編集この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。curve)は、その像がひとつの平面(特にユークリッド平面、アフィン平面(英語版)、射影平面など)に全く含まれるような曲線を言う。^{2}}によって同定することができる。あるとは、曲線の定義空間に全く含まれる適当な平面が存在して、その曲線の像がその平面に全く含まれるときに言う。平面的でない空間曲線は非平面曲線(英語版)という。(t_{2})}となるときに言う。調べられる平面曲線は、微分幾何学において調べられる可微分な場合(滑らかな曲線、区分的に滑らかな曲線)や代数幾何学において調べられる曲線の陰伏方程式が多項式で与えられる場合(代数曲線)である。代数曲線は18世紀以降広汎に研究されてきた。その平面曲線上の点を表すように方程式を与えることである。この種の曲線は、実函数のグラフとして曲線のグラフを与えることでも記述できる。(t)=(t,f(t))}としても書くことができる。F(x,y)=0}の形に表すこともできる。このような表現は、ある種の観点からは陽な表現よりも適していることもあるが、二つの変数の間の関係性が分かりにくくなる(関係を陽に表すことができても複雑すぎたり、そもそも不可能である場合もある)という問題に遭遇することにもなる。らかな平面曲線、すなわち望ましい正則性条件を満足する一次元のひものような対象としての曲線(「局所的に直線に見える」平面曲線)を表し研究するためには、連続性条件は十分ではない。上微分可能(フランス語版)とする。おいて微分可能であることを言う。滑らかな平面曲線は平面に含まれる一次元の滑らかな多様体であり、この意味で各点の近傍において滑らかな函数によって直線に写される。この曲線の特異点と呼ぶ。曲線の正則性は、その曲線の接線の定義を可能にする。'(t_{0}))}に平行な直線を言う。(t_{0})\end{cases}}}としても表される。(x-x_{0})-(y-y_{0})=0}なる関係によって与えられる。(y-y_{0})=0}なる関係を満たす。おいて評価した値である。(t))=0}で与えられる。(y-y_{0})=0}の陽にも書ける。x-軸の正の半直線となす角である。{dt}}}で与えられる弧長は媒介変数の取り換えに関して不変である。{dx}}}と書くことができる。媒介変数の取り方として数学および幾何学的研究および応用において重要と考えられるものの一つに、平面極座標が挙げられる。依存して決まるものを言う。測った(必要ならば符号付きで考えた)弧長である。これにより常に曲線上にはこの曲線座標系に基づく座標を入れることが可能となる(弧長変数による媒介表示)。(t(s))}を得る。この場合、曲線上の一点における接線を決定することは、単位接ベクトルに平行となる直線をとることに等しい。'(t)\|}}=1}ゆえ、接ベクトルは単位ベクトルである。その単位接ベクトルである。この曲線の曲率と呼ばれる。{f''(x)}{(1+f'^{2})^{3/2}}}}と陽に計算できる。F_{yy}}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{3/2}}}}となる。空間内の(十分正則な)曲線はその任意の点において、フレネ標構と呼ばれる「接ベクトル」「法ベクトル」「陪法ベクトル」の三つ組からなる参照系を持つが、このような曲線が平面的となるための必要十分条件はその陪法ベクトルが常に零となることである。{T'(s)}{k(s)}}}と与えることもできる。定義されるものを言う。任意の平面代数曲線は、その定義多項式の次数をその曲線の次数として持つ。代数閉体上で考える場合には、曲線の次数はそれが一般の位置(英語版)にある直線と交わるときの交点数に等しい。定める射影曲線)に同型である。平面代数曲線は平面三次曲線(英語版)といい、それが非特異ならば楕円曲線となる。平面代数曲線は平面四次曲線(英語版)と呼ぶ。978-1-55608-010-4。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。