円と直線2006/08/28最も古い学問の1つである幾何学では、伝統的に直線定規とコンパスだけを用いて作図を行う。直線とは最も単純で基本的な図形であり、円とは最も美しく完全な図形だ。古代ギリシャの人々はそう考えたのである。円と直線、この2つの図形はそのまま相対する2つの世界観を表している。遠い未来の世界がどうなっているかを想像すると、我々の考え方は大別して2つの極に至る。1つは、世界とは直線的に進歩、あるいは退廃する、というものである。世界とは本質的に方向を持ち、何らかの軸に従って、あるいは導かれて進んでゆく。そのように、世界を「直線」として捉える見方がある。いま1つは、世界とは円環が巡る様に繰り返す、というものである。世界には始めも終わりもなく、本質的には同じことを何度でも再現する。そのように、世界を「円」として捉える見方もある。物理学においても、この2つの世界観を巡っての議論が為されてきた。エントロピー増大則とは、どちらかといえば世界を「直線」として捉える側の見方である。閉じた系内においてエントロピーは増大する一方であり、決して元には戻ってこない。エントロピー増大の傾向は進歩、発展と言うよりは消費、退廃に近いであろう。エントロピー増大則自体にはそういった価値観は一切含まれていない。物理的な事実のみを受け止めるならば、世界とは不可逆過程であり、ある特定の向きにしか進行しない。そのようにエントロピー増大則は教えている。これに対して、世界はむしろ「円」であるべきだとの反論が為されたことがある。有限の大きさの閉じた力学系において、系の状態は初期状態に限りなく近い状態(近傍)に何度でも再帰する。これはポアンカレの再帰定理と呼ばれている。極端な話、系が取り得る全ての場合を取り尽くしてしまえば、以降、系は過去に現れたのと同じ状態を取るしかなくなるだろう。時間は(たぶん)無限にある。系の大きさは有限なのだ。考えてみると、たとえ系の大きさが有限であっても、状態の数が有限であるかどうかはわからない。面積が1の小さな正方形であっても、その上にある点の数は、もし面が連続的なものだったなら無限にあるはずだ。長い時間の後に系の状態が全ての場合を「取り尽くす」かどうか、簡単にはわからない。一般には全ての点は取り尽くせないものと考えるべきだろう。1点ではなくある有限の範囲を考えれば、系の状態は確実にその範囲内を通過する。それゆえ、1度現れた状態と完全に同じでは無いにせよ、限りなく近い状態には必ず戻ってくるはずだ。エントロピー増大か再帰か、この議論には決着が着いたのだろうか。現実に我々が生きる世界については、エントロピー増大則で間違いないというのが今日の結論である。確かに理屈の上では再帰といった考え方があるかもしれない。系が全ての状態を取り尽くすのに要する時間はあまりにも長すぎるのだ。たとえ話として、長さ30分の映画を全て撮り尽くすことを考えてみよう。仮に映画が秒間30コマだったなら、30分で54000枚の画像が必要になる。1枚の画像がパソコンの画面程度(1024x768)であったとすると、およそ80万個程度の画素(ピクセル、画面を構成する点)を含むことになる。ここで30分映画の「全ての場合」を撮り尽くすとすると、一体どの程度の数字になるだろうか。1577880000億秒。地球の始まりから今まで毎秒1本ずつ映画を作成したとしても「全ての30分映画」のほんの一部しか作り得ないことになる。全ての場合を取り尽くす、というのはそういうことなのだ。全て作り尽くすことは人間にとって不可能なのである。系が元の状態に再帰するまでの平均時間をポアンカレ・サイクルという。一般的な系において、ポアンカレ・サイクルは地球の年齢よりも遙かに長く、我々にとって現実的な意味を持たない。対して、エントロピーが増大するタイムスケールは我々にとってちょうど意味がある程度の長さになる。以上の様な議論を経て、今日ではよほど特殊な場合を除けば世界を「直線」として捉えることが常識となっている。ここに不確定分子モーターという、いささか常識にはそぐわない異端の概念がある。不確定分子モーターとは、一度利用して熱に変わったエネルギーを再び利用可能な形態に再帰する仕組みである。それは自ずと「円」の立場に立つことになる。仮に不確定分子モーターの様な仕組みが世に存在するのであれば、世界は「円」の様相を呈していなければならない。なければ、やはり不確定分子モーター自体が矛盾をはらむことになる。次節以降で不確定分子モーターの検証を行うのだが、その基調には「円」の世界観がある。「直線」の世界に慣れ親しんだ頭脳とって、「円」の世界は受け容れ難いものかもしれない。不確定分子モーターが成立するか否かは、最終的には「世界は円か直線か」といった問題に帰着することになる。混乱を恐れずにあえて言えば、円と直線とは相反する対立概念ではない。エントロピー増大則は正しく、かつ、世の中には再帰循環する系もあるというのが私の考えだ。エントロピー増大則と不確定分子モーター、次節より双方の両立の道を探ってみよう。※ボルツマンの提唱したH定理(エントロピーの元になる考え方)に対して、ツェルメロは力学系の再帰性に基づく反論を行った。ロシュミットは力学系の可逆性に基づいた反論を行った。再帰性とは「有限な系であれば、いつかは元(の状態の限りなく近く)に戻ってくるはず」ということ。可逆性とは「1つ1つの構成要素については、行きも帰りも同等にあり得る」ということ。全体として一方通行なのはおかしいではないか、との反論を行ったのである。地球の年齢は約46億年、宇宙の年齢は137億年と言われている。