計算の簡略化や理論展開上の都合から、積分計算においては、しばしば変数を変更した置換積分を行うことが多い。とある関係式によって結ばれる変数どうしを入れ替えるためには、どのような操作が必要になるだろうか。この記事では1変数関数の不定積分における置換積分からはじめて、最後は多変数関数の定積分における置換積分まで、その公式と原理についてみていく。公式1変数関数の不定積分においては、以下の置換積分の公式が成り立つ。f(\phi(t))\phi'(t)dt$$である。f(x)dx\)とする。f(\phi(t))\phi'(t)$$である。場合、置換積分の公式は以下のように変化する。\(x=\phi(t),a=\phi(\alpha),b=\phi(\beta)\)のとき$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt$$この公式は、不定積分の置換積分から直ちに導かれるが、多変数関数における置換積分を考える前の準備として、その原理を詳しく見ていく。区間\([a,b]\)における定積分は、上図に示すような階段状の長方形の面積の(正負を考慮した)和の極限値としての意味を持つ。変数変換\(x=\phi(t)\)により、\(a=\phi(\alpha),b=\phi(\beta)\)が成り立っているとき、\(t\)の区間\([\alpha,\beta]\)は\(x_k=\phi(t_k)\)を満たすような\(t_k\,(k=0,1,\cdots,n)\)によって分割されていると考えることができる。小区間\([x_{k-1},x_k]\)内に任意に取った点\(\xi_k\)に対し、\(\xi_k=\phi(\eta_k)\)を満たすような\(\eta_k\in[t_{k-1},t_k]\)が存在する。\phi(t_{k-1})=x_{k-1}$$と置き換えて考えることにより、小区間\([t_{k-1},t_k]\)の長さは変換\(\phi\)によってほぼ\(\phi'(\eta_k)\)倍に拡大されるため、\(x_k-x_{k-1}\simeq\phi'(\eta_k)(t_k-t_{k-1})\)とすることができる。したがって$$\sum_{k=1}^{n}f(\eta_k)(x_k-x_{k-1})\simeq\sum_{k=1}^{n}f(\phi(\eta_k))\phi'(\eta_k)(t_k-t_{k-1})$$となる。\infty\)とすると、左辺は\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)、右辺は\(\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt\)に収束するため、$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt$$が導かれる。以上の議論より、定積分の変数変換の際には次の作業が必要になる。置換積分2変数関数の場合2変数関数\(f(x,y)\)に対し\(x=x(u,v),y=y(u,v)\)という変数変換を適用する場合、1変数関数における議論から$$\int\int_{\Omega}f(x,y)dxdy=\int\int_{D}f(x(u,v),y(u,v))E(u,v)dudv$$という式が成立することが予想できる。このとき\(E(u,v)\)は拡大率を表すが、2変数関数の場合は小区間から小区間という直線の拡大率ではなく、\(uv\)平面上の領域\(D\)内の小さな面積が、\(xy\)平面上の領域\(\Omega\)内の小さな面積へと移されるときの「面積の拡大率」を意味している。したがって、以下この\(E(u,v)\)がどのように表されるかについてみていく。\(uv\)平面から\(xy\)平面への1次変換と平行移動による面積の拡大率はじめに、\(uv\)平面から\(xy\)平面への変数変換が、1次変換と平行移動のみにより行われる場合を考える。v+\eta$$と表される。この場合、\(D\)が4点\(K(u_0,v_0),L(u_0+\lambda,v_0),M(u_0+\lambda,v_0+\kappa),N(u_0,v_0+\kappa)\)を頂点に持つようなごく小さい長方形であるとすると、これらの頂点が\(xy\)平面に写された点\(K’,L’,M’,N’\)は、2つのベクトル\(\vec{K’L’}=(\alpha\lambda,\gamma\lambda),\vec{K’N’}=(\beta\kappa,\delta\kappa)\)によって張られる平行四辺形を形成する。したがって、\(\vec{K’L’}\)と\(\vec{K’N’}\)のなす角を\(\theta\)とすると、四角形\(K’,L’,M’,N’\)の面積\(\mu(\Omega)\)は$$\mu(\Omega)=|\vec{K’L’}|\cdot|\vec{K’N’}|\cdot\sin\theta$$$$=|\vec{K’L’}|\cdot|\vec{K’N’}|\sqrt{1-\cos^2\theta}$$$$=\sqrt{|\vec{K’L’}|^2\cdot|\vec{K’N’}|^2-(|\vec{K’L’}|\cdot|\vec{K’N’}|\cos\theta)^2}$$$$=\sqrt{|\vec{K’L’}|^2\cdot|\vec{K’N’}|^2-\vec{K’L’}\cdot\vec{K’N’}}$$$$=\sqrt{(\alpha^2+\gamma^2)(\beta^2+\delta^2)-(\alpha\beta+\delta\gamma)^2}\lambda\kappa$$$$=\sqrt{(\alpha\delta-\beta\gamma)^2}\mu(D)=|\alpha\delta-\beta\gamma|\mu(D)$$と表せる。