それぞれの手法を統合的に用いて直接計算した。ウエイトの低い場合についての計算については現在も計算中である)。一般レベルの正則ヤコビ形式の場合における跡公式も同様に計算できるが、それは非常に複雑なものになることも判明した。保型形式の空間の構造からある程度確証を持つことができた)ものの,2次形式の還元理論のさらなる精密化や(組み合わせ論的手法による)跡公式が一致する部分空間の構成などの技術的問題が未だ完全には解決出来ておらず,現在その証明に向けてさらなる研究を行っている。次にコーネン・ザギヤの公式の一般化についてであるが、跡公式の完成に合わせて興味深い1つのある結果を得ることができた。係数の間の関係式であり,今後様々な応用があるものと期待できる。以上これらの結果については,まとまり次第順次発表していく予定である。よって発見された)を用いて証明することができ、楕円曲線に対応する保型形式が持つ著しい性質の1つとして捉えることができよう.なお、この結果はその後、保型L関数の中心値等を用いてフーリエ係数を記述できる(上記の)2寞レベルを持つ半整数ウエイト保型形式の場合においても成り立つことを示すことができた.2.ヤコビ形式を一意に決める条件.2寞レベルを持つ半整数ウエイト保型形式とヤコビ形式の間のトレース関係式を調べている過程において、ヤコビ形式を一意に決める条件についても与えることができた(この様な条件はあまり知られておらず、今後様々な保型対応の性質解明に応用できる可能性があるといえよう).ヤコビ形式上の算術的作用素の跡公式・跡関係式の構成とそれを用いた数学教材研究2009年度共同研究者:N.P.Skoruppa研究成果概要:2009年度当初からの研究によって、素数レベルで指数1を持つヤコビ形式上に作用する算術的作用素の跡公式と、楕円保型形式上に作用する作用素のそれとの間の関係式(跡関係式)を、スコルッパ-ザギヤの理論を拡張した上で用いることにより、詳...2009年度当初からの研究によって、素数レベルで指数1を持つヤコビ形式上に作用する算術的作用素の跡公式と、楕円保型形式上に作用する作用素のそれとの間の関係式(跡関係式)を、スコルッパ-ザギヤの理論を拡張した上で用いることにより、詳細に計算・記述することが出来た。その結果を用いて、ある条件をみたす素数レベルで指数1のヤコビ形式の空間と素数指数を持つレベル1のヤコビ新形式の空間が同型であることを示した。その同型性を用いて、この条件を満たす(素数レベルで指数1の)ヤコビ形式のレベルと指数を入れ替える持ち上げ写像を具体的に構成することに成功した。次に、素数レベルで素数指数を持つ場合のヤコビ形式上に作用する作用素の跡公式についてもある条件下でほぼ完全に記述して、レベルと指数を入れ替える写像がこの様な場合にも(ある条件下に限り)存在することを予想した(ただ、写像の具体的構成までには未だ踏み込めていない)。Weil表現と有限モジュラー群の表現論を駆使することで、ある条件を満たすスクエアーフリーレベルで指数1を持つヤコビ形式の空間と、スクエアーフリー指数でレベル1を持つヤコビ新形式の空間が同型になることを示すことにも成功した。この結果を基にして、上記で構成した持ち上げ写像をこの場合に一般化することも出来た。この(与えることの出来た)同型性と写像の数論的性質から、これらの空間上に作用する算術的作用素の跡公式間の関係式を間接的に導くことが出来ることについても注意されたい。他方、こうして与えられた跡関係式の各共役類の寄与を個々に観察することによって、これら各項に現れる数々の数論関数の性質を幾つか見つけることが出来た。これらの中には既知なものも多く含まれているが、複数の数論関数の諸性質を(跡公式から)体系的に見る視点は新しいものといえるのではなかろうか。この結果については数学教材としてまとめることを前提に、現在整理しているところである。スカラー項)を計算して整理し直した。スカラー項)を計算して整理し直した。次に素数の偶数冪レベルで指数1のヤコビ形式上の跡公式を構成する各寄与項を同様の手法で完全に計算して、その跡公式と偶数冪レベルの楕円保型形式上の跡公式の間に成り立つ一般的な関係式を導き出した。偶数冪レベルの場合の跡公式と奇数冪レベルの場合の跡公式の間の差を計算して、奇数冪レベルで指数1のヤコビ形式の空間の中からニューフォーム部分空間を具体的に取り出した。併せて偶数冪レベルで指数1のヤコビ形式の空間構造の一部も分析した。(テータ関数上で実現される)ヴェイユ表現の性質を詳細に調べることで表現論的に分析した.一方,教材化に向けた構成写像の応用研究も行うために,幾つかの2次形式や2次形式の類数からヤコビ形式を具体的に構成し,数式処理システムを用いてそれらのフーリエ係数の実装計算を行っている。