以下の制約付き最適化問題を考えましょう。\emptyset$を満たす凸制約集合とします。$C^{(i)}$については、単純な形状の場合(例えば、閉球、半空間)や単純な形状ではない場合(例えば、凸多面体や凸関数の最小解の集合、変分不等式の解集合)に焦点をあてます。set)として表現することができます。不動点集合については、不動点近似法ページをご参照下さい。\mathcal{I})$が平滑(微分可能)な凸関数1)の場合。\mathcal{I})$が非平滑(微分不可能)な凸関数の場合。\mathcal{I})$が微分可能な(非凸)関数の場合。\mathcal{I})$が微分不可能な(非凸)関数の場合。この問題は、分数計画問題といった実用的な応用問題を例として含んでいます。上記の問題を解決するための最適化アルゴリズムには、「集中型」と「非集中型」の最適化アルゴリズムが挙げられます。それぞれのアルゴリズムの特徴は、以下のようにまとめることができます。C^{(i)}$の形状を事前に知り得ているという仮定のもとで実装できるアルゴリズム。非集中型最適化アルゴリズム:$f^{(i)}$と$C^{(i)}$の形状はユーザ$i$のみが持つ内密の情報であり、他のユーザがそれらを知ることができないという仮定のもとでも全ユーザの協力を通して実装できるアルゴリズム。解くためのハイブリッド最急降下法が知られています。これまでの研究では、ハイブリッド最急降下法に基づいたアルゴリズムとその収束解析2)や数値実験3)について研究を進めています。\mathcal{I})$のような、限られた範囲の凸最適化問題にしか適用ができません。適用可能な分散型最適化アルゴリズムの開発が待たれていました。これまでの研究では、上記の問題点を解決できるアルゴリズムとその収束解析について提案することができています。これまでの研究では、このような既存法のアイデアを活用することで制約付き最適化に関する幾つかのアルゴリズムとその収束解析について提案することができています。関する最適化アルゴリズム集中型最適化アルゴリズム非凸目的関数に関する最適化問題に対しては、凸解析の理論を直接、適用することはできません。そのため非凸最適化問題を解くための集中型最適化アルゴリズムを開発することは易しくはないであろう、ということは理解してもらえると思います。高橋渉先生らによって確立された非線形関数解析学や不動点理論を利用することにより、以下の成果を得ることができています。2009.非集中型最適化アルゴリズム上記の最適化アルゴリズムのアイデアを組み合わせることにより、非集中型最適化アルゴリズムを提案しています。関する最適化アルゴリズム集中型最適化アルゴリズム非拡大写像の不動点集合上で準凸関数を最小化するための集中型最適化アルゴリズムを提案しています。x_N^2$のような二次関数は微分可能な凸関数です。|x_N|$は微分不可能な凸関数です。2)アルゴリズムで生成された点列が最適化問題の解に収束することを数学的に証明しています。3)既存アルゴリズムよりも高速に解への収束を示すために数値実験を行います。