今回は\(D\)が長方形である場合を想定したが、\(D\)が任意の形状である場合も\(D\)を細かい長方形の集合に分割することで同様の議論が成り立つ。よって、以下の定義が導かれる。\(uv\)平面から\(xy\)平面への変数変換が、1次変換と平行移動のみによって行われるとき、\(uv\)平面上の領域\(D\)の面積\(\mu(D)\)と、それが写される\(xy\)平面上の領域\(\Omega\)の面積\(\mu(\Omega)\)について、以下の関係式が成り立つ。状況を一般化し、\(x,y\)が\(u,v\)の\(C^1\)級の関数として\(x=x(u,v),y=y(u,v)\)のように表される場合を考える。この変換は1対1であるとしておく。下図の領域\(D\)と領域\(\Omega\)は、この変換を図示したものである。ここで、\(x,y\)を\(u,v\)の1次式により近似する。v}v+(定数)$$となる。この1次近似式により領域\(D\)を\(xy\)平面に写したものが、上図の赤点線で示した平行四辺形の領域\(\Omega_1\)である。u}|\mu(D)$$となる。u}\)のことをヤコビアンといい、\(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\)で表す。\tag{2}$$である。以上の議論を踏まえて、2変数関数の定積分における置換積分の公式を導く。\(uv\)平面上の領域\(D\)が\(n\)個の小領域\(D_1,D_2,\cdots,D_n\)に分割され、それぞれが変換\(x=x(u,v),y=y(u,v)\)によって\(xy\)平面上の小領域\(\Omega_1,\Omega_2,\cdots,\Omega_n\)に写されていると考える。この\(xy\)平面上の小領域は、領域\(\Omega\)を\(n\)分割したものである。各\(D_k\)上に任意の点\((u_k,v_k)\)を取ると、変換\(x_k=x_k(u_k,v_k),y_k=y_k(u_k,v_k)\)により、点\((x_k,y_k)\)は\(\Omega_k\)上の点となる。f(x_k(u_k,v_k),y_k(u_k,v_k))|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|\mu(D_k)$$が成り立ち、\(n\)個の小領域すべてについて足し合わせることで$$\sum_{k=1}^{n}f(x_k,y_k)\mu(\Omega_k)\simeq\sum_{k=1}^{n}f(x_k(u_k,v_k),y_k(u_k,v_k))|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|\mu(D_k)$$となる。ここで、\(n\to\infty\)とすると両辺の差は次第に小さくなり、左辺は\(\int\int_{\Omega}f(x,y)dxdy\)、右辺は\(\int\int_{D}f(x(u,v),y(u,v))|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|dudv\)に収束する。したがって、以下の定理が導かれる。\(uv\)平面上の領域\(D\)が、変換$$x=x(u,v),\,y=y(u,v)$$(ただし、\(x,y\)は\(u,v\)の\(C^1\)級の関数)によって\(xy\)平面上の領域\(\Omega\)へ1対1に写されるとき、以下の式が成り立つ。$$\int\int_{\Omega}f(x,y)dxdy=\int\int_{D}f(x(u,v),y(u,v))|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|dudv$$多変数関数への応用2変数関数の定積分における置換積分の公式を多変数関数一般に応用すると、次のようになる。y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\)で、\(x_i=x_i(y_1,y_2,\cdots,y_n)\)と書けているとき、以下の式が成り立つ。y}\)でみた積分領域\(A\)のことであり、\(g\)は対応する点での\(f\)の値を表す。y_n}\end{pmatrix}$$の行列式に相当する。神経科学を研究している博士学生。Unityを活用して、世界の様々な現象をシミュレート・分析しています。理系分野だけでなく、政治学や社会学も、もちろん分析対象です。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。SiteOrigin。