永久機関は実現不可能なのかエントロピーの解釈、なぜ対数なのか2006/08/21エントロピーとは、分子運動にまで遡って考えると「体系の持つ場合の数の対数」ということであった。「分子が取り得る仮想的な空間の広さの対数」と言い換えてもよい。式で表せばS=k*ln(W)ここで、Wは「体系の持つ場合の数」、あるいは「分子が取り得る仮想的な空間の広さ」のことである。この式は、前節に示したように気体の等温膨張から導かれたものだが、やはり「数式をいじっている間に降って湧いた」感をぬぐいきれないものと思う。場合の数Wの方は(その解釈は難しいものの)さておき、なぜlnという演算が付くのか理解に苦しむ。ここでは「なぜ対数なのか」に焦点をあててエントロピーの定義式の解釈を試みよう。そもそも対数とは何であったかというと「掛け算を足し算に直す」演算のことであった。Bエントロピーにおいても、この「掛け算と足し算の間の橋渡し」という性質が大きな意味を持つ。その心は次の通りである。体積、分子数、エネルギーなどは足し算で増えるが、場合の数は掛け算で増える。いまここに、2つの独立な体系A,Bがあったとしよう。AとBを合わせたとき、その体積はVA+VB、分子数もNA+NB、エネルギーもEA+EBとなる。ところが、体系の持つ場合の数は足し算にはならない。Aの場合の数がWA通り、Bの場合の数がWB通りだったとすれば、A,B2つを合わせたときの場合の数はWA*WBという掛け算になる。ここで場合の数を直接扱うのではなく、あらかじめS=ln(W)という量に直しておけば、A,B2つを合わせたときのSはln(WA*WB)=ln(WA)+ln(WB)という足し算で扱うことができるのだ。(比例定数kは省いてある)いま、全く同様の2つの体系AとBの持つ全エネルギーがEだったしよう。E=EA+EBここで、2つの体系を合わせたときの場合の数が最も大きくなるのはどのようなときであろうか。)つまり、この問題は2つの値A、Bの和が一定のとき、2つの値の積A*Bを最大にせよ、という問題と同じである。長さ一定のロープで長方形を作ったとき、面積を最大にするのはどのような場合だろうか。答えは正方形のとき、つまりA=Bのときである。これが何を表しているかというと、体系の持つエネルギーEA=EBとなるときが最も場合の数が多い、即ち、2つの体系の温度は放っておけば等しくなることを表しているのである。ところで、前の節には「体系のとる場合の数は部屋の体積に比例する」、あるいは「仮想的な速度空間の広さに比例する」とあった。上には「場合の数は掛け算で増える」とある。この2つは食い違っていないだろうか。ともすると勘違いしやすいのだが、この2つは違う状況を指しているのである。前者の、部屋の体積を問題にしていたときは、例えば「1個の分子の動き回る範囲が2倍になる」という状況を想定していた。後者では体系自体がそっくりそのまま増える、つまり「2個の分子と2倍の広さの部屋」を想定している。このように、場合の数の数え方というものは何かと落とし穴が多い。条件を確認しないと、一見正しそうで実は全く違った答を返すことがある。私感だが、高度な数式の変形より、場合の数を正しく見抜く方が難しく、奥深いとさえ思う。場合の数とは、組み合せの問題に見られるように、個々の要素の持つ値の掛け算で増えてゆく。メインディッシュがビーフ、チキン、魚の3通り、ワインが赤と白の2通りあったなら、食事の選択肢は3x2の6通りとなる。エネルギーなどに対応付けるのが対数という演算だったのである。エントロピーの定義式が「なぜ対数なのか」は、つまるところ「場合の数とは掛け算で増える」ものだからである。対数は日常的に使うことも少なく、今ひとつ馴染みの薄い関数かもしれない。気体の等温膨張とは、つまるところ次の積分によって表される。x上式は基本的な公式ではあるが、その意味を直感的に把握するのは難しい。対数のイメージ把握は「感覚の慣れ」について思い描くのが良いだろう。音の信号の大きさに対する人の感じ方は、直線的に比例しない。人の耳が大きな音に対して慣れてゆくので、音の信号の大きさを2倍にしても、感じ方は2倍にまで達しないのである。仮に基準となる音の大きさが1であったなら、2倍にしたときの感じ方は+1ではなく、その時点での音の大きさに反比例する。+1/2で、感じ方は1.5倍に過ぎない。