解のうち少なくとも1つが整数であるような$m$をすべて求めよ。方程式型の解法は大きく分けて因数分解か解の公式のいずれかです。本問の場合、因数分解が役に立たないので解の公式で攻めます。\sqrt{8^2-m(m+2)}}{m}$$となりますから判別式について$$8^2-m(m+2)>0$$が必要です。7$$を得るので、このうちで判別式が平方数となるものを探すと$m=-9$、$-8$、$-5$、$-2$、$3$、$6$、$7$となり、このうち2つの$x$のうち少なくともいずれか一方が整数になるようなものは$m=-9$、$-5$、$-2$、$3$、$6$、$7$です。(別解もあります)さて、本問は次のような別解で解答することもできます。(mx+8)^2+(m+1)^2=65$$と変形できます。$65$を2つの平方数の和に分解すると$$65=1^2+8^2=4^2+7^2$$の2パターンが考えられます。$x$が整数となるものは$(m,x)=(7,-1)$、$(6,-2)$、$(3,-5)$、$(-2,0)$(または$(-2,8)$)、$(-5,3)$、$(-9,1)$の6組です。よって求める整数$m$は$m=-9$、$-5$、$-2$、$3$、$6$、$7$となります。(コメント)普通に解く分には前者の解答で十分ですが、後者の平方完成による解答も注目に値します。$65$を2つの平方数の和で表すことで解決しましたが、実は$65$という数は、2つの異なる平方数の和で表すことのできる最小の数なのです。因みに同じ数を含んでいても良いなら、2つの平方数の和で表すことのできる最小の数は$50$です。実際に$$50=5^2+5^2=1^2+7^2$$と表せます。1次の項の「$16$」という係数は与式がより多くの整数解を持つために仕組まれていた数なのでした。・・・ということは与式を以下のように作り変えても良さそうです。《改題1》$m$を整数とする。解のうち少なくとも1つが整数であるような$m$をすべて求めよ。改題1)《考え方》さて、両辺に$m$を乗じて同様に変形すれば与式は$$(mx+7)^2+(m+1)^2=50$$となります。$x$が整数となるものは$(m,x)=(6,-1)$、$(4,-3)$、$(-2,0)$(または$(-2,7)$)、$(-6,2)$、$(-8,1)$の6組です。よって求める整数$m$は$m=-8$、$-6$、$-2$、$4$、$6$となります。(コメント)答えの数は減りましたが、この改題でも十分立派な試験問題として機能しそうです。当時の出題者はワンランク上を目指したのでしょうか・・・(笑)?改題1は本問のパワーダウン型ですが、無限にパワーアップさせることもできます。《改題2》$m$を整数とする。解のうち少なくとも1つが整数であるような$m$をすべて求めよ。本問を1段階パワーアップさせてみました。自力で解いてみましょう。やることはこれまでと同じです。・・・答えは出ましたか?$85$という数字が出てきたと思いますが、これは実は2つの異なる平方数の和で表すことのできる2番目に小さい数なのです。なることには解答を作る中で気付いて欲しいですね。諸々の計算により、求める$m$の値は$m=-11$、$-8$、$-4$、$4$、$5$、$7$となります。(コメント)いかがでしょうか。・・・・・・ならない?・・・いずれにせよ、作問サイドがあれこれ考えていることを幼気な受験生に対して詳らかにする必要がある訳ではありませんが、こういう一問一問の奥深さに気付くことで受験生の数学に対する面白さが芽生えてくれればなあ、と思う今日この頃です。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。