0どうも、木村(@kimu3_slime)です。考え方(マルコフ過程)が役立っていることを紹介します。人々がたくさん歩いている都市部や駅前をイメージしてみてください。混雑してて、歩きにくいですよね。お店や施設をそこで運営する立場からしたら、人々が気軽に回遊して、利用・消費してほしいものです。いう場所に人が集まりやすいのか。)を使ってモデル化し、シミュレーションした論文があります。画像引用:推移確率行列を用いた歩行者流動の分析手法に関する研究ある地域が、滞在する場所は点として、そこをつなぐ道は線として表されています。このような点と線の集まりをは、グラフと呼ばれるものです。時間が経てば、人々は隣り合う点へ移動していくか、そのまま滞在を続けるかのいずれかでしょう。ここでは、人々が確率的に移動すると仮定しています。魅力的な場所ならば滞在する確率は高いでしょうし、歩きやすい道のつながる場所に比べれば、細い道のつながる場所への移動確率は低いでしょう。した人々の移動の確率は、ひとつの行列(推移確率行列)として定式化されます。かなりの時間が経つ、つまり何度も行列をかけていったときに、人々はどの場所にどれだけいることになるのか。それを計算して求めた結果が、上で引用した図のようになるのでしょう。今回は、非常に簡単な例を使って、このモデル化の方法(マルコフ過程・マルコフ行列)を紹介していきます。マルコフ過程、マルコフ行列とは次の図のような人々の移動法則を考えてみましょう。(100,10)\)のように2次元のベクトルで表されます。1時間毎に、矢印に書いてある確率で人々は移動または滞在するという変化が起こる。そんな状況を想定しています。\end{pmatrix}\]によって表されます。\)と人々は移動していくわけです。最終的にどんな状態になるか気になりますね。matrix)と呼ばれます。移動によって人々がどこかへ消えてしまうことがないよう、人々はいずれかの隣り合う地点へ移動します。>0\))行列の各列の成分の和が1となっている行列が、マルコフ行列です。process)と呼ばれます。今回考えている確率過程では、過去の移動履歴を参照せずに、次の移動先が決まります。chain)と呼びます。chain)と呼びます。取りうる状態が有限個なので、行列、線形代数の言葉を使って分析できます。state)と呼ばれます。=1\)、つまり\(1\)を固有値として持つ固有ベクトルとも言えますね。\(u\)が定常状態ならば、いくら\(A\)をかけても変化しないわけです。\end{pmatrix}\]がわかります。(0.6,0.4)\)ですね。(-1,1)\)です。\infty)\)となります。=(0.5,0.5)\)として計算してみましょう。これを固有ベクトルの線形結合で表すと計算しやすいです。u_0\)を計算していきましょう。\infty)\end{eqnarray}と、1以下の固有値(\(0.5\))に関する固有ベクトルが消え、固有値1に対応する\(u_\infty\)だけが残ります。u_\infty\)です。よって、最初に提示された図で示されたように人々が移動していくとすると、最初にいた人口がいくらであろうが、場所1の人口:場所2の人口=6:4になります。場所1が3000人なら場所2が2000人という関係に落ち着くわけですね。n\))(成分が正の)マルコフ行列に適用できます。マルコフ行列は固有値1を必ず持ち、他の固有値の絶対値は1以下となります。\infty)\end{eqnarray}です。この展開は、より一般の行列(正の正方行列)に関する次の定理に支えられています。正方行列\(A\)の成分をすべて正とする。このとき、\(A\)の固有値はすべて正。そのうち最大のものを\(\lambda_{\max}\)とすると、それは単純固有値。p.217今回は、人々の移動シミュレーションを例に、マルコフ過程、マルコフ行列を紹介しました。その定常状態が固有問題として定式化されること、行列のべき乗の計算に固有ベクトルが役立つことが感じられたでしょうか。今回は人口の移動の例を出しましたが、マルコフ過程は様々な確率的な推移法則を表すことができ、例えば待ち行列理論として応用されています。Googleの検索順位付けの方法、ページランクにも応用されています。確率的な「移動」は、ウェブページ間のリンクを歩くネットサーフィンです。価値あるリンクの張られたページに対しては移動確率が高いという規則を考えて、定常状態として得られるのがページランクです。(1999)線形代数学の考え方が、確率的な移動の理論を通じて、広く役立っているのを感じてもらえたら嬉しいです。木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。木村すらいむ(木村一輝)趣味で数学をしています。1992年・群馬生まれ、茨城在住。ご連絡はTwitter(@kimu3_slime)のDMへお願いします。木村すらいむ(木村一輝)趣味で数学をしています。1992年・群馬生まれ、茨城在住。ご連絡はTwitter(@kimu3_slime)のDMへお願いします。