Harvestは小説の題名。前回と同じように、余極限を抽象化してみよう。ここでは、下図のように、三つの圏を用意する。最初の圏\(\mathcal{C_0}\)は、余錐の頂点からなる圏だ。次の圏\(\mathcal{C}\)は余錐で構成される圏だ。最後の圏\([\mathcal{I,C}]\)はインデックス圏から余錐を構成したときの自然変換を射とする圏だ。C’\)であったとする。圏\(\mathcal{C_0}\)から圏\(\mathcal{C}\)には、ある関手によって、上図の中ほどのように写されたとする。同様に、圏\(\mathcal{C_0}\)から圏\([\mathcal{I,C}]\)には上図の右側のように写されたとする。前回と同じように、圏\(\mathcal{C}\)と圏\([\mathcal{I,C}]\)の間では上図のように可換が成り立つ。従って、圏\(\mathcal{C}\)で余錐を与えると、圏\([\mathcal{I,C}]\)からそれはどのような性格を有しているのかを得ることができる。上の図は、下のような可換図式に書き換えることができる。それでは、上の図を用いて、余極限のいくつかの例を挙げることにしよう。例をあげるとき、対象\(C\)と余極限である対象\(ColimD\)とは一緒であるとする。最初の例は、下図に示すように、余錐の上面が存在しない場合である。上面が存在しないので、圏\(\mathcal{C}\)では余錐は頂点だけからなる。余極限の余錐\(C=ColimD\)から任意の余錐\(C’\)に対して、一意的に定まる射\(m’\)が存在する。これを、圏\([\mathcal{I,C}]\)に写すと下図のようになる。これから、関手\(\Delta_C\)から任意の関手\(\Delta_C’\)への射が一意的に定まることから関手\(\Delta_C\)が始対象であることが分かる。2)余積それでは、余錐が独立した2頂点で構成されている場合を考えよう。圏\(\mathcal{C}\)では、2頂点の余極限の余錐は上図の左側のようになる。これに、任意の余錐を加えたのが真ん中の図である。これを圏\([\mathcal{I,C}]\)に写したのが右図である。\(\Delta_C\)から\(\Delta_{C’}\)への射が一意的に定まることから、下図に示すように余積となる。コイコライザそれでは、2頂点と、その間を同じ方向に二つの射が結んでいるような余錐について考えてみよう。錐の場合にはイコライザであったが、今回の場合はコイコライザになる。コイコライザの定義は次のようになっている。q=q’\)を満たすものが一意的に存在するとき、\((Q,q)\)の組をコイコライザという(下図参照)。押し出し最後は上面の頂点が3個あり、一つから他の二つの頂点へ射が与えられている場合だ。これは下図のようになる。これと双対の関係にあるものは、引き戻し(pullback)と呼ばれ、データベースを応用例として紹介した。余極限の場合には、押し出し(pushout)と呼ばれ、共通のドメインを有する射の対が極限となる。Puzzleと呼ばれるホームページに、押し出しを説明するのにちょうどよい例が上がっていたので、これを用いて説明しよう。ホームページには、鹿なのだろうか、2匹の小動物が、角をくっつけあって遊んでいる木工パズルが紹介されている。B\)と記述することができる。\)は\(Z\)の部分で接合しているという意味である。正確に説明すると、\(Z\)は\(B\)の部分集合で、接合される部分である。A\)は\(A\)の接合部分を求める関数である。Z\)は\(f(Z)\)と\(Z\)が同値であることを示すもので、これにより、接合部分がくっつけられたことを意味する。接合部\(Z\)は、\(A\)と\(B\)のぞれぞれの部分となっている。\(Z\)から\(A\)と\(B\)への射がこれを表している。B\)の一部となっているので、それぞれから射が存在する。functionと呼ばれるものである。spaceを参照するとよい。次の記事では、Haskellでの極限と余極限の利用例を示そう。極限と双対の関係にあるのが、余極限である。紅くるりのピクルスとサラダ小春日和のなか、上野寛永寺ゆかりの建造物を訪ねるローマ風、ロマネスコと生ハムのマリネ参加グループ知識リンクはてなブログブログをはじめる週刊はてなブログはてなブログProはてなブログをはじめよう!bitterharvestさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。