整式が素数になるかどうかの問題です。剰余類を考えましょう。《問題》$4$個の整数$n+1$、$n^3+3$、$n^5+5$、$n^7+7$がすべて素数となるような正の整数$n$は存在しない。何個か並べられた多項式の素数判定では、ほぼ確実にmodを使います。「$2$より大きい偶数でない」は素数であることの必要条件ですが、「$3$より大きい$3$の倍数でない」も素数であることの必要条件ですし、「$5$より大きい$5$の倍数でない」も素数であることの必要条件です。modで倍数判定するという操作において、$2$という素因数を特別視する必要性は本来存在しません。modで整数を分類するという操作は整数に「色を塗っていく」ようなものだとイメージしてください。$2$で割った余りで分類するのであれば白と黒で塗り分ける感じです。$3$で割った余りで分類するのであれば白と黒と灰色、とか、赤、黄、青とか(何でも良いですが)で塗り分ける感じです。同じ色のグループで分けたものが「剰余類」です。奇で分けるという操作は物事を二分することで考えやすくするというメリットが大きいために多用されますが、modを考えるということを数字に色を塗ってグループ分けする操作であると考えれば、$2$という数字は決して特別ではありません。