していなかったので、状態空間モデル(今回はその中の一部である動的線形モデル)の一番の基礎となるこのローカルレベルモデルについて解説します。・ノイズ・モデルともいわれます。ランダムウォークがわからないとこのモデルもわからないので、まずはランダムウォークから説明します。ランダムウォーク別名ドランカーズウォーク、酔歩。状態空間モデルに限らず、時系列解析ではよく出てくる言葉です。正確な定義はともかくとして、雰囲気を書きます。いう時系列データが得られます。サイコロの目そのものですね。つぎはこの系列がランダムウォークだったとします。普通の乱数だと、サイコロの目ですから(マイナスがあるという変則ルールではあるけれども)、−6〜6までの範囲しか決してとりません。ここで示したランダムウォークは、単に乱数を足していっただけのものですが、なんだか意味ありげな複雑な挙動を示します。ら、逆に減少トレンドがあるように見えます。その中身は単なる乱数の累積和だったりするんですね。ランダムウォークを使えばかなり柔軟にデータを表すことができます。ランダムウォークを使うと、データが緩やかに変動してく様子をうまく表すことができます。いうのも、「前期の値からスタートして乱数を振る」という作業の繰り返しなので、前期の値に近い値が来期でも出てくる可能性が高いからです。変動は緩やかですが、ずっとサイコロで正の目が出続けると、この系列は際限なく増加していくように、上限・下限はありません。来期の値は前期の値に似てるというのを表すのに、ランダムウォークは便利なんですね。ローカル・レベル・モデルこれでようやく、本題のローカルレベルモデルの説明に移れます。こいつが何なのかというと、見えない状態の部分がランダムウォークしているとみなしているモデルのことです。観測誤差であるところのノイズが加わって生じたのが観測値だ、とみなしています。ノイズモデルなんですね。一つは観測誤差の大きさ。一つは状態そのものが変動するその大きさです。正規分布だの分散だの言ってもわかりにくいかもしれないので、またサイコロの例を挙げます。分散はさいころの例において、さいころの目がとりうる範囲だと思ってください。範囲しかとりませんでした。一期前より、±6より大きく変動することはないと仮定していたわけです。変動しないのかを最尤法使って調べたということです。偏りがなく、サイコロをたくさん投げたときの平均値は0になります。※もう一度、単なるノイズとランダムウォークの違いを明確にするために、例を挙げて説明します。最尤法をした結果、観測誤差は±7の範囲を持つことがわかり、状態の変動の大きさは±4であることが推定できたとします。2000年の状態は10でした。2001年は、10から±4の範囲内で動く可能性があります。サイコロを振ったら+3になったとします。すると、2001年の状態は13です。ノイズの大きさは常に±7なので、2001年の観測値は、6〜20の範囲内に収まるだろうと考えられます。つぎは2002年です。2001年の状態が13で、状態は±4の範囲内で動きます。さいころを投げたら+1が出ました。ノイズが加わった観測値は、7〜21の範囲内になるだろうと推測できます。・・・・・・とこういう流れです。サイコロを投げて状態が決まると書きましたが、そのサイコロはランダムに値を出します。それは前期の値と全く同じ値を予測値として出すことです。前期の値に0を足すのが最適な予測になるのは当然でしょう。ようするに、このローカルレベルモデルだけでは、将来予測には何の役にも立ちません。よって、先ほどの例を正しく書き直すと次のようになります。2000年の状態は10でした。2001年は、10から±4の範囲内で動く可能性があります。サイコロの目がどんな値になるのか全くわかりません。前年と同じ10と予測されましたノイズの大きさは常に±7なので、2001年の観測値は、3〜17の範囲内に収まるだろうと考えられます・・・・・・。カルマンフィルターを使ってモデルを推定している以上、観測データの値を加味して状態を補正しています。2001年の状態は10と予測されていました。その後観測値が得られて、その値が19だったとします。そこで予測されていた状態10を補正して13だという結果となりました。ノイズの大きさは常に±7なので、2001年の観測値は、6〜20の範囲内に収まるだろうと考えられます・・・・・・。いうのを何回も繰り返し。将来予測には役に立ちませんが、データさえ得られれば、その時の状態を推定することができるわけです。スムージングをすると、もっと将来の観測値も使って状態を補正することができます。動的線形モデルでは、観測誤差も、状態の変動も、正規分布に従うと仮定されています。2.24とか小数点以下の値も平気でとりますし、サイコロみたいに「絶対4より大きな数は出ない」なんて制約もありません。