いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。2018年前期の大学入試数学の評価になります。※入試シーズンは、コメントの返信が大幅に遅れることがあります。2018年大学入試(国公立)シリーズ。問題の難易度(易A←→E難)と一緒に、典型パターンのレベルを3段階(基本Lv.1←→高度Lv.3)で書いておきます。☆は、「解くとしたらこれがいい」というオススメ問題です。解答までの目標時間を、問題ごとに書きます。※目標時間=解き方を含め、きちんと完答するまでの標準的な時間です。したがって、目標時間を全部足すと、試験の制限時間を越えることも、当然ありえます。同時に、その時間の2倍考えてもまったく手がつかない場合は、ヒントや答えをみるといい、という目安にしてください。学部による)時間、解答問題が学部によりますので、総評および合格ラインについては、なしとします。各学部および、指定された問題は下記のとおりです。証明(AB,10分、Lv.1)2次関数の実数解条件を問う、基本的な問題です。2次関数として解くのであれば、(1)はxの2次式として、(2)はaの2次式として見るという意図だと思います。(1)は判別式≧0を解くだけ。(2)は、aについての2次式とみて判別式をもう一度計算します。素直に代入した式が正であることを示せばOKです(正確には数IIの式と証明の範囲となります)。aは「どんな値でも」ということなので、平方完成すればOKです。p.17)※KATSUYAの解答時間4分。(2)は平方完成で行きました。(AB、15分、Lv.1)2番は三角比のことが多いですが、今年も三角比。こちらも昨年よりは簡単です。立方体の設定は大げさで、√3、√3、2の三角形の等辺上にP、QをとったときのOPQの最大値です。∠POQは固定なので、OP・OQの最大値が分かればOKで、こちらも2次関数に帰着されます。とおくかと思いますが、AP、OQともに0~√3の間にあります。xの定義域に十分注意しましょう。※KATSUYAの解答時間7分。しょっぱなからルートの計算多い^^;☆第3問(IA,IIB型)・・・【整数】n^2018+2が6の倍数になる条件(B、20分、Lv.2)3番も今年は整数ですが、昨年並みのレベルです。6の倍数に関する問題ですので、6で割ったあまりで分類すれば解決します。6通りあるように見えますが、奇偶判定でただちにnは偶数だと分かり、n自体が6の倍数だとマズイので、6k+2.6k+4のときだけを調べればOK。6で割った余りを考えます。周期2であまり2、4、2、4、・・・を繰り返すので、2018乗なら4ですね^^6k+2、6k+4のとき両方OKですので、2018、2020、2022はダメで、2024となります。※KATSUYAの解答時間8分。6k+2、6k+4で上記の通り合同式で解決しました。☆第4問(IA,IIB型)・・・【確率】k回目に始めて100点を超える確率(B、25分、Lv.2)第9問と題材が共通です。第9問をご覧ください。こちらは、数値が具体的に入っているだけです。(1)(2)(3)でうまくパターンが分かれています。流れが読めればコツコツ計算するだけです。第9問を初めて見ると結構だるいと思いますね^^;※KATSUYAの解答時間12分。展開は必要なしと判断しました。途中結果まで第9問に使わせてもらいました。☆第5問(IIB,III型)・・・【微積分】2つの接線等で囲まれる部分の面積の最大値(C、45分、Lv.2)今年は5番が微積分です。単純な設定ですが、接線が2本とも動く上に文字aも最後までつきまとうため、数式処理はかなり長いものとなっています。昨年がパターンすぎたことで、反発難化しました(苦笑)(1)はいいでしょう。接線を出して、軸との交点を出せばOKです。(2)は微分して増減を調べます。ここまではいけるでしょう。(3)はマラソンでしょうか。D(t)UD(s)の部分の面積を表す必要があります。(1)の三角形に、もう一つ三角形が上にできます。このはみでた三角形の式が、D(t)の形と同じ形をしていることに着目したいところ。(※S台さんの解答がキレイだと思います。)さらに2変数関数であることから、1文字固定の発想が出れば、かなりゴールに近づきます。1文字固定する「t」を固定すると、(2)の結果が利用できます。sの3次関数とみて再び微分すればOK。ときを外していますが、この時の最大値は(2)です。この値より大きいことを確認して、満点GETですね^^※KATSUYAの解答時間30分。(3)の面積計算については、実はもっとメンドウな方法をとってしまっていましたが、無事に答えにたどり着きました。千葉大の微積分(数II)は、なんか頭一つ抜けて難易度高い。第6問(IIB型)・・・【数列】2つの数列の共通項、和集合からなる数列(B,25分、Lv.2)7番と共通題材です。6番は算数チックに解けそうですが、7番はちょっとキツイ。※KATSUYAの解答時間10分。dの一般項の結果まで7番で使わせてもらいました。☆第7問(III型)・・・【数列】2つの数列の共通項、和集合からなる数列(B,30分、Lv.2)6番と同じ問題で、{dn}の一般項、和も出す形になります。(1)は共通項の一般項ですが、「最初に7、あとは12おきだから」でもいいと思います。これで減点されても文句は言えませんが(ルールブックはあくまで大学側なので)、私なら減点しません。本学受験者なら、本来は6n-5=4mー1として一般解を出すことぐらい分かっているはずです。(2)も、最初の1、3、は置いておいて、7以上19未満(C1以上C2未満)のグループで考えると7、11、13、15の4つが入るので、1、3、7、11から考えて、あとは12おきに増えていくとすればいいでしょう。6番の(2)は1000、1001項目です。4で割った余りに着目するといいでしょう。(3)は{d_n}の和ですので、やはり4で割った余りに着目します。した式など4つが得られますが、最終的に「l」に直しましょう。※KATSUYAの解答時間8分。(6番の時間は除く)。(3)の計算は4回もk→lに直すのでメンドウ^^;☆第8問(IIB、III型)・・・【平面べクトル】正方形内部の点Pなど(BC,25分、Lv.2)設定は単純ですが、意外と難しい平面ベクトルの問題です。αの値をどう生かしていくかですが、辺の比ですので、三角比→どこかの角のタンジェントと判断出来れば、∠PAB=θとおく発想が生まれます。このθを使って議論が進みそうです。PCベクトル=PBベクトル+BCベクトルですが、このBCベクトルがHPベクトルの実数倍になることを用います。PHベクトルはAB上なので、内分比で行けます。直角三角形から垂線を引きますので、こちらの原則を頭に入れておけば簡単に比は出せますね。p.42)θを導入したり、sinやcosも全てαに直していったりと、ベクトル以外の部分で苦労しそうで、これは正答率が下がりそうです。