Harvestは小説の題名。前回の記事で、錐は二つの異なる方法で作成できることが分かった。一つは、錐の頂点から錐の底面への写像を自然変換で与えるものである。一つは、求める錐の頂点から極限の錐の頂点への射を与えるものである。前回は、さらに、この二つの方法は同型の写像を与えることも示した。写像が同型であるので、この間で自然変換を定義できるようになる。求める錐の頂点を\(C\)としたとき、この始自然変換を\(\alpha_C\)で表すことにしよう。図で示すと次のようになる。ここまでが前回の話である。それでは、この方法によって、\(C\)を頂点とする錐が得られたとする。この得られた錐から、別の錐\(C’\)を求めるにはどのようにしたらよいであろうか(下図)。C\)の関係があるものとする。C’\)でないことに注意しておいてほしい。これの可換図式を求めると次のようになる。関手は射も写像するが、その時移す側と移される側で向きが同じとき、この関手は共変関手(contravariant)と呼ばれる。それに対して、反対になるときは、関手は反変関手(contravariant)と呼ばれる。LimD\)と表すことができる。LimD\)と表すことができる。\([\mathcal{I,C}](\Delta_C,D)\)は自然変換である。D_I\)と表すことができる。この関係を示したのが下図である。この可換図式から、圏\(\mathcal{C}\)での頂点を\(C\)とする錐から、圏\([\mathcal{I,C}]\)での頂点\(C’\)の錐を求めるには、圏\(\mathcal{C}\)で\(C’\)に移動してから圏\([\mathcal{I,C}]\)にジャンプしてもよいし、圏\(\mathcal{C}\)から圏\([\mathcal{I,C}]\)にジャンプしてから\(C’\)に移動してもよいと言っている。これを図で表すと以下のようになる。極限の理論的な話はここまでだが、次回はいくつか例を示そう。極限と双対の関係にあるのが、余極限である。紅くるりのピクルスとサラダ小春日和のなか、上野寛永寺ゆかりの建造物を訪ねるローマ風、ロマネスコと生ハムのマリネ参加グループ知識リンクはてなブログブログをはじめる週刊はてなブログはてなブログProはてなブログをはじめよう!bitterharvestさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。