よって導入された記号を言う[1]。二種類がある[2]が、基本的には第二種記号のことを意味する。gji(x)という関数(基本計量テンソルと呼ばれる)が与えられている。s}}=0}となる[3]。これを測地線の微分方程式と呼ぶ。クリストッフェル記号は、計量テンソルから導かれたレヴィ・チヴィタ接続に対する、座標空間での表示式である[4][5][6][7]。i(x)が与えられているものとする[9]。以下においては、アインシュタインの和の規約を用いる。x^{a}}}\right)}と定義される。x^{a}}}\right)=g^{ia}\left[jk,a\right]}と定義される。ともに共変微分が定義されている場合[10]、接続の記号としてクリストッフェル記号を得ることができる[11]。(2階共変テンソルの共変微分)である。{kj}}\right\}}と、接続の記号としてクリストッフェル記号を導出することができる[12]。{kj}}\right\}}が成り立つ。u-座標系に関するクリストッフェル記号であることを表す。この式から第二種クリストッフェル記号はテンソルの成分ではないことが判る。なるような座標系は一般に存在しない[13]。なるような座標系をとることができる[14]。u_{0}^{i}=0}なる座標変換を行う。_{l}^{k}}となる。{hl}}\right\}_{0}}を得る。おいては全て0となることが導かれる。system)と呼ぶ。測地座標の原点においては、テンソルの共変微分と通常の微分が一致する[15]。{ji}}\right\}w_{a}}で定義される。u^{j}}}\right)_{0}}と、共変微分と通常の微分が一致する。\end{array}}\right|}を定義することができる。x^{k}}}}となる[16]。余因子行列を行列式で割ったものは逆行列となるが、それは反変版の基本計量テンソルに他ならない。G_{ij}=gg^{ij}}。x^{k}}}}が得られる。一般相対論への応用[編集]クリストッフェル記号はアインシュタインの一般相対論において頻繁に用いられる。4-次元ローレンツ多様体によって表現する。(物体の存在によって時空の形状を決定するという)アインシュタインの場の方程式はリッチテンソルを含み、クリストッフェル記号を計算することが本質的である。形状が決定されたならば、粒子と光線の軌跡は(クリストッフェル記号が陽に現れる)測地的方程式を解くことによって計算できる。クリストッフェル記号は、微分幾何学において実際的な計算を行うのに利用できる。リーマン曲率テンソルはクリストッフェル記号とその一階偏導函数の言葉で完全に表すことができる。多様体上の線型な座標変換の下ではテンソルのように振舞うが、一般の座標変換の下では異なる挙動を示す。一般相対性理論において、クリストッフェル記号は重力ポテンシャルが「計量テンソル」であるような重力場の役割を果たす。一般にテンソルについては添字の上付きと下付き(反変と共変)とを注意して区別しなければならない。manifold)と呼ぶ。接続の記号の具体的な表現が不明なまま形式的に共変微分が定義されている場合を指す。上の共変微分を定義する場合、定義の段階で接続の記号としてクリストッフェル記号を用いるのが一般的である。定義されるものである。g_{ij}}}=G_{ij}}の関係が成り立つため。4320011635。400005600X。(第10巻)〉、1949年。1967年、改訂第3版。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。