最初に大まかなイメージを示す。汎関数とは「関数の関数」のことであり、汎関数の値はそれが引数としてとる関数により変化する。変数\(x\)の関数である\(y(x)\)の値は変数\(x\)に依存するのと同様に、関数\(y\)の汎関数である\(I[y]\)の値は関数\(y\)に依存する。変分法とは汎関数\(I[y]\)を最大(極大)または最小(極小)とする関数\(y_0\)を求めるための手法であり、その原理は関数\(f(x)\)が最大(極大)または最小(極小)となる点において\(f'(x)=0\)となることを利用する手法に類似する。汎関数の定義まず、関数の集合のことを関数族という。そのうえで、汎関数は以下のように定義される。I}\)に1つの数値\(I[y]\)が対応しているとき、この対応を与える\(I\)を汎関数という。y(x)dx$$が挙げられる。\tag{1}$$も汎関数となる。このように、汎関数はしばしば関数と導関数を含む定積分として表される。以下では次のことを前提として議論を進める。変分の定義\((1)\)式を変形しながら変分の定義を導く。\(\eta\)を区間\([a,b]\)で連続微分可能な任意の関数、\(\epsilon\)を定数とする。F(x,y+\epsilon\eta,y’+\epsilon\eta’)dx$$が定義できる。これは\(y,\eta\)を固定すると\(\epsilon\)の関数として見ることができるため、$$\Phi(\epsilon)=I[y+\epsilon\eta]$$とおくと、$$\Phi'(\epsilon)=\int_a^b[F_y(x,y+\epsilon\eta,y’\epsilon\eta’)\eta+F_{y’}(x,y+\epsilon\eta,y’\epsilon\eta’)\eta’]dx$$が導ける。ここで、\(F_y,F_{y’}\)は連続であり、\(\Phi'(\epsilon)\)は\(\epsilon\)の関数として\(\epsilon\)の近傍で連続であることから、マクローリンの定理より、2次以上の項を\(o(\epsilon)\)とおいて、$$\Phi(\epsilon)=\Phi(0)+\Phi'(0)\epsilon+o(\epsilon)\tag{2}$$と表される。\(\epsilon\)は微小量であるため、これを変数\(\lambda\)の微分と考え、\(d\lambda\)とおく。すると、\((2)\)式の右辺第2項\(\Phi'(0)d\lambda\)は\(\Phi(\lambda)\)の\(\lambda=0\)における微分である。