面積問題と作図のやり方は?証明問題も紹介!ツイートシェアはてブGoogle+Pocket今回は中2で学習する『平行線と線分』という単元から等積変形という問題を解説していきます。等積変形というのは面積の等しい三角形を見つける問題や面積が等しくなるように図形を変形する問題です。等積変形をやっていく上でとっても大切な基礎の部分を学習しておきましょう。平行な線に挟まれている三角形は、底辺の大きさが等しければ面積が等しくなる。これが、平行線と面積に関する基本性質です。なんで面積が等しくなるの??それはね!平行線は、どこを取っても距離が等しくなるよね。平行線に挟まれている三角形はどれも高さが等しいということになるんだ。\frac{1}{2}$$で求めることができるので底辺、高さがそれぞれ等しくなる三角形は面積も等しくなるよね!っていう話です。ーんな形の三角形であっても底辺と高さが同じになっているので面積は等しいということになります。あ!底辺は、こうやって離れていても長さが等しければ、面積は等しくなるからね!ポイントは平行線に挟まれている三角形は高さが等しい!というところです。それでは、この性質を利用していろんな問題を解説していきますね。下の図で、AD//BCであるとき、面積の等しい三角形の組をすべてみつけ、そのことを記号を使って表しなさい。それでは、平行線と面積の性質を利用して考えていきましょう。AD//BCを利用して、底辺をBCとして考えると△ABC=△DBCとなります。それぞれ底辺と高さが等しくなっているから面積も等しくなるね。次は底辺をADとして考えると△BAD=△CDAとなります。最後に△ABOと△DCOも面積が等しくなります。え...!?この2つの三角形は、平行な線に挟まれていないのになんで!?たしかに...これらの三角形は、平行な線に挟まれていないんだけどねそれぞれの三角形をちょっと詳しく見ていこうか。△ABOって、△ABCから△OBCを取り除いたものって考えることができるよね。同様に△DOCも△DBCから△OBCを取り除いたものって考えることができます。平行線と面積の性質を使って△ABC=△DBCっていうことがわかっているから同じ面積の三角形から、同じ三角形(△OBC)を取り除いてできあがった図形は(△ABOと△DCO)もちろん面積が等しくなるはずだよね!だからです。台形の中から等しい三角形を見つける問題ではこのように3組の等しい三角形を見つけることができました。上で△ABO=△DCOとなる理由をお話しましたがテストなどでは、これを証明として問われることがあります。△ABO=△DCOであることを証明しなさい。[証明]平行線と面積の性質より△ABC=△DCB...1△ABO=△ABC-△OBC...2△DCO=△DCB-△OBC...3123より△ABO=△DCO上で説明したようなことをかしこまった数式で表現するとこのようになりますね。スポンサーリンク平行四辺形の中から等しい三角形を見つける下の図で、四角形ABCDは平行四辺形であり、EF//BDである。このとき、△CDFと面積の等しい三角形をすべて答えなさい。平行四辺形ということから向かい合う辺がそれぞれ平行になっているという点をおさえておこう。この平行線を利用して考えていくと底辺をFDとして考えると△CDF=△BDFということがわかります。次に、底辺をBDとして考えると△BDF=△BDEということがわかります。最後に、底辺をEBとして考えると△BDE=△BCEということがわかります。よって、すべての情報をまとめると△CDF=△BDF=△BDE=△BCEとなります。よって、答えは△BDF、△BDE、△BCE平行四辺形の中から等しい三角形を見つけていく場合にはリレーをしていくように、面積の等しくなる三角形を見つけていくのがポイントですね。等積変形の性質を利用した作図問題を解説していきます。三角定規を使って平行な線をひく必要がありますので平行な線のひき方を確認しておきましょう。三角定規を2つ組み合わせて、線に合わせてセットします。線をひきたいところまで、三角定規をスライドさせて線をひきます。この作図方法を利用して問題に挑戦していきましょう。下の図の四角形ABCDと面積の等しい△ABEを作図しなさい。点EはBCの右側の延長上にあるようにしなさい。対角線ACをひきます。次に辺ACと平行な線を点Dを通るようにひきます。直線BCとの交点を点Eとすると平行線と面積の性質から△ACD=△ACEとなります。よって$${四角形ABCD=△ABC+△ACD}$$$${=△ABC+△ACE}$$$${=△ABE}$$となるので△ABEは四角形ABCDと面積が等しい三角形だということがわかります。下の図の五角形ABCDEと面積が等しい△AFGをつくりなさい。点F、Gは直線CD上にあり、点FはCの左側、点GはDの右側にあるようにしなさい。対角線ACとADをひいてそれぞれに平行な線を点B、Eを通るように線をひきましょう。それぞれの線が、直線CDと交わる点を点F、Gとすると△AFGは五角形ABCDEと面積が等しくなります。下の図のように、長方形が折れ線ABCで2つの部分ア、イに分かれている。点Aを通り、それぞれの部分の面積を変えないように直線AHをひきなさい。点Hは点Cを通る長方形の辺の上にあるようにしなさい。次に、点Bを通るように直線ACと平行な線をひいたら長方形の下の辺と交わった点をHとします。すると、直線AHはアとイの境界線となります。イメージとしてはイのはみ出している△ABCを面積を変えずに下にずらしてやった感じですね。すれば、ア・イそれぞれ面積を変えずに境界線をひき直すことができます。まとめお疲れ様でした!等積変形についての問題は等しい三角形を見つける面積が等しくなるように作図するこの2点をしっかりをおさえておけば大丈夫です!特に平行四辺形の中から等しい三角形を見つける問題は複雑なのでたくさん練習をして、理解を深めておいてくださいね。面積問題と作図のやり方は?証明問題も紹介!←今回の記事スポンサーリンク効率よく学習を進めていきたい方は必見!この記事を通して、学習していただいた方の中にはもっといろんな単元の学習を進めていきたい!という素晴らしい学習意欲を持っておられる方もいる事でしょう。どこの単元を学習すればよいのだろうか。何を使って学習すればよいのだろうか。何をしたらよいか悩んでしまって手が止まってしまう...そんなお悩みをお持ちの方もおられるのではないでしょうか。そんなあなたにはスタディサプリを使うことをおススメします。何を解けばよいのかそういった悩みを全て解決することができます。スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで何をしたらよいのか分からない...といったムダな悩みに時間を割くことなくひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。7つのメリット費用が安い!月額1980円で全教科全講義が見放題です。基礎から応用まで各レベルに合わせた講義が受けれる教科書に対応!それぞれの教科に沿って学習を進めることができるいつでもどこでも受講できる。時間や場所を選ばず受講できます。プロ講師の授業はていねいで分かりやすい!都道府県別の受験対策もバッチリ!合わないと感じれば、すぐに解約できる。スタディサプリを活用することによって今までの悩みを解決し、効率よく学習を進めていきましょう。スタディサプリを活用してみてください。スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。新しい投稿をメールで受け取る【作図】三角形の内接円・外接円のかき方をポイント解説!【中2数学】平行四辺形の中から面積の等しい三角形を見つける問題を解説!RECOMMENDこちらの記事も人気です。