山と数学、そして英語。xyの2次式を含む場合。山と数学、そして英語。xyの2次式を含む場合。「不定方程式」の学習は続きます。今回はこんな問題です。満たす整数の組(x,y)の値を全て求めよ。この問題が今までと違うのは、xyという2次の項が含まれていること。◇x+△y=◎といった形に整理するのは無理ですね。因数分解して、(x+◇)(y+△)=◎という形にすることはできるんじゃないでしょうか。それができれば、整数の組を見つけることができそうです。因数分解のようなことをしてみます。定数項ははみだして構わないので、完全な因数分解ではありません。xy-x+3y-12=0前の2つの項の共通因数はxなので、とりあえず2つだけをくくってみます。「もう残りの項にxがない!だから、因数分解できない!」と嘆く高校生がいます。因数分解の問題を解くときもそうですね。着眼点がズレているのです。この先の共通因数はxではありません。)の中身のほうが全体の共通因数です。後半の項を(y-1)が共通因数となるようにくくることが次の目標となります。x(y-1)+3(y-1)このように、まずは強引に(y-1)という共通項を作ってしまいます。3(y-1)は、展開すれば3y-3です。-3という項は、この式に存在しません。辻褄をあわせるために、その後に+3をします。x(y-1)+3(y-1)+3-12=0x(y-1)+3(y-1)-9=0x(y-1)+3(y-1)=9共通因数(y-1)でくくります。(y-1)(x+3)=9順番を整えます。(x+3)(y-1)=9実際の答案では、ここまで丁寧に書く必要はなく、互いに影響しあわない作業は1行の中で処理していきます。省略し過ぎると計算ミス・符号ミスをしやすいので、自分の中の「安全速度」を守って作業します。教科書や参考書に書いてある通りの書き方をしないとダメと思い、そのままそっくりに書いてしまう子は、特に中学入学直後に多いです。正負の数の計算で、(+3)-(+2)=(+3)+(-2)といった説明のための途中式をいつまでもいつまでも、そう書かねばならないのだと思い込んで書いていたりします。)を外せるようになっても、3-7+4-11=3+4-7-11と、順番をいちいち同符号ごとに直す癖の残っている子もいます。「それ、要らないよね?暗算できるよね?」と問いかけても、こう書いていた時期が半年を過ぎてしまっていると、もう癖になり、こう書かないと不安になり、一生直せない場合もあるようです。文字式の計算では、a2×ab=a×a×a×b=a3×b=a3bと丁寧に丁寧に書かなければならないと思いこんでいる子もいました。算数・数学があまり得意ではなく、しかも中1の最初に塾に通わなかった子がそのようになりがちです。教科書や参考書に書いてあるのは、わかりやすくするための説明であって、それが答案そのままとは限らないのですが、その加減が自学自習ではわからないのでしょう。場合によっては、文字まで印刷体とそっくりに書かねばならないと思い込んでしまっていた子もかつていました。いう文字を、筆記体あるいはブロック体の書きやすい書体ではなく、印刷体そのままの妙な飾りやうねりのついた文字で書いていたのです。書かねばならないと思い込んで、そのままずっとそう書いてきて、違うと指摘されてももう直せなくなっていました。書いてありますが、問題集まではそうなっていませんので、印刷体をなぞって書いている子は、今もいます。斜め線にクロスさせる点をつけない子は、「z」と「2」との見間違いが多く、計算ミスにつながってしまうのが残念です。書いてしまう子もいます。全部教科書の解説をそのままなぞる子も困りますが、省略し過ぎる癖がついている子も、計算ミスが減らない最大の原因となってしまいます。中1の最初、数学を学び始める最初の半年だけでも個別指導を受けてくれていたらと思うのは、そんな答案を見たときです。算数から数学への大きな転換期に、助言をくれる大人が側にいなかった。ノートや答案を丁寧に見てもらえなかった。それは、案外大きな傷跡を残します。一斉授業、あるいは、インターネットの動画を見るだけの授業は、本人の観察力や判断力が大きく作用します。間違えて覚えてしまった場合に修正できません。最初に間違った書き癖がつくと、根治は難しい場合が多いのです。不定方程式の話を戻しましょう。(x+3)(y-1)=9まで式を整理できたら、それからどうするか。x、yは整数ですから、x+3、y-1も整数です。整数×整数が9になる場合は限られています。y-1との積が9になる場合を書き並べていきます。(x+3,y-1)=(1,9),(3,3),(9,1),(-1,-9),(-3,-3),(-9,-1)次に、そこからx、yの値の組を求めていきます。求めるには、-3をしていけば良いですね。求めるには、+1をします。(x,y)=(-2,10),(0,4),(6,2),(-4,-8),(-6,-2),(-12,0)xとyとを同時に計算していくと煩雑なので、先にxだけ計算することをお勧めします。x+3の値から単純に、-3した数値を書き込んでいきます。その後にyに値を書き込みますから、そのスペースは空けておきます。xの値を書き終えたら、次にyの値を書き込んでいきます。y-1の値からyの値を出すには、+1をします。した単純作業に置き換えることで、暗算しやすくします。x、y、x、y、と順番に計算していくと、煩雑な作業になり、時間もかかりますし、計算ミスもしやすくなります。ミスをしないためのちょっとした工夫を常にし続けること。それを習慣とすると、数学の得点は伸びていきます。高校数II「式と証明」。剰余の定理と組立除法。14:14)数II「式と証明」2次方程式の解の範囲。難問を解いてみましょう。11:49)数II「式と証明」2次方程式の解の範囲。アクティブラーニング的に。11:33)絵に描いたような失敗。13:10)高校数II「式と証明」。2次方程式の解の正負。11:28)新指導要領に思う。※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。名前:メール:URL:情報を記憶:コメント:上の画像に書かれている文字を入力して下さい<ご注意>書き込まれた内容は公開され、ブログの持ち主だけが削除できます。