今年の大阪大学の整数問題はあまり見慣れないタイプの出題でした。昨年に続いてやや解きにくい問題です。<6$$であることを示せ。2$であるものをすべて求めよ。無理数$\sqrt{7}$の近似に関する問題のようですが、一風変わっています。(1)をちゃんと利用できなければ完答できません。(1)自体は容易です。<6$$となり、左側の不等式は常に成立するので右側の不等式を証明すればよいことになります。したがって不等式(A)を用いて、$6-\sqrt{7}$より小さく$\dfrac{a}{b}$を上から抑えるような定数を与えればOKです。<\dfrac{2}{b^4}$$を得ます。+\dfrac{1}{8}<2.646+0.125=2.771$$が言えます。(B)が成立することが示されました。ここまでは問題無いと思います。続いて(2)ですが、アプローチしにくい問題です。x<y$$という不等式がともに成立するとき、辺々の積からなる不等式$$sx<ty$$も成立します(負の実数では成り立つとは限りません)。今回はこれを利用します。類題の経験などが無いとなかなか発想しにくい方法です。私の推測ですが、一応(?)阪大なりのヒントは出しているつもりのようです。<6$と書く必要は無く、$\dfrac{a}{b}+\sqrt{7}<6$と書けば十分なのです。それなのにわざわざ絶対値を付けていることの意味を探れば「ひょっとして掛けるのでは?」と気付くことができる・・・かもしれませんが、制限時間の中であれこれ考えるのは容易ではありません。単純に「$-\sqrt{7}$と$\sqrt{7}$があるから取り敢えず掛けてみるか」と発想できなくもないですが、いずれにせよ発想力を要求する問題であることに変わりありません。今年の予備校のテキストや演習で取り上げられること請け合いです。<12$$となります(「?」が頭に浮かんだ人は絶対値の計算要復習です)。b^2|$も$b^2$も整数ですから、この積が$12$より小さいような組を求めればよいことになります。b^2=0$であれば$b^2$がどんな数でも積が$0$になるので組$(a,b)$は無数に存在してしまいます。b^2=0$とすると$\dfrac{a}{b}=\sqrt{7}$となり$\sqrt{7}$が無理数であることに反します。2$なので$b=1$は除外)。25<a^2<31$$となりますが、これを満たすような自然数$a$は存在しません。63-\dfrac{4}{3}<a^2<63+\dfrac{4}{3}$$となり、$a=8$を得ます。<\dfrac{8}{3}-2.645=0.021...$$であり、$\dfrac{2}{b^4}=\dfrac{2}{81}=0.024$ですから確かに不等式(A)は成立します。よって求める組$(a,b)$は$$(a,b)=(8,3)$$となります。(コメント)気付いてしまえば不等式によるただの絞り込みですが、その不等式を導くのが難儀な問題でした。良問の部類に入るのではないでしょうか。(出題に関してちょっとした数学的背景がありそうです。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。