっているらしい。...を見てみると、上記したように、1までの間合いを10分の1、10分の1、と詰めていっている。目標の1までぴったり到達することはないにせよ、そこまでの距離はどんどん詰まっていき、これ以上、近づけないという限界はない。同じことを、言い換えると、次のようになる。どんなに小さな正の実数ε(イプシロン)に対しても、そのεの値に応じて、じゅうぶん大きな自然数Nを持ってくれば、第N項以降すべての項において、1までの差がεよりも小さくなるようにすることができる。これが成り立つとき、この数列は、n→∞の極限において、1に収束する、という。平たく言えば、この数列は1に限りなく接近していっている、ということである。この状態をもって、9の列が無限に続く場合には、その値はぴったり1になっている、と解釈していいのではあるまいか。歯切れ悪くてすいません。無限の彼方の出来事なんて、オレにだってよく分かんないんだもん。数学を専門としない、一般の方々の多くは、数学に対して、常にものごとの白黒をはっきりとつけることのできる、明晰な学問というイメージをお持ちのようですが、実際に数学の中へ立ち入ってみると、あんまり健全でない妖怪みたいなやつが住みついてたりする気配が漂ってくることもあるのだとほのめかし、単純すぎるイメージに疑問を投げかけたく、本稿を書き起こしたわけです。手始めに、自然数における、無限の彼方に住んでいそうな悪魔を召喚してみたわけです。任意の自然数nに対して、ある命題P(n)が成り立っているからといって、nが有限の域を超えて、ほんとうに無限の彼方まで飛び去っていったとき、P(n)は真なのか偽なのか、有限な存在であるわれわれに知る手段があるのだろうか、という疑問です。ほんのちょっとだけでも、冷やっとした風を感じ取っていただき、ゾクゾクっとしていただければ狙い通りなのですが、いかがでしたでしょうか。ここまでのお話に出てきたやつは、数理体系の中に住む不健全な妖怪変化のうちでも序の口で、まだまだかわいいほうなのです。深い藪の中にまで足を踏み入れていくつもりで書き始めましたが、気がついてみると、もうずいぶんな分量を書いてしまいました。このへんでいったん区切り、続きの、もっとヤバい話は、またいつか、できればそんなに遠くないうちに、書きたいと思います。ここでは、その予告編みたいな感じで、あらすじ的な、話の見通しを書いておこうと思います。100に1を足して101を得れば、元の100よりも確実に1だけ大きくなっています。ところが、話が無限の世界に及ぶと、1を足したぐらいでは焼け石に水で、ちっとも増えていきません。いう数式を実際に書いてはいけないことになっています。0となってしまいます。これは本当の矛盾です。これを引き起こさないために、最初の式を書いてはいけないことになっているのです。気持ちはその数式に表れている通りです。その数式さえ書かなければ安全かと言えば、そうでもなく。満室だったホテルに空室を作るトリックが生じたりします。1を足してもちっとも増えないのであれば、2倍ぐらいしてみれば増えるかと思いきや、やっぱり増えません。これは、割と深刻な問題を引き起こします。部分と全体が等しくなってしまうという問題です。自然数は奇数と偶数とに分類でき、交互に出てくる以上、個数は半々であろうという感じがします。ところが、自然数全体と偶数全体との間に一対一の対応関係をつけることができてしまう。全体と、その半分くらいを占めるはずの一部分とが、同じになってしまうという問題です。いうもんだ、ってことで受け入れちゃえば、問題ないとも言えますけど。無限倍しても、実は、ちっとも増えていない。あってみれば、無限というのは特別なもんで、もはやどう料理しても、これ以上大きくなることはないもんなんだ、と思いたくなるでしょう。ところが、その期待が、裏切られます。2の肩に乗せて、「2の∞乗」とやると、元よりも大きくなっています。無限と無限とを比較して、一方が他方よりも大きいということがある、ってわけです。こんなのは、もはや、われわれが直感的に把握できる範囲を遥かに超越しています。これを証明するのに「対角線論法」というのを使います。同じ論法は、「ゲーデルの不完全性定理」の証明の中でも使われています。このあたりでも、すでに、そうとうイヤな地獄を垣間見た気になるものですが、さらにやっかいなやつが控えています。「選択公理」ってやつです。ラスボスみたいに、手ごわいやつです。公理として採択すべきか、棄却すべきか。有限しか見えないわれわれにはさっぱり分かりません。イデア界では、いったいどうなっているのでしょう。いうか、ここまで来ると、数学って本当にイデア界が舞台なんだろうか、って、依って立つべき基盤が、そこまでぐらついてきます。数学という学問の、イヤ〜な限界を見てしまった感じがします。うー、数学のやつ、完全無欠の美を体現した女王かと思ってたら、意外と中身は病んでんじゃん、みたいな。いうわけで、続きをお楽しみに〜。待ち遠しいという方には、下記の本がお薦めです。現代数学の展望』岩波書店(1952/5/10)http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4004160030/dgcrcom-22/【GrowHair】GrowHair@yahoo.co.jpセーラー服仙人カメコ。アイデンティティ拡散。http://www.growhair-jk.com/スペインのマドリードに行ってきました。2017」に参加するためです。2014年9月にも、同じイベントに参加してましたけど、会場の広さといい、来場者数といい、規模が三倍くらいになってました。Expo」に迫る勢いです。国営テレビの生中継に映ってきました。帰りの出国審査で、審査官の人が「昨日テレビ見たよー」と言ってくれました。サバイバル/GrowHairこの著者の記事一覧へこのサイトについてこのサイトは平日毎日発行しているメールマガジン「日刊デジタルクリエイターズ」のバックナンバーを収録しているサイトです。1998年4月の第1号からすべて収録されています。著者別の掲載リストもあり(ページ末尾)、気になる著者のバックナンバーを読むことができます。基本的にメールマガジンの発行後、このサイトが更新されるので、最新情報を確実に読みたい場合は、メールマガジンを購読して頂くことがお薦めです。「日刊デジタルクリエイターズ」のメールマガジンは、デジタルメディアで活躍する現役クリエイターたちのコラムで構成されている本格派のメールマガジンです。実用的な内容から、インスピレーションを刺激する内容まで多彩なコラムをお届けします。メールマガジンスタンドの「まぐまぐ」「melma!」にメールアドレスを登録するだけです。ご購読は以下のボタンから。Amazonを使用しています。記事)川合和史@コロ。