$(1)$より、$d$は$ka$の一の位の数に一致することに注意する。\overline{dcba}<\color{Violet}{1000(k+1)d}$$が成立するから、$(1)$より、$\color{Green}{1000kd}<\color{Green}{1000(a+1)}$かつ$\color{Violet}{1000a}<\color{Violet}{1000(k+1)d}$が成立する。\tag{2}$$を得る。以下、$d$について場合分けする。i)$d=1$のとき、$(2)$より$k-1<a<k+1$である。下で、$k-1<a<k+1$を満たし、かつ積の下一桁が$1$となる組を探すと、$(a,k)=(9,9)$を得る。b=89c+8$$となる。9$より、$b=8$、$c=0$に限られ、$\overline{abcd}=9801$を得る。ii)$d=2$のとき、$(2)$より$2k-1<a<2(k+1)$である。5$とすると$\overline{abcd}$は$5$桁以上の整数となるので不適。下で、$2k-1<a<2(k+1)$を満たし、かつ積の下一桁が$2$となる組を探すと、$(a,k)=(8,4)$を得る。2b=13c+1$$となる。9$より、$b=7$、$c=1$に限られ、$\overline{abcd}=8712$を得る。iii)$d=3$のとき、$(2)$より$3k-1<a<3(k+1)$である。4$とすると$\overline{abcd}$は$5$桁以上の整数となるので不適。下で、$3k-1<a<3(k+1)$を満たし、かつ積の下一桁が$3$となるような組$(a,k)$は存在しない。3$とすると$\overline{abcd}$は$5$桁以上の整数となるので不適。よって$k=2$に限られる。$(2)$より$4k-1<a<4(k+1)$となるから、$k=2$より$a=9$または$a=8$に限られるが、このとき$ka$の下一桁の数が$4$になることは無いので不適である。以上より、題意の条件を満たす整数は$8712$、$9801$の2つである。(答)$8712$、$9801$《コメント》$a$の値の範囲を絞らないとかなり時間が掛かってしまいます。いうシラミ潰しの問題では如何に候補を削っていくかがポイントです。いう条件に辿り着けなくても答えは出せますが、延々と煩雑な計算をする羽目になります。3桁の場合ならもっと計算は楽になりますが、高校入試レベルです。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。